आईड गंबल वेरिएबल्स की अधिकतम की उम्मीद

मैं रैंडम यूटिलिटी मॉडल में इस्तेमाल किए गए एक विशेष परिणाम के बारे में अर्थशास्त्र की पत्रिकाओं में पढ़ता रहता हूं। परिणाम का एक संस्करण है: if Gumbel ( , तो: $\epsilon_i \sim_{iid},$ $\mu, 1), \forall i$

E [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = μ + γ + \ln (\sum_{i} \exp {δ_{i}}),

$E[\max_i(\delta_i + \epsilon_i)] = \mu + \gamma + \ln\left(\sum_i \exp\left\{\delta_i \right\} \right),$

जहां $\gamma \approx 0.52277$ यूलर- स्थिरांक है। मैंने जाँच की है कि यह R का उपयोग करके समझ में आता है, और यह करता है। Gumbel $(\mu, 1)$ वितरण के लिए CDF है:

G (ϵ_{i}) = \exp (- \exp (- (ϵ_{i} - μ)))

$G(\epsilon_i) = \exp(-\exp(-(\epsilon_i - \mu)))$

मैं इसका प्रमाण खोजने की कोशिश कर रहा हूं और मुझे कोई सफलता नहीं मिली है। मैंने इसे स्वयं साबित करने की कोशिश की है, लेकिन मैं एक विशेष कदम नहीं उठा सकता।

क्या कोई मुझे इस बात का प्रमाण दे सकता है? यदि नहीं, तो शायद मैं अपने प्रयास का प्रमाण पोस्ट कर सकता हूं जहां मैं फंस गया हूं।

expected-value gumbel

— जेसन
स्रोत

संबंधित: आंकड़े.स्टैकएक्सचेंज.com

— एड्रियन

मैं आपके उत्तर में प्रदर्शित कार्य की सराहना करता हूं: उस योगदान के लिए धन्यवाद। इस पोस्ट का उद्देश्य एक सरल प्रदर्शन प्रदान करना है। सादगी का मूल्य रहस्योद्घाटन है: हम आसानी से अधिकतम का पूरा वितरण प्राप्त कर सकते हैं , न कि केवल इसकी अपेक्षा।

ध्यान न दें में अवशोषित कर और यह सोचते हैं सब एक Gumbel है वितरण। (अर्थात, प्रत्येक को से बदलें और से बदलें।) यह यादृच्छिक चर नहीं बदलता है। $\mu$ $\delta_i$ $\epsilon_i$ $(0,1)$ $\epsilon_i$ $\epsilon_i-\mu$ $\delta_i$ $\delta_i+\mu$

X = max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i}) = max_{i} ((δ_{i} + μ) + (ϵ_{i} - μ)) .

$X = \max_{i}(\delta_i + \epsilon_i) = \max_i((\delta_i+\mu) + (\epsilon_i-\mu)).$

की स्वतंत्रता का तात्पर्य सभी वास्तविक जो कि व्यक्ति के अवसरों का । लॉग लेना और घातीय पैदावार के बुनियादी गुणों को लागू करना $\epsilon_i$ $x$ $\Pr(X\le x)$ $\Pr(\delta_i+\epsilon_i\le x)$

\begin{aligned} \log Pr (X \leq x) & = \log \prod_{i} Pr (δ_{i} + ϵ_{i} \leq x) = \sum_{i} \log Pr (ϵ_{i} \leq x - δ_{i}) \\ = - \sum_{i} e^{δ_{i}} e^{- x} = - \exp (- x + \log \sum_{i} e^{δ_{i}}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \log \Pr(X\le x) &= \log\prod_{i}\Pr(\delta_i + \epsilon_i \le x) = \sum_i \log\Pr(\epsilon_i \le x - \delta_i)\\ &= -\sum_ie^{\delta_i}\, e^{-x} = -\exp\left(-x + \log\sum_i e^{\delta_i}\right). }$

यह स्थान पैरामीटर साथ एक Gumbel वितरण के CDF का लघुगणक है अर्थात्, $\lambda=\log\sum_i e^{\delta_i}.$

$X$ में एक Gumbel वितरण है। $\left(\log\sum_i e^{\delta_i}, 1\right)$

यह अनुरोध की तुलना में बहुत अधिक जानकारी है। इस तरह के वितरण का मतलब लुभाना है $\gamma+\lambda,$

E [X] = γ + \log \sum_{i} e^{δ_{i}},

$\mathbb{E}[X] = \gamma + \log\sum_i e^{\delta_i},$

QED।

— व्हीबर
स्रोत

यह पता चलता है कि केनेथ स्मॉल और हार्वे रोसेन द्वारा एक इकोनोमेट्रिक आर्टिकल 1981 में दिखाया गया था, लेकिन एक बहुत ही विशेष संदर्भ में इसलिए परिणाम के लिए बहुत खुदाई की आवश्यकता होती है, अर्थशास्त्र में कुछ प्रशिक्षण का उल्लेख नहीं करना चाहिए। मैंने इसे एक तरह से साबित करने का फैसला किया जो मुझे अधिक सुलभ लगता है।

प्रमाण : को विकल्पों की संख्या बताइए। वेक्टर के मूल्यों के आधार पर , फ़ंक्शन अलग-अलग मान लेता है। सबसे पहले, के मूल्यों पर ध्यान केंद्रित करें, जैसे कि । है यही कारण है कि, हम एकीकरण करेगा सेट पर : $J$ $\boldsymbol{\epsilon} = \{\epsilon_1, ..., \epsilon_J\}$ $\max_i(\delta_i + \epsilon_i)$ $\boldsymbol{\epsilon}$ $\max_i (\delta_i + \epsilon_i) = \delta_1 + \epsilon_1$ $\delta_1 + \epsilon_1$ $M_1 \equiv \{\boldsymbol\epsilon : \delta_1 + \epsilon_1 > \delta_j + \epsilon_j, j \neq 1\}$

\begin{aligned} E_{ϵ \in M_{1}} [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \\ \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{1} + ϵ_{1}) f (ϵ_{1}) [\int_{- \infty}^{δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{2}} . . . \int_{- \infty}^{δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{J}} f (ϵ_{2}) . . . f (ϵ_{J}) d ϵ_{2} . . . d ϵ_{J}] d ϵ_{1} = \\ \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{1} + ϵ_{1}) f (ϵ_{1}) (\int_{- \infty}^{δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{2}} f (ϵ_{2}) d ϵ_{2}) . . . (\int_{- \infty}^{δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{J}} f (ϵ_{J}) d ϵ_{J}) d ϵ_{1} = \\ \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{1} + ϵ_{1}) f (ϵ_{1}) F (δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{2}) . . . F (δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{J}) d ϵ_{1} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} E_{\boldsymbol \epsilon \in M_1} [\max_i(\delta_i + \epsilon_i)] = \hspace{3.25in}\\ \int^{\infty}_{-\infty} (\delta_1 + \epsilon_1)f(\epsilon_1) \left[\int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_2} ... \int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_J}f(\epsilon_2) ...f(\epsilon_J) d\epsilon_2 ...d\epsilon_J \right] d\epsilon_1 = \\ \int^{\infty}_{-\infty} (\delta_1 + \epsilon_1)f(\epsilon_1) \left(\int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_2} f(\epsilon_2)d\epsilon_2 \right) ... \left( \int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_J}f(\epsilon_J) d\epsilon_J \right) d\epsilon_1 = \\ \int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_1 + \epsilon_1\right) f(\epsilon_1) F(\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_2) ...F(\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_J) d\epsilon_1 \end{split} \end{equation}$

उपरोक्त शब्द ऐसे शब्दों का पहला है जो । विशेष रूप से, $J$ $E[\max_i \left(\delta_i + \epsilon_i \right)]$

E [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \sum_{i} E_{ϵ \in M_{i}} [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] .

$\begin{equation} E\left[\max_i \left(\delta_i + \epsilon_i \right)\right] = \sum_i E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right]. \end{equation}$

अब हम Gumbel वितरण के कार्यात्मक रूप को लागू करते हैं। यह देता है

\begin{aligned} E_{ϵ \in M_{i}} [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \\ \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{i} + ϵ_{i}) e^{μ - ϵ_{i}} e^{- e^{μ - ϵ_{i}}} \prod_{j \neq i} e^{- e^{μ - ϵ_{i} + δ_{j} - δ_{i}}} d ϵ_{i} \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{i} + ϵ_{i}) e^{μ - ϵ_{i}} \prod_{j} e^{- e^{μ - ϵ_{i} + δ_{j} - δ_{i}}} d ϵ_{i} \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{i} + ϵ_{i}) e^{μ - ϵ_{i}} \exp {\sum_{j} - e^{μ - ϵ_{i} + δ_{j} - δ_{i}}} d ϵ_{i} \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{i} + ϵ_{i}) e^{μ - ϵ_{i}} \exp {- e^{μ - ϵ_{i}} \sum_{j} e^{δ_{j} - δ_{i}}} d ϵ_{i} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} &E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \hspace{2in} \\ &\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i\right)e^{\mu - \epsilon_i} e^{- e^{\mu - \epsilon_i}} \prod_{j \neq i} e^{-e^{\mu - \epsilon_i + \delta_j - \delta_i}}d\epsilon_i \\ =&\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i\right)e^{\mu - \epsilon_i } \prod_{j } e^{-e^{\mu - \epsilon_i + \delta_j - \delta_i}}d\epsilon_i \\ =&\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i \right) e^{\mu - \epsilon_i} \exp \Bigl\{ \sum_{j} -e^{\mu - \epsilon_i + \delta_j - \delta_i} \Bigr\}d\epsilon_i \\ =&\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i \right) e^{\mu - \epsilon_i} \exp \Bigl\{ -e^{\mu - \epsilon_i } \sum_{j} e^{ \delta_j - \delta_i} \Bigr\}d\epsilon_i \end{split} \end{equation}$

जहां दूसरा कदम उत्पाद में घातीय शब्दों को एकत्रित करने से आता है, साथ ही इस तथ्य के साथ कि अगर । $\delta_j - \delta_i = 0$ $i = j$

अब हम , और प्रतिस्थापन , ताकि और । ध्यान दें कि as अनंत तक पहुंचता है, दृष्टिकोण 0 पर पहुंचता है, और as नकारात्मक अनंत के करीब , अनंत तक पहुंचता है। $D_i \equiv \sum_j e^{\delta_j - \delta_i}$ $x = D_i\hspace{0.5mm} e^{\mu - \epsilon_i}$ $dx = -D_i e^{\mu - \epsilon_i}d\epsilon_i \Rightarrow -\frac{dx} {D_i} = e^{\mu - \epsilon_i}d\epsilon_i$ $\epsilon_i = \mu - \log\left(\frac{x}{D_i}\right)$ $\epsilon_i$ $x$ $\epsilon_i$ $x$

\begin{aligned} E_{ϵ \in M_{i}} [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \\ \int_{\infty}^{0} (δ_{i} + μ - \log [\frac{x}{D_{i}}]) (- \frac{1}{D_{i}}) \exp {- x} d x \\ = & \frac{1}{D_{i}} \int_{0}^{\infty} (δ_{i} + μ - \log [\frac{x}{D_{i}}]) e^{- x} d x \\ = & \frac{δ_{i} + μ}{D_{i}} \int_{0}^{\infty} e^{- x} d x - \frac{1}{D_{i}} \int_{0}^{\infty} \log [x] e^{- x} d x + \frac{\log [D_{i}]}{D_{i}} \int_{0}^{\infty} e^{- x} d x \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} &\hspace{3mm} E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \\ &\hspace{3mm}\int^{0}_{\infty} \left(\delta_i + \mu - \log\left[\frac{x}{D_i} \right]\right)\left(-\frac{1}{D_i}\right)\exp\left\{ -x\right\}dx \\ =&\hspace{3mm}\frac{1}{D_i}\int^{\infty}_{0} \left(\delta_i + \mu - \log\left[\frac{x}{D_i} \right]\right)e^{ -x}dx \\ =&\hspace{3mm} \frac{\delta_i + \mu}{D_i}\int^{\infty}_{0} e^{-x}dx -\frac{1}{D_i}\int^{\infty}_{0} \log[x]e^{-x}dx + \frac{\log[D_i]} {D_i} \int^{\infty}_{0}e^{-x}dx\\ \end{split} \end{equation}$

गामा फ़ंक्शन को रूप में परिभाषित किया गया है । के मान के लिए जो धनात्मक पूर्णांक हैं, यह बराबर है, तो । इसके अलावा, यह ज्ञात है कि यूलर- निरंतर, संतुष्ट करता है $\Gamma(t) = \int^{\infty}_{0} x^{t - 1}e^{-x}dx$ $t$ $\Gamma(t) = (t - 1)!$ $\Gamma(1) = 0! = 1$ $\gamma \approx 0.57722$

γ = - \int_{0}^{\infty} \log [x] e^{- x} d x .

$\gamma = -\int^{\infty}_{0} \log[x] e^{-x}dx.$

इन तथ्यों को लागू करना देता है

\begin{aligned} E_{ϵ \in M_{i}} [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \frac{δ_{i} + μ + γ + \log [D_{i}]}{D_{i}} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} &\hspace{3mm} E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \frac{\delta_i + \mu + \gamma + \log[D_i]}{D_i} \end{split} \end{equation}$

फिर हम प्राप्त करने के लिए योग करते हैं $i$

\begin{aligned} E [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \sum_{i} \frac{δ_{i} + μ + γ + \log [D_{i}]}{D_{i}} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} &\hspace{3mm} E\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \sum_i \frac{\delta_i + \mu + \gamma + \log[D_i]}{D_i} \end{split} \end{equation}$

याद रखें कि । सूचना है कि परिचित logit पसंद संभावनाओं के प्रतिलोम हैं दूसरे शब्दों में की, या । यह भी ध्यान दें कि । तो हमारे पास हैं $D_i = \sum_j e^{\delta_j - \delta_i} = \frac{\sum_j e^{\delta_j}} {e^{\delta_i}}$ $P_i = \frac{e^{\delta_i}}{\sum_j \delta_j}$ $D_i$ $P_i = 1/D_i$ $\sum_i P_i = 1$

\begin{aligned} E [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = & \sum_{i} P_{i} (δ_{i} + μ + γ + \log [D_{i}]) \\ = & (μ + γ) \sum_{i} P_{i} + \sum_{i} P_{i} δ_{i} + \sum_{i} P_{i} \log [D_{i}] \\ = & μ + γ + \sum_{i} P_{i} δ_{i} + \sum_{i} P_{i} \log [\frac{\sum_{j} e^{δ_{j}}}{e^{δ_{i}}}] \\ = & μ + γ + \sum_{i} P_{i} δ_{i} + \sum_{i} P_{i} \log [\sum_{j} e^{δ_{j}}] - \sum_{i} P_{i} \log [e^{δ_{i}}] \\ = & μ + γ + \sum_{i} P_{i} δ_{i} + \log [\sum_{j} e^{δ_{j}}] \sum_{i} P_{i} - \sum_{i} P_{i} δ_{i} \\ = & μ + γ + \log [\sum_{j} \exp {δ_{j}}] . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \hspace{3mm} E\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] =& \sum_i P_i\left(\delta_i + \mu + \gamma + \log[D_i]\right)\\ =&\hspace{2mm} (\mu + \gamma) \sum_i P_i + \sum_i P_i\delta_i + \sum_iP_i \log[D_i] \\ =& \hspace{2mm} \mu + \gamma + \sum_i P_i \delta_i + \sum_i P_i \log\left[\frac{\sum_j e^{\delta_j}} {e^{\delta_i}} \right]\\ =& \mu + \gamma + \sum_i P_i \delta_i + \sum_i P_i \log\left[\sum_j e^{\delta_j}\right] - \sum_i P_i \log[e^{\delta_i}]\\ =& \mu + \gamma + \sum_i P_i \delta_i + \log\left[ \sum_j e^{\delta_j}\right] \sum_i P_i - \sum_i P_i \delta_i \\ =& \mu + \gamma + \log\left[ \sum_j \exp\left\{ \delta_j \right\}\right] .\end{split} \end{equation}$ QED

— जेसन
स्रोत

मैंने जोड़ा कि मेरा मानना है कि आप जिस लेख का जिक्र कर रहे हैं, वह वास्तव में बिना देखे ही सुनिश्चित हो जाएगा; गलत होने पर सही करें।

— डगल

@ जेसन क्या आप जानते हैं कि यह साबित करने का तरीका क्या है कि जब अधिकतम एक पर अधिकतम सशर्त है? यहाँ देखें जो कि अनसुलझी है: आंकड़े ।stackexchange.com

— questions