ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन सममिति का एक प्रक्षेपण मैट्रिक्स क्यों है?

मैं इसके लिए काफी नया हूं, इसलिए मुझे आशा है कि यदि प्रश्न भोला हो तो आप मुझे क्षमा करें। (संदर्भ: मैं डेविडसन और मैककिनोन की पुस्तक "इकोनोमेट्रिक थ्योरी एंड मेथड्स" से अर्थमिति सीख रहा हूं , और वे इसे स्पष्ट नहीं करते हैं; मैंने ल्युबर्गर की अनुकूलन पुस्तक को भी देखा है जो कुछ अधिक उन्नत स्तर पर अनुमानों से संबंधित है, लेकिन भाग्य से नहीं)।

मान लीजिए कि मेरे पास एक ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन है जो संबद्ध प्रोजेक्शन मैट्रिक्स । मैं में प्रत्येक वेक्टर पेश में दिलचस्पी कुछ उपस्पेस में । $\mathbb P$ $\bf P$ $\mathbb{R}^n$ $A \subset \mathbb{R}^n$

प्रश्न : यह , अर्थात , सममित क्यों है? इस परिणाम के लिए मैं किस पाठ्यपुस्तक को देख सकता था? $\bf{P}=P$ $^T$ $\bf P$

regression least-squares

— weez13
स्रोत

en.wikipedia.org/wiki/...

— whuber

जवाबों:

यह ऑर्थोगोनल अनुमानों पर रैखिक बीजगणित से एक मौलिक परिणाम है। एक अपेक्षाकृत सरल दृष्टिकोण इस प्रकार है। अगर orthonormal एक फैले वैक्टर हैं आयामी उपस्पेस और है के साथ मैट्रिक्स 'कॉलम है, तो के रूप में एस यह तथ्य यह है कि के orthogonal प्रक्षेपण से सीधे इस प्रकार पर के orthonormal आधार के संदर्भ में की जा सकती है के रूप में $u_1, \ldots, u_m$ $m$ $A$ $\mathbf{U}$ $n \times p$ $u_i$

P = U U^{T} .

$\mathbf{P} = \mathbf{U}\mathbf{U}^T.$

x

$x$

A

$A$

A

$A$

ऐसा नहीं है कि उपरोक्त सूत्र से सीधे इस प्रकार

और कहा कि

\sum_{i = 1}^{m} u_{i} u_{i}^{T} x .

$\sum_{i=1}^m u_i u_i^T x.$

P^{2} = P

$\mathbf{P}^2 = \mathbf{P}$

P^{T} = P .

$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}.$

एक अलग तर्क देना भी संभव है। अगर एक orthogonal प्रक्षेपण के लिए एक प्रक्षेपण मैट्रिक्स है, तो परिभाषा के अनुसार सभी के लिए नतीजतन, $\mathbf{P}$ $x,y \in \mathbb{R}^n$

P x ⊥ y - पी y ।

$\mathbf{P}x \perp y-\mathbf{P}y.$

सभी के लिए

। यह दिखाता है कि

, जिस कारण से

0 = (पी एक्स)^{टी} (y - पी y) = {एक्स}^{टी} {पी}^{टी} (मैं - पी) y = {एक्स}^{टी} ({पी}^{टी} - {पी}^{टी} पी) y

$0 = (\mathbf{P} x)^T (y - \mathbf{P}y) = x^T \mathbf{P}^T (I - \mathbf{P}) y = x^T (\mathbf{P}^T - \mathbf{P}^T \mathbf{P}) y$

x, y \in R^{n}

$x, y \in \mathbb{R}^n$

P^{T} = P^{T} P

$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P}$

पी = ({पी}^{टी})^{टी} = ({पी}^{टी} पी)^{टी} = {पी}^{टी} पी = {पी}^{टी} ।

$\mathbf{P} = (\mathbf{P}^T)^T = (\mathbf{P}^T \mathbf{P})^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{P}^T.$

— NRH
स्रोत

आपकी व्यावहारिक टिप्पणी के लिए धन्यवाद! किसी तरह विकिपीडिया लेख, जिसमें प्रक्षेपण ऑपरेटर के आत्म-सन्निकटन के बारे में कुछ उल्लेख किया गया था, मुझे फेंक दिया, क्योंकि आपके प्रमाण उतना मुश्किल नहीं है। :) BTW, क्या आपके पास एक पसंदीदा रैखिक बीजगणित पाठ है जो इस तरह के सामान से संबंधित है?

— weez13

प्राथमिक रेखीय बीजगणित पुस्तक मुझे पता है कि सबसे अच्छा यह कवर नहीं करता है। सबसे अच्छा संदर्भ मुझे पता है कि कार्यात्मक विश्लेषण पर उन्नत पुस्तकें हैं। रेखीय बीजगणित किया सही किताब दिखता अच्छा है, लेकिन मैं यह नहीं जानता।

— NRH

x = x^{T}

$x = x^T$

(P x)^{T} = x P^{T}

$(Px)^T = xP^T$

(P x)^{T} (y - P y) = x P^{T} (I - P) y

$(Px)^T(y-Py)=xP^T(I-P)y$

x = x^{T}

$x = x^T$

P

$P$

x

$x$

(पी एक्स)^{टी} = {एक्स}^{टी} {पी}^{टी} ।

$(Px)^T = x^TP^T.$

P^{T} - P^{T} P = 0

$P^T - P^TP = 0$

x = x^{T}

$x=x^T$

x \in R^{n}

$x\in\mathbb{R}^n$

n = 1

$n=1$

x

$x$

ज्यामितीय अंतर्ज्ञान पर एक प्रयास ... याद है कि:

एक सममित मैट्रिक्स स्वयं सहायक है।
एक स्केलर उत्पाद केवल पारस्परिक रैखिक स्थान में घटकों द्वारा निर्धारित किया जाता है (और किसी भी वैक्टर के ऑर्थोगोनल घटकों से स्वतंत्र)।

$x$ $A$ $y$ $\langle x,Ay \rangle$ $x$ $y$ $\langle Ax,Ay \rangle$ $\langle Ax,y\rangle$

$A$

— JohnRos
स्रोत

आपका बहुत बहुत धन्यवाद! आपकी टिप्पणी को पढ़ने से पहले, मैं इस बारे में काफी उलझन में था कि यहाँ स्व-नियुक्ति क्यों महत्वपूर्ण है। अब मेरे पास कुछ सुराग है, धन्यवाद!

— weez13