एक गाऊसी प्रक्रिया के व्युत्पन्न

Question

मेरा मानना ​​है कि गॉसियन प्रक्रिया (जीपी) का व्युत्पन्न एक और जीपी है, और इसलिए मैं यह जानना चाहूंगा कि क्या जीपी के व्युत्पन्न समीकरणों के पूर्वानुमान समीकरणों के लिए बंद फॉर्म समीकरण हैं? विशेष रूप से, मैं चुकता घातांक (जिसे गाऊसी भी कहा जाता है) कोवरियस कर्नेल का उपयोग कर रहा हूं और गाऊसी प्रक्रिया के व्युत्पन्न के बारे में पूर्वानुमान बनाने के बारे में जानना चाहता हूं।

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जीपी के व्युत्पन्न से आपका क्या मतलब है? क्या आप बीपी, से बेतरतीब ढंग से एक वक्र उत्पन्न करते हैं , और फिर व्युत्पन्न लेते हैं? $x(t)$

— प्लासीडिया

@Placidia, कोई मैं की गणना मतलब , जो मेरा मानना ​​है कि एक और गाऊसी प्रक्रिया होनी चाहिए$\frac{\partial x(t)}{\partial t}$

अच्छा प्रश्न। हालाँकि मुझे याद है कि ब्राउनियन गति एक जीपी और कहीं भिन्न नहीं है। इसलिए मुझे यकीन नहीं है कि एक सामान्य अभिव्यक्ति हो सकती है। निश्चित रूप से x (t) -x (th) एक गाऊसी होना चाहिए, ताकि यह संभव हो कि कोवरियन फ़ंक्शन को दिए गए h के लिए इसके बारे में संभावनाओं के बारे में सोचा जाए।

— अनुमान

@ विशेषण, इसीलिए मैंने विशेष रूप से कहा कि मेरे पास एक जीपी है जहां कर्नेल फ़ंक्शन स्क्वॉयर एक्सपोनेंशियल है (क्योंकि मुझे पता है कि वह असीम रूप से भिन्न है) और वास्तव में केवल मेरे उदाहरण में व्युत्पन्न मामले की तलाश में था। लेकिन अच्छा बिंदु कोई भी कम नहीं है!

Answer 1

संक्षिप्त उत्तर: हां, यदि आपकी गॉसियन प्रक्रिया (जीपी) अलग है, तो इसका व्युत्पन्न फिर से एक जीपी है। यह किसी भी अन्य जीपी की तरह संभाला जा सकता है और आप भविष्य कहनेवाला वितरण की गणना कर सकते हैं।

लेकिन चूंकि एक जीपी और उसके व्युत्पन्न जी ' घनिष्ठ है आप दूसरे से या तो एक के गुणों का अनुमान लगा सकते हैं।$G$$G'$

1. के अस्तित्व $G'$

साथ सहप्रसरण समारोह एक शून्य मतलब जीपी विभेदक है (मतलब वर्ग में) यदि कश्मीर ' ( एक्स 1 , x 2 ) = ∂ 2$K$मौजूद है। उस मामले में की सहप्रसरण समारोहजी'के बराबर हैकश्मीर'। यदि प्रक्रिया शून्य-माध्य नहीं है, तो माध्य फ़ंक्शन को भी अलग-अलग होने की आवश्यकता है। उस मामले में की संकरी समारोहजी'का मतलब समारोह के व्युत्पन्न हैजी।$K'(x_1, x_2)=\frac{\partial^2 K}{\partial x_1 \partial x_2}(x_1,x_2)$$G'$$K'$$G'$$G$

(अधिक विवरण के लिए उदाहरण के लिए जाँच करें। पापुलिस का परिशिष्ट 10A "संभाव्यता, यादृच्छिक चर और स्टोकेस्ट प्रक्रियाएं))

चूंकि गाऊसी एक्सपोनेंशियल कर्नेल किसी भी क्रम के लिए अलग है, इसलिए यह आपके लिए कोई समस्या नहीं है।

2. के लिए भविष्य कहनेवाला वितरण $G'$

$G'$

$G'$$G$$G$

$G'$$G$$G$$K'$

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मुझे आपका सवाल समझ में नहीं आया। सहसंयोजक समारोह और ऊपर दिए गए माध्य फ़ंक्शन के लिए एक स्पष्ट सूत्र है (और रासमुसेन / विलियम्स के 9.4 में)। जैसा कि यह सब एक जीपी को जानने और उपयोग करने के लिए है जो आप और क्या पूछ सकते हैं?

— gg

$G'$

क्या यह संभव है कि आप मीन फ़ंक्शन और प्रक्रिया के रास्तों को भ्रमित करते हैं? ध्यान दें कि माध्य फ़ंक्शन पथों की तुलना में चिकना है और प्रक्रिया नहीं होने पर भी भिन्न हो सकता है। लेकिन माध्य फ़ंक्शन एक नियतात्मक फ़ंक्शन है, एक प्रक्रिया नहीं है, इसलिए कोई भिन्नता नहीं है जिसे गणना की जा सकती है।

— gg

Answer 2

यह है। रासमुसेन और विलियम्स अनुभाग 9.4 देखें । इसके अलावा, कुछ लेखकों ने वर्ग घातीय केनेल के खिलाफ दृढ़ता से तर्क दिया है - यह बहुत चिकना है।

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तो क्या व्युत्पन्न के लिए एक भविष्य कहनेवाला वितरण है?