उच्च पक्ष के लिए एक तरफा चेबीशेव असमानता

Question

क्या एक पक्षीय मामले में उच्च पल चेबीशेव की असमानताओं का एक एनालॉग है?

Chebyshev-Cantelli असमानता केवल विचरण के लिए काम करती है, जबकि Chebyshevs असमानता आसानी से सभी घातांक के लिए उत्पादन किया जा सकता है।

क्या किसी को उच्चतर क्षणों का उपयोग करके एकतरफा असमानता का पता चलता है?

Answer 1

सुविधा के लिए, घनत्व फ़ंक्शन साथ एक निरंतर शून्य-माध्य यादृच्छिक चर को निरूपित करता है , और जहां । हमारे पास जहां । यदि एक है भी पूर्णांक और किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या है, तो और इसलिए च ( एक्स ) पी { एक्स ≥ एक } एक > 0 पी { एक्स ≥ एक } = ∫ ∞ एक च ( एक्स $X$$f(x)$$P\{X \geq a\}$$a > 0$जी ( x ) = 1 [ एक , ∞ )

$$P\{X \geq a\} = \int_a^{\infty}f(x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)]$$ $g(x) = \mathbf 1_{[a,\infty)}$$n$h ( x ) = ( x + $b$ $$h(x) = \left(\frac{x+b}{a+b}\right)^n \geq g(x), -\infty < x < \infty,$$ $$E[h(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x)f(x)\,\mathrm dx \geq \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)].$$ इस प्रकार हम है कि सभी सकारात्मक वास्तविक संख्या और ख , पी { एक्स ≥ एक } ≤ ई [ ( एक्स + $a$$b$ जहां में सबसे दायीं ओर उम्मीद(1)हैnवें पल (nभी) कीएक्सके बारे में-बी। जबएन=2, छोटी से छोटी ऊपरी पर बाध्य पी{एक्स≥एक}प्राप्त किया जाता है जबख=σ $$P\{X \geq a\} \leq E\left[\left(\frac{X+b}{a+b}\right)^n\right] = (a+b)^{-n}E[(X+b)^n]\tag{1}$$ $(1)$$n$$n$$X$$-b$$n = 2$$P\{X \geq a\}$ एक पक्षीय Chebyshev असमानता देने (या Chebyshev-Cantelli असमानता): पी { एक्स ≥ एक } ≤ σ $b = \sigma^2/a$एन के बड़े मूल्यों केलिए,बी केसंबंध में न्यूनतमगड़बड़ है। $$P\{X \geq a\} \leq \frac{\sigma^2}{a^2 + \sigma^2}.$$ $n$$b$