यदि और , क्या ?

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यह होमवर्क नहीं है।

आज्ञा देना $X$ एक यादृच्छिक चर है। यदि $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ और $\text{Var}[X] = 0$ , तो क्या यह उस का अनुसरण करता है $\Pr\left(X = k\right) = 1$ ?

सहज रूप से, यह स्पष्ट लगता है, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि मैं इसे कैसे साबित करूंगा। मैं एक तथ्य के लिए जानता हूं कि मान्यताओं से, यह उस अनुसरण करता है $\mathbb{E}[X^2] = k^2$ । So

{(\int_{R} x d F (x))}^{2} = \int_{R} x^{2} d F (x) .

$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$ यह मुझे कहीं भी ले जाने के लिए प्रतीत नहीं होता है। मैं

Var [X] = E [{(X - k)}^{2}] .

$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$ अब के बाद से

{(X - k)}^{2} \geq 0

$\left(X - k\right)^2 \geq 0$ , यह उस

E [{(X - k)}^{2}] \geq 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$ को भी

करता है।

लेकिन अगर मुझे समानता का उपयोग करना था, तो

E [{(X - k)}^{2}] = 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$ तो मेरी आंत की प्रवृत्ति है कि

{(X - k)}^{2} \equiv 0

$\left(X - k\right)^2 \equiv 0$ , ताकि

X \equiv k

$X \equiv k$ ।

मुझे यह कैसे पता चलेगा? मैं विरोधाभास से एक सबूत लगता है।

यदि, इसके विपरीत, सभी लिए , तो , और सभी । हमारे पास एक विरोधाभास है, इसलिए । $X \neq k$ $X$ $(X-k)^2 > 0$ $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ $X$ $X \equiv k$

क्या मेरा प्रमाण ध्वनि है - और यदि हां, तो क्या इस दावे को साबित करने का एक बेहतर तरीका है?

probability

— बाजा बजानेवाला
स्रोत

@ user777 मैंने वह तरीका मूल रूप से आज़माया है (जैसा कि आप मेरे समीकरण), लेकिन निश्चित नहीं था कि आगे कैसे बढ़ना है।

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

— शहनाई

3

मेरा मानना है कि चेबीशेव की असमानता इस सवाल का तुरंत जवाब देती है।

— whuber

@ वाउबर: कम से कम चेबिशेव की असमानता के विकिपीडिया के बयान से स्पष्ट रूप से नॉनजरो विचरण की आवश्यकता होती है । मैं वास्तव में यह नहीं देखता कि हमें शून्य विचरण मामले के लिए किसी प्रकार के प्राथमिक प्रमाण की आवश्यकता है या नहीं ...

— स्टीफन कोलासा

1

@Stephan आप आसानी से रेंज साथ किसी भी nondegenerate वितरण में मिश्रण कर सकते हैं और असमानता लागू करने के लिए कि सभी लिए दिखा सकते हैं। और सभी ।

(- δ, δ)

$(-\delta,\delta)$

Pr (| X - k | > δ) \leq ε

$\Pr(|X - k| \gt \delta) \le \varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon \gt 0$

δ > 0

$\delta \gt 0$

— whuber

6

यहां केवल परिभाषाओं का उपयोग करते हुए, दूसरों को पूरक करने के लिए एक उपाय सिद्धांतिक प्रमाण है। हम एक संभावना स्थान । ध्यान दें कि और इंटीग्रल पर विचार करें । मान लीजिए कि कुछ , मौजूद है जैसे कि और पर । तब नीचे से अनुमान , इसलिए की मानक परिभाषा के अनुसार, नीचे से सरल कार्यों के इंटीग्रल के सुप्रीम के रूप में, $(\Omega, \mathcal F, P)$ $Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$ $\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$ $\epsilon>0$ $A\in \mathcal F$ $Y>\epsilon$ $A$ $P(A)>0$ $\epsilon I_A$ $Y$ $\mathbb E Y$

E Y \geq \int ϵ I_{A} P (d ω) = ϵ P (A) > 0,

$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$ जो एक विरोधाभास है। इस प्रकार, , । किया हुआ।

\forall ϵ > 0

$\forall \epsilon>0$

P ({ω : Y > ϵ}) = 0

$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

— ekvall
स्रोत

5

विरोधाभास द्वारा यह साबित करें। विचरण और अपनी मान्यताओं की परिभाषा से , आपके पास है

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$

जहां , की संभाव्यता घनत्व है । ध्यान दें कि दोनों और nonnegative हैं। $f$ $X$ $(x-k)^2$ $f(x)$

अब, यदि , तो $P(X=k)<1$

U := (R ∖ {k}) \cap f^{- 1} (] 0, \infty [)

$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$

शून्य से उपाय अधिक से अधिक है, और । परन्तु फिर $k\notin U$

\int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

(कुछ -style तर्क को यहां शामिल किया जा सकता है) और इसलिए $\epsilon$

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x \geq \int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

और आपका विरोधाभास।

— स्टीफ़न कोलासा
स्रोत

2

क्या है ? कि रूप में ही है? $X \equiv k$ $X = k$

ETA: Iirc, $X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

वैसे भी, यह स्पष्ट है कि

(X - E [X])^{2} \geq 0

$(X-E[X])^2 \ge 0$

मान लीजिए

E [X - E [X])^{2}] = 0

$E[X-E[X])^2] = 0$

फिर

(X - E [X])^{2} = 0 a.s.

$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$

मेरा मानना है कि अंतिम चरण में संभावना की निरंतरता शामिल है ... या आपने क्या किया (आप सही हैं)।

Theres भी Chebyshev की असमानता :

$\forall \epsilon > 0$ ,

P (| X - k | \geq ϵ) \leq \frac{0}{ϵ^{2}} = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$

P (| X - k | \geq ϵ) = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$

\to P (| X - k | < ϵ) = 1

$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$

अच्छी बात फिर से ।

Btw ऐसा क्यों है

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

?

यह मुझे लगता है कि जबकि $LHS = k$ $RHS = k^2$

— BCLC
स्रोत

1

हाँ, तुम सही हो। मैंने पोस्ट को संपादित किया है

— शहनाई

@ कल्लिनेटिस्ट संपादित मेरा भी: P

— BCLC