रैंडम वॉक के लिए ऑटोकरेलेशन क्या है?

Question

ऐसा लगता है कि यह वास्तव में उच्च है, लेकिन यह मेरे लिए नकली है। क्या कोई समझा सकता है? मैं इस मुद्दे से बहुत उलझन में हूं और एक विस्तृत, व्यावहारिक विवरण की सराहना करूंगा। आपका अग्रिम रूप से बोहोत धन्यवाद!

Answer 1

(मैंने इसे एक अन्य पोस्ट के उत्तर के रूप में लिखा था, जिसे मैं इसे कंपोज करते समय एक डुप्लिकेट के रूप में चिह्नित किया गया था; मुझे लगा कि मैं इसे फेंकने के बजाय यहां पोस्ट कर दूंगा। ऐसा लग रहा है कि यह व्हिबर के लिए काफी समान बातें कहता है। उत्तर दें, लेकिन यह बिलकुल अलग है कि किसी को इसमें से कुछ मिल सकता है।)

एक यादृच्छिक की पैदल दूरी पर फार्म की है $y_t = \sum_{i=1}^t \epsilon_i$

ध्यान दें कि $y_t = y_{t-1}+ \epsilon_t$

इसलिए ।$\text{Cov}(y_t,y_{t-1})=\text{Cov}(y_{t-1}+ \epsilon_t,y_{t-1})=\text{Var}(y_{t-1})$

यह भी ध्यान दें कि $\sigma^2_t=\text{Var}(y_t) = t\,\sigma^2_\epsilon$

नतीजतन ।$\text{corr}(y_t,y_{t-1})=\frac{\sigma_{t-1}^2}{\sigma_{t-1}\sigma_t} =\frac{\sigma_{t-1}}{\sigma_t}=\sqrt{\frac{t-1}{t}}=\sqrt{1-\frac{1}{t}}\approx 1-\frac{1}{2t}$

कहने का मतलब यह है कि आपको लगभग 1 का सहसंबंध देखना चाहिए क्योंकि जैसे ही बड़े होने लगते हैं, y t और y t - 1 लगभग एक ही तरह के होते हैं - उनके बीच का सापेक्ष अंतर काफी छोटा हो जाता है।$t$$y_t$$y_{t-1}$

आप इसे सबसे आसानी से बनाम y t - 1 की साजिश रचकर देख सकते हैं ।$y_t$$y_{t-1}$

अब हम इसे कुछ हद तक सहज रूप से देख सकते हैं - कल्पना करें कि नीचे तक गिर गया है - 20 (जैसा कि हम देखते हैं कि यह मानक सामान्य शोर शब्द के साथ एक यादृच्छिक चलने के मेरे अनुकरण में किया गया था)। तब y t बहुत करीब होने जा रहा है - 20 ; यह हो सकता है - 22 या यह हो सकता है - 18.5 लेकिन यह कुछ इकाइयों - 20 के भीतर होना निश्चित है । इसलिए जैसे-जैसे श्रंखला ऊपर-नीचे होती है, y t बनाम y t - 1 की साजिश लगभग हमेशा y की एक संकीर्ण सीमा के भीतर रहने वाली है।$y_{t-1}$$-20$$y_t$$-20$$-22$$-18.5$$-20$$y_t$$y_{t-1}$ लाइन ... अभी तक के रूप में टी बढ़ता अंक कि के साथ अधिक से अधिक हिस्सों को कवर किया जाएगा y = एक्स लाइन (रेखा के साथ प्रसार के साथ बढ़ता है$y=x$$t$$y=x$ , लेकिन ऊर्ध्वाधर प्रसार लगभग स्थिर रहता है); सहसंबंध 1 दृष्टिकोण होना चाहिए।$\sqrt{t}$

Answer 2

आपके पिछले प्रश्न के संदर्भ में , एक "रैंडम वॉक" एक द्विपदीय रैंडम वॉक का एक साकार है। आटोक्लेरिकेशन वेक्टर ( x 0 , x 1 , … , x n - 1 ) और अगले तत्वों के वेक्टर ( x 1 , x 2 , … , x n ) के बीच सहसंबंध है$(x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$$(x_1,x_2, \ldots, x_n)$।

एक द्विपद यादृच्छिक चलने का बहुत ही निर्माण प्रत्येक को एक स्थिर I द्वारा प्रत्येक x i से भिन्न करने का कारण बनता है। $x_{i+1}$$x_i$ थोड़ी देर के लिए चलने के बाद, के मान प्रारंभिक मान x 0 से दूर हो गए होंगे और इस तरह आमतौर पर एक अच्छी श्रृंखला को कवर किया जाएगा, आमतौर पर ional के समानुपाती।$x_i$$x_0$ लंबाई में। इस प्रकार के अंतराल से 1 scatterplot(एक्समैं,एक्स मैं + 1 )जोड़े झूठ बोल अंक शामिल होंगेहीतर्ज परy=एक्स±1, लाइन के लिए औसत से किया जा रहा पास परy=एक्स। अवशिष्ट±1 केकरीब होंगे। इसलिए, प्रतीति के विशाल बहुमत में, बच के विचरण (के बारे में1) मूल्यों (मोटे तौर पर के आदेश पर की विचरण की तुलना में($\sqrt{n}$$(x_i, x_{i+1})$$y=x\pm 1$$y=x$$\pm 1$$1$) छोटा होगा। हमR2के लगभग होने कीउम्मीद करेंगे$(\sqrt{n}/2)^2 = n/4$$R^2$

$$R^2 \approx 1 - \frac{1}{n/4} = 1 - \frac{4}{n}.$$

यहाँ एक यादृच्छिक चलने में चरणों की एक तस्वीर है (बाईं तरफ) और इसके लैग -1 स्कैप्लेट (दाईं ओर)। कलर कोडिंग का उपयोग आपको दो भूखंडों में संबंधित बिंदुओं को खोजने में मदद करने के लिए किया जाता है। ध्यान दें कि इस स्थिति में R 2 वास्तव में 1 - 4 / n के करीब है ।$n=1000$$R^2$$1 - 4/n$

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यहां वह Rकोड है जो छवियों का उत्पादन करता है।

set.seed(17)
n <- 1e3
x <- cumsum((runif(n) <= 1/2)*2-1)          # Binomial random walk at x_0=0
rho <- format(cor(x[-1], x[-n]), digits=3)  # Lag-1 correlation

par(mfrow=c(1,2))
plot(x, type="l", col="#e0e0e0", main="Sample Path")
points(x, pch=16, cex=0.75,  col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2))
plot(x[-n], x[-1], asp=1, pch=16, col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2),
     main="Lag-1 Scatterplot",
     xlab="Current value", ylab="Next value")
mtext(bquote(rho == .(rho)))