ट्रांसफॉर्मिंग ऑर्डर स्टैटिस्टिक्स

यादृच्छिक चर मान लें और स्वतंत्र हैं और हैं । दिखाएँ कि का वितरण। $X_1, ... , X_n$ $Y_1, ..., Y_n$ $U(0,a)$ $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $\text{Exp}(1)$

मैंने स्थापना करके इस समस्या को शुरू किया है $\{X_1,...,X_n,Y_1,...Y_n\} = \{Z_1,...,Z_n\}$ तब $\max(Y_n,X_n)= Z_{(2n)}$ रूप में वितरित किया जाएगा $(\frac{z}{a})^{2n}$ और $\min(Y_n,X_n)= Z_{(1)}$ को रूप में वितरित किया जाएगा। $1 - (1 - \frac{z}{a})^{2n}$ घनत्वों को आसानी से $f_{Z_{1}}(z) = (2n)(1-\frac{z}{a})^{2n-1}\frac{1}{a}$ और $f_{Z_{(2n)}}(z) = (2n)(\frac{z}{a})^{2n-1} \frac{1}{a}$

यह वह जगह है जहाँ मुझे यह जानने में कठिन समय लगता है कि अब कहाँ जाना है कि इनकी गणना की जाए। मुझे लगता है कि यह एक परिवर्तन के साथ कुछ करना है, लेकिन मैं अनिश्चित हूँ ...

self-study data-transformation order-statistics

— सुसान
स्रोत

निश्चित रूप से आप इसके अलावा में ग्रहण करने के लिए की जरूरत है कि न केवल हैं

X_{i}

$X_i$ और

Y_{i}

$Y_i$ आईआईडी, लेकिन यह भी

X_{i}

$X_i$ से स्वतंत्र

Y_{j}

$Y_j$ । यह देखते हुए, क्या आपने सीधे

साथ काम करने के बारे में सोचा है

\log (Z_{i})

$\log(Z_i)$ ?

— whuber

@ आपकी टिप्पणी से मेरा विचार ऐसा परिवर्तन स्थापित करने में होगा जहां मैं n * लॉग (Z

_{i}

$_i$ ) के घनत्व को हल

— सुसान

मैंने थोड़ा सुधार किया (विशेष रूप से और को और में बदल दिया ) लेकिन अगर आपको यह पसंद नहीं है कि यह कैसा है, तो आप पिछले संस्करण में वापस रोल कर सकते हैं ("संपादित <x> पहले" लिंक पर क्लिक करके) अपनी पोस्ट के नीचे मेरे gravatar के ऊपर) और फिर अपने पिछले संस्करण के ऊपर "रोल बैक" लिंक पर क्लिक करें।

l o g

$log$

m i n

$min$

\log

$\log$

min

$\min$

— Glen_b -Reinstate मोनिका

सुसान, आप इस प्रश्न का गलत अर्थ निकालते / गलत करते दिखाई देते हैं। प्रश्न के अनुपात का अर्थ तलाशता है : जहां s का अधिकतम क्रम सांख्यिकीय है , और , का अधिकतम क्रम सांख्यिकीय है रों। दूसरे शब्दों में, min (maxX, maxY) चाहता है, सभी s और s में से न्यूनतम नहीं , इसलिए आप अपनी Z ट्रिक का उपयोग नहीं कर सकते सभी एक्स और वाई मूल्यों को समतल / संयोजित करने के लिए। .......

\frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

$\min(Y_{(n)},X_{(n)})$

Y_{(n)}

$Y_{(n)}$

Y

$Y$

X_{(n)}

$X_{(n)}$

X

$X$

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

${\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

X

$X$

Y

$Y$

— भेड़ियों

किसी भी घटना में, और एक अलग बात के रूप में, , और अलग से के घनत्व की गणना करने का कोई मतलब नहीं है (जैसा कि आपने किया है) , क्योंकि अलग-अलग ऑर्डर आँकड़े नहीं हैं आम तौर पर स्वतंत्र। के अनुपात को खोजने के लिए , किसी को सबसे पहले , की संयुक्त पीडीएफ खोजने की आवश्यकता होगी , यदि वह समस्या थी हाथ में (जो यह नहीं है)।

Z_{(1)}

$Z_{(1)}$

Z_{(2 n)}

$Z_{(2n)}$

Z_{(2 n)} / Z_{(1)}

$Z_{(2n)}/Z_{(1)}$

(Z_{(1)}, Z_{(2 n)})

$(Z_{(1)},Z_{(2n)})$

— भेड़िये

जवाबों:

इस समस्या को अकेले परिभाषाओं से हल किया जा सकता है: एकमात्र उन्नत गणना एक मोनोमियल का अभिन्न अंग है।

प्रारंभिक अवलोकन

चलो चर और : के साथ काम करते हैं : यह नहीं बदलता है, लेकिन यह यूनिफ़ॉर्म वितरण के साथ iid बनाता है, गणना में सभी विचलित दिखावे को समाप्त करता है । इस प्रकार हम बिना किसी नुकसान के मान सकते हैं । $X_i/a$ $Y_i/a$ $Z_n$ $(X_1, \ldots, Y_n)$ $(0,1)$ $a$ $a=1$

ध्यान दें कि की स्वतंत्रता और उनके समान वितरण का है कि किसी भी संख्या लिए जिसके लिए , $Y_i$ $y$ $0\le y \le 1$

Pr (y \geq Y_{(n)}) = Pr (y \geq Y_{1}, \dots, y \geq Y_{n}) = Pr (y \geq Y_{1}) \dots Pr (y \geq Y_{n}) = y^{n},

$\Pr(y \ge Y_{(n)}) = \Pr(y \ge Y_1 , \ldots, y \ge Y_n) = \Pr(y \ge Y_1)\cdots \Pr(y \ge Y_n) = y^n,$

लिए एक समान परिणाम पकड़े हुए । भविष्य के संदर्भ के लिए, यह हमें गणना करने की अनुमति देता है $X_{(n)}$

E (2 X_{(n)}^{n}) = \int_{0}^{1} 2 x^{n} d (x^{n}) = \int_{0}^{1} 2 n x^{2 n - 1} d x = 1.

$\mathbb{E}(2X_{(n)}^n) = \int_0^1 2x^n\mathrm{d}(x^n) = \int_0^1 2nx^{2n-1}\mathrm{d}x = 1.$

समाधान

चलो एक सकारात्मक वास्तविक संख्या। के वितरण को खोजने के लिए , इसकी परिभाषा को प्रतिस्थापित करें और परिणामी असमानता को सरल : $t$ $Z_n$

\begin{aligned} Pr (Z_{n} > t) & = Pr (Z_{n} / n > t / n) = Pr (\exp (Z_{n} / n) > e^{t / n}) \\ = Pr (\frac{max (X_{(n)}, Y_{(n)})}{min (X_{(n)}, Y_{(n)})} > e^{t / n}) \\ = Pr (e^{- t / n} max (X_{(n)}, Y_{(n)}) > min (X_{(n)}, Y_{(n)})) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Z_n \gt t) &= \Pr(Z_n / n \gt t/n) = \Pr\left(\exp(Z_n/n) \gt e^{t/n}\right) \\ &=\Pr\left(\frac{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})}{\min(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt e^{t/n}\right) \\ &= \Pr\left(e^{-t/n}{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt {\min(X_{(n)}, Y_{(n)})}\right). }$

यह घटना दो परिवर्तनीय मामलों में टूट जाती है, यह इस बात पर निर्भर करती है कि क्या या में से छोटा है (और उनके प्रतिच्छेदन, शून्य संभावना के साथ, अनदेखा किया जा सकता है)। इस प्रकार हमें इनमें से किसी एक मामले के मौके की गणना करने की जरूरत है (जहां छोटा है) और इसे दोगुना करें। चूंकि , , हमें अनुमति देता है ( भूमिका निभाने के लिए के ) प्रारंभिक खंड में संगणना लागू करने के लिए: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $t\ge 0$ $0 \le e^{-t/n}X_{(n)} \le 1$ $e^{-t/n}X_{(n)}$ $y$

Pr (Z_{n} > t) = 2 Pr (e^{- t / n} X_{(n)} > Y_{(n)}) = 2 E [{(e^{- t / n} X_{(n)})}^{n}] = e^{- t} E [2 X_{(n)}^{n}] = e^{- t} .

$\Pr(Z_n \gt t) =2\Pr\left(e^{-t/n}X_{(n)} \gt {Y_{(n)}}\right) =2 \mathbb{E}\left[\left(e^{-t/n}{X_{(n)}}\right)^n\right] = e^{-t} \mathbb{E}\left[2{X_{(n)}^n}\right] = e^{-t}.$

एक्सप वितरण के लिए लिए इसका मतलब है । $Z_n$ $(1)$

— व्हीबर
स्रोत

मैं समाधान को स्केच करूंगा, यहां एक कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली का उपयोग करके नाइटी ग्रिटिस करूंगा ...

समाधान

यदि पैरेंट पर आकार का एक नमूना है , तो नमूना का pdf अधिकतम है: और इसी तरह । $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$

f_{n} (x) = \frac{n}{a^{n}} x^{n - 1}

$f_{n}(x) = \frac{n}{a^n} x^{n-1}$

Y

$Y$

दृष्टिकोण 1: के संयुक्त पीडीएफ का पता लगाएं $(X_{(n)},Y_{(n)})$

चूँकि और स्वतंत्र हैं, 2 सैंपल मैक्सिमम का संयुक्त pdf केवल 2 pdf का उत्पाद है, : $X$ $Y$ $(X_{(n)},Y_{(n)})$ $f_{(n)}(x,y)$

दिए गए । फिर, का , है: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

जहां मैं गणित के लिए मैथमैटिका से स्वचालित करने के लिए मैथ्सटेटिका पैकेज Probसे फ़ंक्शन का उपयोग कर रहा हूं । अलग करने से मानक एक्सपोनेंशियल के रूप में की पीडीएफ की पैदावार होती है । $z$ $Z_n$

दृष्टिकोण 2: आदेश के आँकड़े

हम मैक्स और न्यूनतम कार्यों से निपटने के लिए मैकेनिकों को 'बाय-पास' ऑर्डर ऑर्डर का उपयोग कर सकते हैं।

एक बार फिर: यदि पैरेंट , पर आकार का एक नमूना है , तो नमूना का नमूना अधिकतम है, कहो, : $X_1, ... , X_n$ $n$ $X \sim \text{Uniform}(0,a)$ $W = X_{(n)}$ $f_n(w)$

नमूना मैक्सिमम और इस वितरण से सिर्फ दो स्वतंत्र चित्र हैं ; यानी और ऑर्डर आंकड़े (आकार 2 के नमूने में) सिर्फ वही हैं जो हम खोज रहे हैं: $X_{(n)}$ $Y_{(n)}$ $W$ $1^{st}$ $2^{nd}$ $W$

$W_{(1)} = \min(Y_{(n)},X_{(n)})$
$W_{(2)} = \max(Y_{(n)},X_{(n)})$

, का संयुक्त pdf आकार 2 के नमूने में, , है: $(W_{(1)}, W_{(2)})$ $g(.,.)$

दिए गए । फिर, का , है: $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $Z_n$ $P(Z_n < z)$

इस दृष्टिकोण का लाभ यह है कि संभाव्यता गणना में अधिकतम / मिनट फ़ंक्शंस शामिल नहीं हैं, जो व्युत्पत्ति (विशेष रूप से हाथ से) को व्यक्त करने के लिए कुछ हद तक आसान बना सकते हैं।

अन्य

उपरोक्त मेरी टिप्पणी के अनुसार, ऐसा प्रतीत होता है कि आपने प्रश्न की गलत व्याख्या की है ...

हमें खोजने के लिए कहा जाता है:

Z_{n} = n \log \frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

जहां भाजक न्यूनतम (xMax, yMax) है, ... सभी के और के न्यूनतम नहीं है । $X$ $Y$

— wolfies
स्रोत

आपके स्केच के बाद, मुझे समझ में आया कि मैंने प्रश्न का गलत अर्थ कैसे निकाला। मैं समझता हूं कि दो नमूना मैक्सिमम के संयुक्त पीडीएफ की गणना कैसे करें, लेकिन मुझे अभी भी यकीन नहीं है कि हम अधिकतम / मिनट के अनुपात की व्याख्या कैसे कर सकते हैं।

— सुसान

मैंने ऑर्डर स्टैटिस्टिक्स का उपयोग करके एक वैकल्पिक व्युत्पत्ति जोड़ी है, जो अधिकतम / मिनट 'परिधि' करती है।

— भेड़ियों

यदि आपने डेटा सुसान के लॉग से शुरू किया था, तो आप अनुपात के बजाय ऑर्डर के आंकड़ों के अंतर को देख रहे होंगे ।

— whuber

मुझे विश्वास नहीं है कि कंप्यूटर औपचारिक संगणनाओं का उपयोग करने का कारण यह बताने का सबसे अच्छा तरीका है कि अनुपात एक एक्सप (1) यादृच्छिक चर क्यों है।

— शीआन

अच्छा बिंदु ... ओपी को छोड़कर कारण नहीं पूछता ... लेकिन यह दिखाने के लिए कि यह EXP [1] है। मैं इस बारे में भी अनिश्चित हूं कि यह होमवर्क (या असाइनमेंट) है या नहीं ... और वह वास्तव में कंप्यूटर का उपयोग करने का एक अच्छा लाभ है: कोई भी चरण का पालन करता है, परिणाम का सत्यापन करता है, ताकि सही दृष्टिकोण हो , लेकिन यांत्रिकी अभी भी ओपी पर छोड़ दी गई है। किसी के लिए शुरू में लॉग लेने के व्हिबर के सुझाव का पता लगाना अच्छा होगा।

— भेड़ियों