ऊपरी सीमा के साथ निरंतर वर्दी आर.वी. का वितरण एक और निरंतर वर्दी आरवी है

Question

यदि और , तो क्या मैं कह सकता हूं किवाई ~ यू ( एक , एक्स ) वाई ~ यू ( एक , ख ) $X \sim U(a, b)$$Y \sim U(a, X)$$Y \sim U(a, b)?$

मैं सीमा साथ निरंतर समान वितरण के बारे में बात कर रहा हूं । एक सबूत (या अव्यवस्था!) की सराहना की जाएगी।$[a, b]$

Comments

नहीं, यह नहीं है। आर में: hist(runif(1e4,0,runif(1e4)))बहुत स्पष्ट रूप से पता चलता है कि निश्चित रूप से समान रूप से वितरित नहीं है। (मैं इसे एक टिप्पणी के रूप में पोस्ट कर रहा हूं क्योंकि आपने एक प्रमाण के लिए कहा था, जो कठिन नहीं होना चाहिए, लेकिन ईमानदार होना, तिरछे हिस्टोग्राम को देखते हुए, मुझे नहीं लगता कि एक प्रमाण आवश्यक है ...)$Y$

— स्टीफ़न कोलासा

स्थान और पैमाने का परिवर्तन बनाता , जिस स्थिति में किसी भी संख्या में , ने X \ ge y (और प्रदान किया है) 0 नहीं तो)। उस सशर्त प्रायिकता के लिए कार्य करने के लिए \ Pr (X \ ge y) = 1-y का उपयोग करें । y ∈ [ 0 , 1 ] पीआर ( Y ≤ y ) = y /$a=0,b=1$$y\in[0,1]$$\Pr(Y\le y)=y/X$$X\ge y$$0$$\Pr(X\ge y)=1-y$

— whuber

Answer 1

हम Y के वितरण को $Y$विश्लेषणात्मक रूप से प्राप्त कर सकते हैं । सबसे पहले, ध्यान दें कि यह $Y|X$ जो समान वितरण का अनुसरण करता है, अर्थात

$$f\left(y|x \right) = U(a, X)$$

इसलिए

$$\begin{align} f(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y|x) f(x) dx & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} \frac{1}{b-a} dx \\ & = \frac{1}{b-a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} dx \\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \log(b-a)-\log(y-a) \right] ,\quad a<y<b \end{align}$$

जो कि कारण एक समान वितरण नहीं है । यहाँ वितरण के लिए सिम्युलेटेड घनत्व कैसा दिखता है , जिसे हमने अभी गणना किया है।यू ( 0 , 1 $\log(y-a)$$U(0,1)$

y <- runif(1000, 0, runif(1000,0,1))
hist(y, prob =T)
curve( -log(x), add = TRUE, lwd = 2)

Answer 2

निश्चित रूप से नहीं।

सरलता के लिए, हम को परिभाषित करते हैं ।$a = 0, b = 1$

फिर

$P(Y > 0.5) = P(Y > 0.5 | X > 0.5)P(X > 0.5)$

$< P(X< 0.5) = 0.5$

सख्त असमानता के कारण, यह संभव नहीं है कि Unif (0,1)।$Y \sim$