गैर iid गाऊसी चर के योग का वितरण क्या है?

Question

यदि को वितरित किया जाता है , तो को और को वितरित किया जाता है , मुझे पता है कि को वितरित किया गया है) यदि X और Y स्वतंत्र हैं।$X$$N(\mu_X, \sigma^2_X)$$Y$$N(\mu_Y, \sigma^2_Y)$$Z = X + Y$$Z$$N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)$

लेकिन क्या होगा यदि X और Y स्वतंत्र नहीं थे, अर्थात $(X, Y) \approx N\big( (\begin{smallmatrix} \mu_X\\\mu_Y \end{smallmatrix}) , (\begin{smallmatrix} \sigma^2_X && \sigma_{X,Y}\\ \sigma_{X,Y} && \sigma^2_Y \end{smallmatrix}) \big)$

क्या यह प्रभावित करेगा कि राशि कैसे वितरित की जाती है?$Z$

Comments

बस के लिए संयुक्त वितरण के सभी प्रकार देखते हैं कि बाहर बिंदु चाहते हैं अन्य द्विचर सामान्य अभी भी है कि तुलना में और मामूली सामान्य। और यह भेद जवाबों पर भारी पड़ता। $(X,Y)$ $X$$Y$

@ G.JKKerns मैं मानता हूं कि यदि और सामान्य हैं लेकिन जरूरी नहीं कि संयुक्त रूप से सामान्य हो, तो का वितरण सामान्य के अलावा भी हो सकता है। लेकिन ओपी का कथन है कि " और स्वतंत्र हैं तो " को । " बिल्कुल सही है। यदि और मामूली रूप से सामान्य हैं (जैसा कि वाक्य का पहला भाग कहता है) और स्वतंत्र (वाक्य के दूसरे भाग में धारणा के अनुसार), तो वे भी संयुक्त रूप से सामान्य हैं। ओपी के प्रश्न में , संयुक्त सामान्यता को स्पष्ट रूप से माना जाता है और इसलिए इसका कोई रैखिक संयोजन है$X$$Y$$X+Y$$Z$$N(\mu_x + \mu_y, \sigma^2_x + \sigma^2_y)$$X$$Y$$X$$Y$$X$ और सामान्य है। $Y$

— दिलीप सरवटे

@Dilip, मैं स्पष्ट कर दूं कि प्रश्न में कुछ भी गलत नहीं है और आपके उत्तर (+1) (या प्रायिकता, या तो (+1)) में कुछ भी गलत नहीं है। मैं केवल यह इंगित कर रहा था कि यदि और निर्भर हैं तो यह आवश्यक नहीं है कि वे संयुक्त रूप से सामान्य हों, और यह स्पष्ट नहीं था कि ओपी ने उस संभावना पर विचार किया था। इसके अलावा, मुझे डर है (हालांकि मैंने यह सोचने में बहुत समय नहीं लगाया है) कि कुछ अन्य मान्यताओं (जैसे संयुक्त सामान्यता) के बिना प्रश्न भी अचूक हो सकता है। $X$$Y$

जैसा कि @ G.JayKerns उल्लेख करते हैं, निश्चित रूप से हम सभी प्रकार के दिलचस्प व्यवहार प्राप्त कर सकते हैं यदि हम मामूली रूप से विचार करते हैं, लेकिन संयुक्त रूप से वितरित मानदंड नहीं। यहाँ एक सरल उदाहरण है: को मानक सामान्य और को प्रायिकता 1/2 प्रत्येक, स्वतंत्र रूप से मानक मान लें । Let । तब भी मानक सामान्य है, लेकिन संभावना 1/2 के साथ शून्य के बराबर है और संभावना 1/2 के साथ बराबर है । $X$$\varepsilon = \pm 1$$X$$Y = \varepsilon X$$Y$$Z = X+Y$$2X$

— कार्डिनल

हम स्केलेर्स प्रमेय के माध्यम से साथ जुड़े बिवरिएट कोपुल पर विचार करके विभिन्न प्रकार के विभिन्न व्यवहार प्राप्त कर सकते हैं । यदि हम गॉसियन कोप्युला का उपयोग करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं संयुक्त रूप से सामान्य हैं, और इसलिए सामान्य रूप से वितरित किया जाता है। योजक है नहीं , गाऊसी योजक तो और प्रत्येक अभी भी मामूली normals के रूप में वितरित कर रहे हैं, लेकिन संयुक्त रूप से सामान्य और इतने राशि सामान्य रूप से सामान्य रूप में वितरित किया जा नहीं होगा, नहीं कर रहे हैं। $(X,Y)$$(X,Y)$$Z = X + Y$$X$$Y$

— कार्डिनल

Answer 1

इस प्रश्न के लिए प्रायिकताजोलोजिक के उत्तर पर मेरी टिप्पणी देखें । यहाँ, जहाँ है सहप्रसरण की और । कोई नहीं के रूप में सहप्रसरण मैट्रिक्स में बंद विकर्ण प्रविष्टियों लिखते हैं के रूप में आप कर चुके हैं। ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियां सहसंयोजक हैं जो नकारात्मक हो सकती हैं।

$$\begin{align*} X + Y &\sim N(\mu_X + \mu_Y,\; \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + 2\sigma_{X,Y})\\ aX + bY &\sim N(a\mu_X + b\mu_Y,\; a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2 + 2ab\sigma_{X,Y}) \end{align*}$$ $\sigma_{X,Y}$$X$$Y$$\sigma_{xy}^2$

Comments

@Kodiologist धन्यवाद! मुझे आश्चर्य है कि टाइपोस 4 साल से अधिक समय तक किसी का ध्यान नहीं गया।

— दिलीप सरवटे

Answer 2

@ दिलीप का जवाब पर्याप्त है, लेकिन मैंने सोचा कि मैं परिणाम के बारे में कुछ विवरण जोड़ूंगा। हम विशेषता कार्यों की विधि का उपयोग कर सकते हैं। किसी भी आयामी बहुआयामी सामान्य वितरण के लिए जहां और , विशेषता फ़ंक्शन द्वारा दिया जाता है:$d$$X\sim N_{d}(\mu,\Sigma)$$\mu=(\mu_1,\dots,\mu_d)^T$$\Sigma_{jk}=cov(X_j,X_k)\;\;j,k=1,\dots,d$

$$\varphi_{X}({\bf{t}})=E\left[\exp(i{\bf{t}}^TX)\right]=\exp\left(i{\bf{t}}^T\mu-\frac{1}{2}{\bf{t}}^T\Sigma{\bf{t}}\right)$$ $$=\exp\left(i\sum_{j=1}^{d}t_j\mu_j-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}t_jt_k\Sigma_{jk}\right)$$

एक आयामी सामान्य चर हमें मिलता है:$Y\sim N_1(\mu_Y,\sigma_Y^2)$

$$\varphi_Y(t)=\exp\left(it\mu_Y-\frac{1}{2}t^2\sigma_Y^2\right)$$

अब, मान लें कि हम एक नया यादृच्छिक चर । आपके मामले के लिए, हमारे पास और । लिए विशेषता फ़ंक्शन मूल रूप से लिए समान है ।$Z={\bf{a}}^TX=\sum_{j=1}^{d}a_jX_j$$d=2$$a_1=a_2=1$$Z$$X$

$$\varphi_{Z}(t)=E\left[\exp(itZ)\right]=E\left[\exp(it{\bf{a}}^TX)\right]=\varphi_{X}(t{\bf{a}})$$ $$=\exp\left(it\sum_{j=1}^{d}a_j\mu_j-\frac{1}{2}t^2\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}a_ja_k\Sigma_{jk}\right)$$

यदि हम इस विशेषता फ़ंक्शन की विशेषता फ़ंक्शन साथ तुलना करते हैं, तो हम देखते हैं कि वे समान हैं, लेकिन साथ और साथ प्रतिस्थापित किया जा रहा है को प्रतिस्थापित करके । इसलिए, क्योंकि का चारित्रिक कार्य के चारित्रिक फलन के बराबर है , इसलिए वितरण भी समान होना चाहिए। इसलिए सामान्य रूप से वितरित किया जाता है। हम उस को नोट करके विचरण के लिए अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं और हमें प्राप्त होता है:$\varphi_Y(t)$$\mu_Y$$\mu_Z=\sum_{j=1}^{d}a_j\mu_j$$\sigma_Y^2$$\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}a_ja_k\Sigma_{jk}$$Z$$Y$$Z$$\Sigma_{jk}=\Sigma_{kj}$

$$\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{d}a_j^2\Sigma_{jj}+2\sum_{j=2}^{d}\sum_{k=1}^{j-1}a_ja_k\Sigma_{jk}$$

यह भी यादृच्छिक चर, स्वतंत्र या नहीं, सामान्य या नहीं, जहां और के किसी भी सेट के रैखिक संयोजन के विचरण के लिए सामान्य सूत्र है। । अब यदि हम और , तो उपरोक्त सूत्र बन जाता है:$\Sigma_{jj}=var(X_j)$$\Sigma_{jk}=cov(X_j,X_k)$$d=2$$a_1=a_2=1$

$$\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{2}(1)^2\Sigma_{jj}+2\sum_{j=2}^{2}\sum_{k=1}^{j-1}(1)(1)\Sigma_{jk}=\Sigma_{11}+\Sigma_{22}+2\Sigma_{21}$$

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+1 विवरण लिखने के लिए समय निकालने के लिए धन्यवाद। क्या इस सवाल को एफएक्यू का हिस्सा बनाया जा सकता है?

— दिलीप सरवटे