पॉइसन मॉडल के मामले में, मैं यह भी कहूंगा कि एप्लिकेशन अक्सर यह निर्धारित करता है कि आपके सहसंयोजक एडिटिवली कार्य करेंगे (जो तब एक पहचान लिंक होगा) या रैखिक स्तर पर गुणा (जो तब लॉग लिंक होगा)। लेकिन एक पहचान लिंक के साथ पॉइसन मॉडल भी सामान्य रूप से केवल समझ में आता है और केवल तभी फिट किया जा सकता है जब कोई फिट किए गए गुणांकों पर गैर-सक्रियता बाधाओं को लागू करता है - यह nnpoisआर addregपैकेज में nnlmफ़ंक्शन का उपयोग करके या फ़ंक्शन का उपयोग करके किया जा सकता है ।NNLMपैकेज। इसलिए मैं इस बात से सहमत नहीं हूं कि किसी को एक पहचान और लॉग लिंक के साथ पॉइसन मॉडल फिट करने चाहिए और यह देखना चाहिए कि कौन सबसे अच्छा एआईसी है और विशुद्ध रूप से सांख्यिकीय आधार पर सर्वश्रेष्ठ मॉडल का अनुमान लगाता है - बल्कि, ज्यादातर मामलों में यह तय होता है। समस्या की अंतर्निहित संरचना जिसे कोई हल करने या हाथ में डेटा लेने की कोशिश करता है।
उदाहरण के लिए, क्रोमैटोग्राफी (जीसी / एमएस विश्लेषण) में एक अक्सर कई अनुमानित गौसियन आकार की चोटियों के सुपरिम्पोज्ड सिग्नल को मापता है और इस सुपरिंपोज्ड सिग्नल को एक इलेक्ट्रॉन गुणक के साथ मापा जाता है, जिसका अर्थ है कि मापा संकेत आयन गणना है और इसलिए पॉइसन वितरित किया गया है। चूँकि प्रत्येक चोटियों की परिभाषा एक सकारात्मक ऊँचाई की होती है और यह क्रियात्मक रूप से कार्य करती है और शोर पोइसन है, इसलिए पहचान लिंक वाला एक नॉनवेजिव पॉइसन मॉडल यहाँ उपयुक्त होगा, और लॉग लिंक पॉइसन मॉडल सादा गलत होगा। इंजीनियरिंग में कुल्बैक-लीब्लर नुकसान का उपयोग अक्सर ऐसे मॉडलों के लिए एक हानि समारोह के रूप में किया जाता है, और इस नुकसान को कम करने के लिए एक गैर-पहचान पहचान-लिंक पॉइसन मॉडल की संभावना का अनुकूलन करने के बराबर है ( अल्फा या बीटा विचलन जैसे अन्य विचलन या हानि उपाय भी हैं) कि एक विशेष मामले के रूप में पॉइसन है)।
नीचे एक संख्यात्मक उदाहरण दिया गया है, जिसमें यह दिखाया गया है कि एक नियमित अप्रतिबंधित पहचान लिंक Poisson GLM फिट नहीं है (गैर-सक्रियता बाधाओं की कमी के कारण) और nonnegativity पहचान-लिंक Poisson मॉडल का उपयोग करने के तरीके पर कुछ विवरणnnpois, यहां एक बैंडेड कोवरिएट मैट्रिक्स का उपयोग करके उन पर पोइसोन शोर के साथ क्रोमैटोग्राफिक चोटियों के एक मापा सुपरपोज़िशन को डिकॉन्फ़ोल्यूट करने के संदर्भ में जिसमें एक चोटी के मापा आकार की स्थानांतरित प्रतियां शामिल हैं। गैर-व्यावहारिकता कई कारणों से महत्वपूर्ण है: (1) यह हाथ में डेटा के लिए एकमात्र यथार्थवादी मॉडल है (यहां चोटियां नकारात्मक ऊंचाई नहीं हो सकती हैं), (2) यह पहचान लिंक के साथ पॉइसन मॉडल को स्थिर रूप से फिट करने का एकमात्र तरीका है अन्यथा कुछ सहसंयोजक मूल्यों के लिए भविष्यवाणियां नकारात्मक हो सकती हैं, जो समझ में नहीं आएंगी और संख्यात्मक समस्याओं को दे देगी जब कोई संभावना का मूल्यांकन करने की कोशिश करेगा), (3) गैर-सक्रियता प्रतिगमन समस्या को नियमित करने के लिए कार्य करती है और स्थिर अनुमान प्राप्त करने में बहुत मदद करती है (जैसे) आप आम तौर पर सामान्य अप्रतिबंधित प्रतिगमन के साथ ओवरफिटिंग की समस्याएं नहीं लेते हैं,nonnegativity बाधाओं का परिणाम है कि अक्सर जमीनी सच्चाई के करीब होते हैं; उदाहरण के लिए प्रदर्शन समस्या नीचे दिए गए उदाहरण के लिए LASSO नियमितीकरण जितना अच्छा है, लेकिन किसी भी नियमितीकरण पैरामीटर को ट्यून करने की आवश्यकता के बिना। ( L0-pseudonorm दंडित प्रतिगमन अभी भी थोड़ा बेहतर प्रदर्शन करता है लेकिन अधिक कम्प्यूटेशनल लागत पर )
# we first simulate some data
require(Matrix)
n = 200
x = 1:n
npeaks = 20
set.seed(123)
u = sample(x, npeaks, replace=FALSE) # unkown peak locations
peakhrange = c(10,1E3) # peak height range
h = 10^runif(npeaks, min=log10(min(peakhrange)), max=log10(max(peakhrange))) # unknown peak heights
a = rep(0, n) # locations of spikes of simulated spike train, which are assumed to be unknown here, and which needs to be estimated from the measured total signal
a[u] = h
gauspeak = function(x, u, w, h=1) h*exp(((x-u)^2)/(-2*(w^2))) # peak shape function
bM = do.call(cbind, lapply(1:n, function (u) gauspeak(x, u=u, w=5, h=1) )) # banded matrix with peak shape measured beforehand
y_nonoise = as.vector(bM %*% a) # noiseless simulated signal = linear convolution of spike train with peak shape function
y = rpois(n, y_nonoise) # simulated signal with random poisson noise on it - this is the actual signal as it is recorded
par(mfrow=c(1,1))
plot(y, type="l", ylab="Signal", xlab="x", main="Simulated spike train (red) to be estimated given known blur kernel & with Poisson noise")
lines(a, type="h", col="red")
# let's now deconvolute the measured signal y with the banded covariate matrix containing shifted copied of the known blur kernel/peak shape bM
# first observe that regular OLS regression without nonnegativity constraints would return very bad nonsensical estimates
weights <- 1/(y+1) # let's use 1/variance = 1/(y+eps) observation weights to take into heteroscedasticity caused by Poisson noise
a_ols <- lm.fit(x=bM*sqrt(weights), y=y*sqrt(weights))$coefficients # weighted OLS
plot(x, y, type="l", main="Ground truth (red), unconstrained OLS estimate (blue)", ylab="Peak shape", xlab="x", ylim=c(-max(y),max(y)))
lines(x,-y)
lines(a, type="h", col="red", lwd=2)
lines(-a_ols, type="h", col="blue", lwd=2)
# now we use weighted nonnegative least squares with 1/variance obs weights as an approximation of nonnegative Poisson regression
# this gives very good estimates & is very fast
library(nnls)
library(microbenchmark)
microbenchmark(a_wnnls <- nnls(A=bM*sqrt(weights),b=y*sqrt(weights))$x) # 7 ms
plot(x, y, type="l", main="Ground truth (red), weighted nnls estimate (blue)", ylab="Signal (black) & peaks (red & blue)", xlab="Time", ylim=c(-max(y),max(y)))
lines(x,-y)
lines(a, type="h", col="red", lwd=2)
lines(-a_wnnls, type="h", col="blue", lwd=2)
# note that this weighted least square estimate in almost identical to the nonnegative Poisson estimate below and that it fits way faster!!!
# an unconstrained identity-link Poisson GLM will not fit:
glmfit = glm.fit(x=as.matrix(bM), y=y, family=poisson(link=identity), intercept=FALSE)
# returns Error: no valid set of coefficients has been found: please supply starting values
# so let's try a nonnegativity constrained identity-link Poisson GLM, fit using bbmle (using port algo, ie Quasi Newton BFGS):
library(bbmle)
XM=as.matrix(bM)
colnames(XM)=paste0("v",as.character(1:n))
yv=as.vector(y)
LL_poisidlink <- function(beta, X=XM, y=yv){ # neg log-likelihood function
-sum(stats::dpois(y, lambda = X %*% beta, log = TRUE)) # PS regular log-link Poisson would have exp(X %*% beta)
}
parnames(LL_poisidlink) <- colnames(XM)
system.time(fit <- mle2(
minuslogl = LL_poisidlink ,
start = setNames(a_wnnls+1E-10, colnames(XM)), # we initialise with weighted nnls estimates, with approx 1/variance obs weights
lower = rep(0,n),
vecpar = TRUE,
optimizer = "nlminb"
)) # very slow though - takes 145s
summary(fit)
a_nnpoisbbmle = coef(fit)
plot(x, y, type="l", main="Ground truth (red), nonnegative Poisson bbmle ML estimate (blue)", ylab="Signal (black) & peaks (red & blue)", xlab="Time", ylim=c(-max(y),max(y)))
lines(x,-y)
lines(a, type="h", col="red", lwd=2)
lines(-a_nnpoisbbmle, type="h", col="blue", lwd=2)
# much faster is to fit nonnegative Poisson regression using nnpois using an accelerated EM algorithm:
library(addreg)
microbenchmark(a_nnpois <- nnpois(y=y,
x=as.matrix(bM),
standard=rep(1,n),
offset=0,
start=a_wnnls+1.1E-4, # we start from weighted nnls estimates
control = addreg.control(bound.tol = 1e-04, epsilon = 1e-5),
accelerate="squarem")$coefficients) # 100 ms
plot(x, y, type="l", main="Ground truth (red), nonnegative Poisson nnpois estimate (blue)", ylab="Signal (black) & peaks (red & blue)", xlab="Time", ylim=c(-max(y),max(y)))
lines(x,-y)
lines(a, type="h", col="red", lwd=2)
lines(-a_nnpois, type="h", col="blue", lwd=2)
# or to fit nonnegative Poisson regression using nnlm with Kullback-Leibler loss using a coordinate descent algorithm:
library(NNLM)
system.time(a_nnpoisnnlm <- nnlm(x=as.matrix(rbind(bM)),
y=as.matrix(y, ncol=1),
loss="mkl", method="scd",
init=as.matrix(a_wnnls, ncol=1),
check.x=FALSE, rel.tol=1E-4)$coefficients) # 3s
plot(x, y, type="l", main="Ground truth (red), nonnegative Poisson nnlm estimate (blue)", ylab="Signal (black) & peaks (red & blue)", xlab="Time", ylim=c(-max(y),max(y)))
lines(x,-y)
lines(a, type="h", col="red", lwd=2)
lines(-a_nnpoisnnlm, type="h", col="blue", lwd=2)
