त्रुटि फ़ंक्शन और मानक सामान्य वितरण फ़ंक्शन कैसे संबंधित हैं?

यदि मानक सामान्य पीडीएफ

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

और CDF

F (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- x^{2} / 2} d x,

$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\,,$

यह एरर फंक्शन में कैसे बदल जाता है $z$ ?

normal-distribution cdf

— TH4454
स्रोत

johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf

— मार्क एल। स्टोन

मैंने इसे देखा, लेकिन यह ईआरएफ के साथ शुरू होता है जो पहले से ही परिभाषित है।

— 224 पर TH4454

खैर, इरफ की एक परिभाषा है और सामान्य सीडीएफ की एक परिभाषा है। कुछ नियमित गणनाओं से व्युत्पन्न संबंधों को दिखाया जाता है कि उनके बीच कैसे परिवर्तित किया जाए, और उनके व्युत्क्रमों के बीच कैसे परिवर्तित किया जाए।

— मार्क एल स्टोन

क्षमा करें, मुझे कई विवरण दिखाई नहीं दे रहे हैं। उदाहरण के लिए, CDF -Inf से x तक है। तो ERF 0 से x में कैसे जाता है?

— TH4454

क्या आप परिवर्तनशील परिवर्तन की पथरी तकनीक से परिचित हैं? यदि नहीं, तो इसे करना सीखें।

— मार्क एल स्टोन

क्योंकि यह कुछ प्रणालियों में अक्सर सामने आता है (उदाहरण के लिए, मैथेमेटिका , सामान्य को व्यक्त करने के लिए $\text{Erf}$ ) के संदर्भ में जोर देते हैं , इस तरह से एक धागा होना अच्छा है जो रिश्ते को दस्तावेज करता है।

द्वारा परिभाषा, त्रुटि समारोह है

Erf (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{d}t.$

लेखन का तात्पर्य (क्योंकि नकारात्मक नहीं है), जिस कारण से । समापन बिंदु और बन जाते हैं और । संचयी वितरण फ़ंक्शन (CDF) की तरह दिखने वाले परिणामी इंटीग्रल को परिवर्तित करने के लिए, इसे उन इंटीग्रल्स के संदर्भ में व्यक्त किया जाना चाहिए जिनकी सीमा कम है , इस प्रकार: $t^2 = z^2/2$ $t = z / \sqrt{2}$ $t$ $\mathrm{d}t = \mathrm{d}z/\sqrt{2}$ $t=0$ $t=x$ $z=0$ $z=x\sqrt{2}$ $-\infty$

Erf (x) = \frac{2}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{x \sqrt{2}} e^{- z^{2} / 2} d z = 2 (\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x \sqrt{2}} e^{- z^{2} / 2} d z - \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{0} e^{- z^{2} / 2} d z) .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{x\sqrt{2}} e^{-z^2/2}\mathrm{d}z = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x\sqrt{2}}e^{-z^2/2}\mathrm{d}z - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right).$

दाहिने हाथ के आकार के अभिन्न अंग मानक सामान्य वितरण के CDF के दोनों मान हैं,

Φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- z^{2} / 2} d z .

$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$

विशेष रूप से,

Erf (x) = 2 (Φ (x \sqrt{2}) - Φ (0)) = 2 (Φ (x \sqrt{2}) - \frac{1}{2}) = 2 Φ (x \sqrt{2}) - 1.

$\text{Erf}(x) = 2(\Phi(x\sqrt{2}) - \Phi(0)) = 2\left(\Phi(x\sqrt{2}) - \frac{1}{2}\right) = 2\Phi(x\sqrt{2}) - 1.$

यह दिखाता है कि सामान्य सीडीएफ के संदर्भ में त्रुटि फ़ंक्शन को कैसे व्यक्त किया जाए। उस के बीजगणितीय हेरफेर सामान्य सीडीएफ को त्रुटि फ़ंक्शन के संदर्भ में आसानी से देता है:

Φ (x) = \frac{1 + Erf (x / \sqrt{2})}{2} .

$\Phi(x) = \frac{1 + \text{Erf}(x/\sqrt{2})}{2}.$

यह रिश्ता (वास्तविक संख्या के लिए, वैसे भी) दो कार्यों के भूखंडों में प्रदर्शित किया जाता है। रेखांकन समान वक्र हैं। बाईं तरफ त्रुटि समारोह के निर्देशांक के निर्देशांक में बदल रही हैं गुणा करके सही पर द्वारा निर्देशांक बताया करने के लिए निर्देशांक, और फिर विभाजित द्वारा निर्देशांक , को दर्शाती है संबंध $\Phi$ $x$ $\sqrt{2}$ $1$ $y$ $y$ $2$

Φ (x \sqrt{2}) = \frac{Erf (x) + 1}{2}

$\Phi(x\sqrt{2}) = \frac{\text{Erf}(x) + 1}{2}$

जिसमें अंकन स्पष्ट रूप से गुणन, जोड़ और विभाजन के इन तीन कार्यों को दर्शाता है।

— व्हीबर
स्रोत

मुझे लगता है कि माध्य और मानक विचलन को देखते हुए, उन्हें संबंधित करने का सही तरीका ।

Φ (x, μ, σ) = \frac{1}{2} (1 + Erf (\frac{x - μ}{σ \sqrt{2}}))

$\Phi(x,\mu,\sigma)=\frac{1}{2}\left( 1+\text{Erf} \left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \right)\right)$

— Foad