फ्रिस-वॉ प्रमेय की उपयोगिता

मुझे अर्थमिति में फ्रिश वॉ प्रमेय पढ़ाना है, जिसका मैंने अध्ययन नहीं किया है।

मैंने इसके पीछे के गणित को समझ लिया है और मुझे आशा है कि यह विचार "एक गुणांक जो आपको एक विशेष गुणांक के लिए कई रैखिक मॉडल से मिलता है, साधारण प्रतिगमन मॉडल के गुणांक के बराबर है यदि आप" अन्य रजिस्टरों के प्रभाव को "समाप्त" करते हैं। तो सैद्धांतिक विचार एक तरह से शांत है। (अगर मैं पूरी तरह से गलत समझा तो मैं एक सुधार का स्वागत करता हूं)

लेकिन क्या इसके कुछ शास्त्रीय / व्यावहारिक उपयोग हैं?

संपादित करें : मैंने एक उत्तर स्वीकार कर लिया है, लेकिन मैं अभी भी नए उदाहरणों / अनुप्रयोगों को लाने के लिए तैयार हूं।

— एंथनी मार्टिन
स्रोत

एक स्पष्ट एक जोड़ा चर भूखंडों होगा ?

— सिल्वरफिश

डॉकटरेटीज़ इंट्रोडक्शन टू इकोनोमेट्रिक्स में फ्रिस-वॉ-लॉवेल-प्रमेय का उपयोग करने के एक और उदाहरण का उल्लेख है। समय श्रृंखला के अर्थमितीय विश्लेषण के शुरुआती दिनों में, यह उन मॉडलों में काफी आम था, जहां चर को पुनर्जन्म से पहले उन सभी को रोकने के लिए नियत समय के रुझान थे। लेकिन एफडब्ल्यूएल द्वारा, आप एक ही गुणांक प्राप्त करते हैं, जिसमें एक रजिस्ट्रार के रूप में टाइम ट्रेंड शामिल है, और इसके अलावा यह "सही" मानक त्रुटियां देता है, क्योंकि यह स्वीकार करता है कि 1 डीएफ का उपभोग किया गया है।

— सिल्वरफिश

इस प्रक्रिया के प्रति दुर्बलता चेतावनी देती है, इसलिए इस संबंध में यह एक महान उदाहरण नहीं है, भले ही यह एक शिक्षाप्रद है। आर्थिक चर अक्सर प्रवृत्ति-स्थिर होने के बजाय अंतर-स्थिर प्रतीत होते हैं, इसलिए इस तरह का प्रयास करने से काम नहीं होता है और परिणामी प्रतिगमन हो सकता है।

— सिल्वरफिश

@ सिल्वरफ़िश: एफडब्ल्यूएल एक विशुद्ध रूप से बीजगणितीय तकनीक है, इसलिए यह निर्धारित करने के लिए कि क्या एक नियतकालिक प्रवृत्ति को निकालना "सही" है, अंतर्निहित डीजीपी को कोई संदेह नहीं है, लेकिन यह एफडब्ल्यूएल से संबंधित नहीं है, इसलिए इस अर्थ में आपका उदाहरण पूरी तरह से वैध है। ओपी बिंदु अनुमान प्राप्त करने के दो तरीकों के बारे में सवाल करते हैं।

— क्रिस्टोफ़ हैनक

मैंने कई पदों पर इस रिश्ते का शोषण किया है, मुख्य रूप से वैचारिक उद्देश्यों के लिए और प्रतिगमन घटना के दिलचस्प उदाहरण प्रदान करने के लिए। देखें, अंतर आलिया , आँकड़ें ।stackexchange.com / a / 46508 , ysts.stackexchange.com / a / 113207 , और ysts.stackexchange.com/a/71257 ।

— whuber

जवाबों:

फिक्स्ड इफेक्ट्स पैनल डेटा मॉडल पर विचार करें, जिसे लीस्ट स्क्वेयर डमी वेरिएबल्स (एलएसडीवी) मॉडल के रूप में भी जाना जाता है।

$b_{LSDV}$ गणना सीधे मॉडल OLS जा सकती है जहां एक मैट्रिक्स की डमी है और व्यक्तिगत-विशिष्ट विशिष्ट प्रभावों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

y = X β + D α + ϵ,

$y=X\beta+D\alpha+\epsilon,$

D

$D$

N T \times N

$NT\times N$

α

$\alpha$

गणना करने का दूसरा तरीका यह है कि तथाकथित मॉडल में परिवर्तन को सामान्य मॉडल में लागू किया जाए, ताकि इसका वर्जन प्राप्त किया जा सके, अर्थात यहाँ, , पर एक प्रतिगमन के अवशिष्ट निर्माता मैट्रिक्स । $b_{LSDV}$

M_{[D]} y = M_{[D]} X β + M_{[D]} ϵ .

$M_{[D]}y=M_{[D]}X\beta+M_{[D]}\epsilon.$

M_{[D]} = I - D (D^{'} D)^{- 1} D^{'}

$M_{[D]}=I-D(D'D)^{-1}D'$

D

$D$

Frisch-Waugh-Lovell प्रमेय द्वारा, दो समकक्ष हैं, जैसा कि FWL कहता है कि आप प्रतिगमन (यहाँ, ) प्रतिगमन गुणांक के एक सबसेट की गणना कर सकते हैं $\hat\beta$

regressing अन्य regressors (यहाँ, पर ), बच बचत (यहाँ, समय अपमानित या , चर क्योंकि एक निरंतर पर प्रतिगमन बस नीचा दिखाता हो), तो $y$ $D$ $y$ $M_{[D]}y$
regressing पर और बच बचत , और $X$ $D$ $M_{[D]}X$
एक दूसरे को, पर बच regressing पर । $M_{[D]}y$ $M_{[D]}X$

दूसरा संस्करण बहुत अधिक व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, क्योंकि विशिष्ट पैनल डेटा सेट में हजारों पैनल इकाइयां हो सकती हैं , जिससे कि पहले दृष्टिकोण के लिए आपको हजारों रजिस्टरों के साथ एक प्रतिगमन चलाने की आवश्यकता होगी, जो आजकल तेजी के साथ भी एक अच्छा विचार नहीं है। के व्युत्क्रम की गणना के रूप में कंप्यूटर बहुत महंगे होंगे, जबकि समय की कमी और की बहुत कम लागत है। $N$ $(D :X)'(D: X)$ $y$ $X$

— क्रिस्टोफ हांक
स्रोत

बहुत बहुत धन्यवाद, यह उस तरह का उत्तर है जिसकी मुझे तलाश थी, भले ही यह मेरे लिए वास्तव में इसका उपयोग करने के लिए थोड़ा उन्नत हो। तो आपका उत्तर मेरे साथ ठीक है, लेकिन मुझे खुशी होगी यदि मेरे पास अन्य हैं, तो क्या मुझे आपका स्वीकार करना चाहिए?

— एंथनी मार्टिन

अगर इससे मदद मिली तो ऐसा करना उचित होगा। लेकिन स्वीकार करने से आपके बेहतर उत्तर प्राप्त करने की संभावना कम हो जाएगी, इसलिए आप इसे स्वीकार करने से पहले प्रतीक्षा करने पर विचार कर सकते हैं। एक इनाम आपके जवाबों को और अधिक प्राप्त करने की संभावनाओं को और बढ़ा देगा - यह देखते हुए कि CV पर पर्याप्त उपयोगकर्ता नहीं हैं जो नियमित रूप से प्रश्नों की मात्रा का उत्तर देते हैं, यहां तक कि एक भी उत्तर अन्य सक्रिय उपयोगकर्ताओं को यह निष्कर्ष निकालने के लिए नेतृत्व कर सकता है कि प्रश्नों से निपटा गया है। (मैंने नीचे कुछ सरल उत्तर पोस्ट किया।)

— क्रिस्टोफ़ हनक

यहां मेरे पहले उत्तर का एक सरलीकृत संस्करण है, जो मेरा मानना है कि व्यावहारिक रूप से कम प्रासंगिक है, लेकिन संभवतः कक्षा के उपयोग के लिए "बेचना" आसान है।

प्रतिगमन और समान उपज , । इसे निम्नानुसार देखा जा सकता है: take और इसलिए ताकि इसलिए, एक स्थिरांक पर चर के प्रतिगमन के अवशिष्ट,

y_{i} = β_{1} + \sum_{j = 2}^{K} β_{j} x_{i j} + ϵ_{i}

$y_i = \beta_1 + \sum_{j=2}^K\beta_jx_{ij} + \epsilon_i$

y_{i} - \bar{y} = \sum_{j = 2}^{K} β_{j} (x_{i j} - {\bar{x}}_{j}) + {\tilde{ϵ}}_{i}

$y_i-\bar{y} = \sum^K_{j=2}\beta_j(x_{ij} - \bar{x}_j) + \tilde{\epsilon}_i$

{\hat{β}}_{j}

$\widehat{\beta}_j$

j = 2, \dots, K

$j=2,\ldots,K$

x_{1} = 1 := (1, \dots, 1)^{'}

$\mathbf{x}_1=\mathbf{1}:=(1,\ldots,1)'$

M_{1} = I - 1 (1^{'} 1)^{- 1} 1^{'} = I - \frac{1 1^{'}}{n},

$M_\mathbf{1}=I-\mathbf{1}(\mathbf{1}'\mathbf{1})^{-1}\mathbf{1}'=I-\frac{\mathbf{1}\mathbf{1}'}{n},$

M_{1} x_{j} = x_{j} - 1 n^{- 1} 1^{'} x_{j} = x_{j} - 1 {\bar{x}}_{j} =: x_{j} - {\bar{x}}_{j} .

$M_{\mathbf{1}}\mathbf{x}_j=\mathbf{x}_j-\mathbf{1} n^{-1}\mathbf{1}'\mathbf{x}_j=\mathbf{x}_j-\mathbf{1}\bar{x}_j=:\mathbf{x}_j-\bar{\mathbf{x}}_j.$

M_{1} x_{j}

$M_{\mathbf{1}}\mathbf{x}_j$ , बस डिमेनडेड वैरिएबल हैं (पाठ्यक्रम का एक ही तर्क पर लागू होता है )।

y_{i}

$y_i$

— क्रिस्टोफ हांक
स्रोत

यहाँ एक और, अधिक अप्रत्यक्ष है, लेकिन मेरा मानना है कि एक स्थिर समय श्रृंखला के आंशिक ऑटोकैरेलेशन गुणांक की गणना करने के लिए अलग-अलग दृष्टिकोणों के बीच संबंध दिलचस्प है।

परिभाषा १

प्रक्षेपण पर विचार करें वें आंशिक ऑटो सहसंबंध के बराबर होती है ।

{\hat{Y}}_{t} - μ = α_{1}^{(m)} (Y_{t - 1} - μ) + α_{2}^{(m)} (Y_{t - 2} - μ) + \dots + α_{m}^{(m)} (Y_{t - m} - μ)

$\begin{equation} \hat{Y}_{t}-\mu=\alpha^{(m)}_1(Y_{t-1}-\mu)+\alpha^{(m)}_2(Y_{t-2}-\mu)+\ldots+\alpha^{(m)}_m(Y_{t-m}-\mu) \end{equation}$

m

$m$

α_{m}^{(m)}

$\alpha^{(m)}_m$

$m$ $Y_t$ $Y_{t-1},\ldots,Y_{t-m+1}$ $\rho_m$ $Y_t$ $Y_{t-m}$

$\alpha^{(m)}_j$ $Z_t$ $X_t$

E [X_{t} (Z_{t} - X_{t}^{⊤} α^{(m)})] = 0

$\begin{equation} E[X_t(Z_t-X_t^\top\mathbf{\alpha}^{(m)})]=0 \end{equation}$

α^{(m)}

$\mathbf{\alpha}^{(m)}$

α^{(m)} = [E (X_{t} X_{t}^{⊤})]^{- 1} E [X_{t} Z_{t}]

$\begin{equation} \mathbf{\alpha}^{(m)}=[E(X_tX_t^\top)]^{-1}E[X_tZ_t] \end{equation}$

Z_{t} = Y_{t} - μ

$Z_t=Y_t-\mu$

X_{t} = [(Y_{t - 1} - μ), (Y_{t - 2} - μ), \dots, (Y_{t - m} - μ)]^{⊤}

$X_t=[(Y_{t-1}-\mu),(Y_{t-2}-\mu),\ldots,(Y_{t-m}-\mu)]^\top$

E (X_{t} X_{t}^{⊤}) = (\begin{array}{cccc} γ_{0} & γ_{1} & \dots & γ_{m - 1} \\ γ_{1} & γ_{0} & \dots & γ_{m - 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ γ_{m - 1} & γ_{m - 2} & \dots & γ_{0} \end{array})

$E(X_tX_t^\top)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma_{0} & \gamma_{1}&\cdots& \gamma_{m-1}\\ \gamma_{1}& \gamma_{0} & \cdots &\gamma_{m-2}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ \gamma_{m-1}&\gamma_{m-2} & \cdots & \gamma_{0}\\ \end{array} \right)$

E (X_{t} Z_{t}) = (\begin{matrix} γ_{1} \\ ⋮ \\ γ_{m} \end{matrix})

$E(X_tZ_t)=\left( \begin{array}{c} \gamma_1 \\ \vdots \\ \gamma_m \\ \end{array} \right)$

α^{(m)} = {(\begin{array}{cccc} γ_{0} & γ_{1} & \dots & γ_{m - 1} \\ γ_{1} & γ_{0} & \dots & γ_{m - 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ γ_{m - 1} & γ_{m - 2} & \dots & γ_{0} \end{array})}^{- 1} (\begin{matrix} γ_{1} \\ ⋮ \\ γ_{m} \end{matrix})

$\begin{equation} \mathbf{\alpha}^{(m)}=\left(\begin{array}{cccc} \gamma_{0} & \gamma_{1}&\cdots& \gamma_{m-1}\\ \gamma_{1}& \gamma_{0} & \cdots &\gamma_{m-2}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ \gamma_{m-1}&\gamma_{m-2} & \cdots & \gamma_{0}\\ \end{array} \right)^{-1}\left( \begin{array}{c} \gamma_1 \\ \vdots \\ \gamma_m \\ \end{array} \right)\end{equation}$

m

$m$

α^{(m)}

$\mathbf{\alpha}^{(m)}$

इसलिए, हम एक से अधिक प्रतिगमन चलाते हैं और दूसरों के लिए नियंत्रण करते समय एक गुणांक पाते हैं।

परिभाषा २

$m$ $Y_{t+m}$ $Y_{t-1},\ldots,Y_{t-m+1}$ $Y_{t}$ $Y_{t-1},\ldots,Y_{t-m+1}$

इसलिए, हम मध्यवर्ती लैग्स के लिए पहले नियंत्रण को सॉर्ट करते हैं और फिर अवशिष्टों के सहसंबंध की गणना करते हैं।

— क्रिस्टोफ हांक
स्रोत