आप कैसे देखते हैं कि एक मार्कोव श्रृंखला अप्रासंगिक है?

Question

मैं कुछ परेशानी मार्कोव श्रृंखला संपत्ति को समझने की है अलघुकरणीय ।

इरेड्यूसिबल का अर्थ है कि स्टोकेस्टिक प्रक्रिया "किसी भी राज्य से किसी भी राज्य में जा सकती है"।

लेकिन क्या यह परिभाषित करता है कि क्या यह राज्य से राज्य जा सकता है, या नहीं जा सकता है?$i$$j$

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विकिपीडिया पृष्ठ औपचारिक देता है:

राज्य है सुलभ (लिखित ) राज्य से , पूर्णांक मौजूद सेंट $j$$i\rightarrow j$$i$$n_{ij}>0$

$$P(X_{n_{ij}}=j\space |\space X_0=i)=p_{ij}^{(n_{ij})} >0$$

तब संचार होता है अगर और ।$i\rightarrow j$$j \rightarrow i$

इन irreducibility से किसी भी तरह का पालन करता है।

Comments

"पहुंच" के बारे में अंतर्ज्ञान क्या है? मुझे समझ में नहीं आता है कि सशर्त संभावना होने से कुछ "सुलभ" क्यों हो जाता है?

— मविविलेज

आप दुर्गम बिंदु से देख सकते हैं । राज्य से दुर्गम होना कहा जाता है अगर वहाँ से वहाँ पहुँचने के लिए कोई संभावना नहीं है चरणों के किसी भी संख्या के लिए है, इस घटना की संभावना बनी हुई है । एक्सेसिबिलिटी की परिभाषा बनाने के लिए किसी को क्वांटर्स को स्विच करना चाहिए, यानी to और to to (जो कि के समान है , क्योंकि प्रायिकता सकारात्मक है)। $j$$i$$i$$n$$0$$\forall$$\exists$$=0$$\neq 0$$>0$

— nmerci

Answer 1

ट्रांज़िशन मैट्रिस के लिए यहां तीन उदाहरण दिए गए हैं, पहले दो reducible केस के लिए, आखिरी इरेड्यूसबल के लिए।

$$\begin{eqnarray*} P_1 &=& \left( \begin{array}{cccc} 0.5 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0.9 & 0.1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.2 & 0.8 \\ 0 & 0 & 0.7 & 0.3 \end{array} \right) \\\\ P_2 &=& \left( \begin{array}{cccc} 0.1 & 0.1 & 0.4 & 0.4 \\ 0.5 & 0.1 & 0.1 & 0.3 \\ 0.2 & 0.4 & 0.2 & 0.2 \\ 0 & 0 & 0 & 1% \end{array} \right) \end{eqnarray*}$$ के लिए , जब आप राज्य 3 या 4 में हैं, तो आप वहीं पर बनी रहेंगी, और राज्यों 1 और 2 के लिए समान। उदाहरण के लिए, राज्य 1 से राज्य 3 या 4 तक पहुंचने का कोई रास्ता नहीं है।$P_1$

के लिए , आप राज्यों से 1 से 3 किसी भी राज्य को प्राप्त कर सकते हैं, लेकिन एक बार आप राज्य 4 में हैं, तुम वहाँ रहना होगा। इसके लिए उदाहरण के लिए, आप किसी भी राज्य में शुरू कर सकते हैं और अभी भी किसी अन्य राज्य तक पहुंच सकते हैं, हालांकि जरूरी नहीं कि एक चरण में।$P_2$

$$P_3=\left( \begin{array}{cccccc} 0.5 & 0.5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0.9 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.1 \\ 0 & 0 & 0 & 0.8 & 0 & 0.2 \\ 0.7 & 0 & 0.1 & 0 & 0.2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0.1 & 0.9 & 0 \\ 0.9 & 0 & 0 & 0 & 0.1 & 0% \end{array} \right)$$

Answer 2

राज्य एक राज्य से सुलभ होना कहा जाता है (आमतौर पर से दर्शाया जाता है ) अगर कोई मौजूद ऐसी है कि: है यही कारण है, एक राज्य से प्राप्त कर सकते हैं राज्य के लिए में संभावना के साथ चरणों ।$j$$i$$i \to j$$n\geq 0$

$$p^n_{ij}=\mathbb P(X_n=j\mid X_0=i) > 0$$ $i$$j$$n$$p^n_{ij}$

यदि और सत्य रखता तो स्टेट्स और कम्यूनिकेशन (आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है )। इसलिए, मार्कोव श्रृंखला अप्रासंगिक है यदि प्रत्येक दो राज्य संवाद करते हैं।$i\to j$$j\to i$$i$$j$$i\leftrightarrow j$

Comments

है में एक शक्ति या एक सूचकांक? $n$$p_{ij}^n$

— मविविलेज

यह एक सूचकांक है। हालांकि, यह एक व्याख्या है: अगर एक संक्रमण संभावना मैट्रिक्स हो, तो है की मई के तत्व (यहाँ एक शक्ति है) । $\mathbf P=(p_{ij})$$p_{ij}^n$$ij$$\mathbf P^n$$n$

— nmerci

Answer 3

चलो और एक मार्कोव श्रृंखला के दो अलग राज्यों होना। अगर वहाँ के लिए प्रक्रिया राज्य से जाने के लिए कुछ सकारात्मक संभावना है राज्य के लिए , जो कुछ भी हो सकता है चरणों की संख्या (कहते हैं कि 1, 2, 3 ), तो हम कहते हैं कि राज्य राज्य से पहुँचा जा सकता है ।$i$$j$$i$$j$$\cdots$$j$$i$

विशेष रूप से, हम इसे रूप में व्यक्त करते हैं । प्रायिकता के संदर्भ में, इसे निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है: एक राज्य राज्य से सुलभ है , यदि कोई पूर्णांक मौजूद है, जैसे कि ।$i\rightarrow j$$j$$i$$m>0$$p_{ij}^{(m)}>0$

इसी तरह, हम जो कहते हैं, एक पूर्णांक वहां मौजूद है, तो ऐसी है कि ।$j\rightarrow i$$n>0$$p_{ji}^{(n)}>0$

अब, यदि और दोनों सत्य हैं, तो हम कहते हैं कि और एक-दूसरे के साथ संवाद करते हैं, और यह रूप से रूप में व्यक्त किया जाता है । प्रायिकता के संदर्भ में, इसका अर्थ है कि, दो पूर्णांक ऐसा कि और । $i\rightarrow j$$j\rightarrow i$$i$$j$$i \leftrightarrow j$$m>0,\;\; n>0$$p_{ij}^{(m)}>0$$p_{ji}^{(n)}>0$

यदि मार्कोव श्रृंखला के सभी राज्य एक बंद संचार वर्ग से संबंधित हैं , तो श्रृंखला को एक अप्रासंगिक मार्कोव श्रृंखला कहा जाता है । Irreducibility श्रृंखला की एक संपत्ति है।

एक चिड़चिड़ा मार्कोव चेन में, प्रक्रिया किसी भी राज्य से किसी भी राज्य में जा सकती है, जो भी आवश्यक चरणों की संख्या हो।

Answer 4

मौजूदा कुछ उत्तर मुझे गलत लग रहे हैं।

जैसा कि जे। मेधी (पृष्ठ 4 ९, संस्करण ४) द्वारा स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं में उद्धृत किया गया है , एक मार्कोव श्रृंखला अप्रतिबंधित है यदि इसमें राज्य के स्थान के अलावा कोई उचित 'बंद' सबसेट नहीं है।

इसलिए यदि आपके संक्रमण संभाव्यता मैट्रिक्स में, राज्यों का एक सबसेट है जैसे कि आप उन राज्यों के अलावा किसी अन्य राज्यों में 'पहुंच' (या पहुंच) नहीं कर सकते हैं, तो मार्कोव श्रृंखला फिर से चालू है। अन्यथा मार्कोव श्रृंखला अप्रासंगिक है।

Answer 5

पहले चेतावनी का एक शब्द: कभी भी एक मैट्रिक्स को न देखें जब तक कि आपके पास ऐसा करने का एक गंभीर कारण न हो: केवल एक ही जिसे मैं सोच सकता हूं, वह गलती से टाइप किए गए अंकों के लिए जाँच कर रहा है, या एक पाठ्यपुस्तक में पढ़ रहा है।

अगर $P$ आपका परिवर्तन मैट्रिक्स है, गणना करें $\exp(P)$। यदि सभी प्रविष्टियाँ नॉनज़ेरो हैं, तो मैट्रिक्स इरेड्यूसबल है। अन्यथा, यह reducible है। अगर$P$ बहुत बड़ा है, गणना करता है $P^n$ साथ में $n$जितना हो सके उतना बड़ा। एक ही परीक्षण, थोड़ा कम सटीक।

Irreducibility का अर्थ है: आप किसी भी राज्य से किसी भी अन्य राज्य में कई चरणों में जा सकते हैं।

क्रिस्टोफ़ हैनक के उदाहरण में $P_3$, आप सीधे राज्य 1 से राज्य 6 तक नहीं जा सकते, लेकिन आप 1 -> 2 -> 6 पर जा सकते हैं

Comments

आप कैसे परिभाषित करते हैं "राज्य से जा सकते हैं $i$ कहना $j$"?

— मविविलेज

आपको वास्तव में अपने शिक्षक से पूछने की जरूरत है। वह तुम्हें खाने नहीं जा रहा है, तुम्हें पता है।

— टाइटस

जब आप ऍक्स्प (पी) का उपयोग करते हैं तो आप ओटी मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल का उल्लेख कर रहे हैं? या$e^{P_{ij}}$, कहां, j, मैट्रिक्स P का ij शब्द है?

— ३५ पर हनले

मैं मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल की बात कर रहा हूं

— टाइटस