क्यूइंग सिद्धांत समस्याओं में मॉडल आगमन प्रक्रियाओं के लिए पॉइसन वितरण को क्यों चुना गया है?

Question

जब हम क्यूइंग थ्योरी परिदृश्यों पर विचार करते हैं, जहां व्यक्ति एक सेवारत नोड तक पहुंचते हैं और कतार में खड़े होते हैं, आमतौर पर एक पॉइज़न प्रक्रिया का उपयोग आगमन के समय को मॉडल करने के लिए किया जाता है। ये परिदृश्य नेटवर्क रूटिंग समस्याओं में आते हैं। मैं एक सहज ज्ञान युक्त स्पष्टीकरण की सराहना करता हूं कि एक पॉइसन प्रक्रिया आगमन के मॉडल के लिए सबसे उपयुक्त क्यों है।

Answer 1

अगले ग्राहक के आने तक पॉइसन प्रक्रिया में एक "मेमोरीलेस" प्रतीक्षा समय शामिल होता है। औसत समय मान लीजिए एक ग्राहक से के बगल में है । अगले आगमन तक एक स्मृतिहीन निरंतर संभाव्यता वितरण जिसमें एक अतिरिक्त मिनट, या दूसरे, या घंटे, आदि की प्रतीक्षा की संभावना है, अगले आगमन तक, यह निर्भर नहीं करता है कि आप पिछले एक के बाद से कितनी देर तक प्रतीक्षा कर रहे हैं । यह कि आप पहले ही पाँच मिनट इंतजार कर चुके हैं क्योंकि अंतिम आगमन से यह अधिक संभावना नहीं है कि ग्राहक अगले मिनट में पहुंच जाएगा, ऐसा होगा कि यदि आप अंतिम आगमन के बाद केवल 10 सेकंड इंतजार कर रहे हैं।$\theta$

यह स्वचालित रूप से संकेत मिलता है कि प्रतीक्षा समय जब तक अगले आगमन को संतुष्ट करता है पीआर ( टी > टी ) = ई - टी / θ , यानी, यह एक घातीय वितरण है।$T$$\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

और इसके बदले में यह दर्शाया जा सकता है कि लंबाई t के किसी भी समय अंतराल के दौरान आने वाले ग्राहकों की संख्या , Pr ( X = x ) = e - t / θ ( t / θ ) x को संतुष्ट करती है।$X$$t$, यानी इसका अपेक्षित मूल्यटी/Po केसाथ पॉइसन वितरण है। इसके अलावा, यह तात्पर्य है कि गैर-अतिव्यापी समय अंतराल में आने वाले ग्राहकों की संख्या संभावित रूप से स्वतंत्र है।$\Pr(X=x) = \dfrac{e^{-t/\theta} (t/\theta)^x}{x!}$$t/\theta$

इसलिए प्रतीक्षा के समय की स्मृतिहीनता पोइसन प्रक्रिया की ओर ले जाती है।

Comments

प्रमेय कुछ भी कह सकते हैं, यह एक प्रायोगिक तथ्य है कि सामान्य स्थितियाँ- आगमन स्मरणीय होती हैं। आप यह साबित नहीं कर सकते कि कुछ अवधि में आने वाले कॉस्ट्यूमर्स की संख्या वास्तव में कुछ भी नहीं है।

प्रश्न का आशय औपचारिक प्रमाण के लिए पूछना नहीं था। कई बार, अवलोकन किए जाते हैं जो एक प्रमेय की ओर ले जाते हैं और फिर प्रेक्षणों को फिट करने के लिए अंतर्ज्ञान को 'विकसित' किया जाता है और इस प्रकार प्रमेय को लोकप्रिय समझने में मदद मिलती है। मैं कुछ इसी तरह की तलाश में था। उसी को शामिल करने के लिए मेरे प्रश्न का संपादन किया है।

— विघ्नेश

जवाब के लिए धन्यवाद। मैंने इस बात का काफी पालन नहीं किया कि मेमोरी कम आगमन ओर कैसे जाता है । क्या आप इस संदर्भ में विस्तार से बात करने वाले संदर्भ को विस्तृत या उद्धृत कर सकते हैं। धन्यवाद। $\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

— विघ्नेश

Memorylessness कहते हैं । यह Pr ( T > t + s  और  T > t ) = Pr ( T > s ) के समान है । ईवेंट [ T > t + s  और  T > t ] ईवेंट T $\Pr(T>t+s\mid T>t) = \Pr(T>s)$$\Pr(T>t+s\text{ and }T>t) = \Pr(T>s)$$[T>t+s\text{ and }T>t]$ । इसलिए सशर्त संभाव्यता Pr ( T > t + s ) / Pr ( T > t ) है । मेमोरीलेसनेस का कहना है कि यह Pr ( T > s ) के समान है । इसलिए हमारे पास Pr ( T > t + s ) = Pr ( T > t ) Pr ( T > s ) है । एक मोनोटोन फ़ंक्शन जी जो संतुष्ट करता है$T>t+s$$\Pr(T>t+s)/\Pr(T>t)$$\Pr(T>s)$$\Pr(T>t+s)=\Pr(T>t)\Pr(T>s)$$g$ एक घातीय कार्य है। और एकरसता इस तथ्य से होती है कि Pr ( T > t + s ) , Pr ( T > t ) से कम होना चाहिएक्योंकि पूर्व घटना का तात्पर्य है, लेकिन उत्तरार्द्ध द्वारा निहित नहीं है। $g(t+s)=g(t)g(s)$$\Pr(T>t+s)$$\Pr(T>t)$

— माइकल हार्डी

यह नहीं होना चाहिए ? $\Pr(T>t) = 1/\theta*e^{-t/\theta}$

— vonjd

Answer 2

बहुत से किसी भी इंट्रो से लेकर कतारबद्ध सिद्धांत या स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की किताब इसको कवर करेगी, उदाहरण के लिए, रॉस, स्टोचस्टिक प्रोसेस या क्लेरॉक, क्यूइंग थ्योरी।

एक सबूत की रूपरेखा के लिए कि स्मृतिहीन आगमन एक घातीय dist'n को जन्म देता है:

G (x) = P (X> x) = 1 - F (x) दें। अब, यदि वितरण स्मृतिहीन है,

जी (एस + टी) = जी (एस) जी (टी)

यानी, संभावना है कि x> s + t = संभावना है कि यह s से अधिक है, और यह कि अब, यह s से अधिक है, यह s (t +) से अधिक है। स्मृतिहीन संपत्ति का अर्थ है कि दूसरी (सशर्त) संभाव्यता के बराबर है कि समान वितरण> t के साथ एक अलग आर.वी.

रॉस को उद्धृत करने के लिए:

"उपरोक्त समीकरण के एकमात्र समाधान जो किसी भी प्रकार की उचित परिस्थितियों को संतुष्ट करते हैं, (जैसे एकरूपता, दाएं या बाएं निरंतरता, या यहां तक ​​कि औसत दर्जे का), फॉर्म के हैं:"

G (x) = exp (-ax) a के कुछ उपयुक्त मान के लिए।

और हम घातीय वितरण पर हैं।

Comments

रॉबर्ट गैल्जर ऑफ ड्रॉ ऑफ प्रॉसेस: थ्योरी फॉर APPLICATIONS ( rle.mit.edu/rgallager/notes.htm ) पॉइसन प्रक्रिया की चर्चा सहित स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के लिए एक अच्छा मुफ्त विकल्प है

— मार्टिन वान डेर लिंडेन

रॉबर्ट गल्जर का STOCHASTIC प्रक्रियाओं का अधिकार: आवेदन के लिए सिद्धांत

— मार्टिन वान लिंडन