असतत यादृच्छिक चर को रोकना?

Question

चलो $X$ एक असतत रैंडम वैरिएबल हो, जिसमें इसके मान हों $\mathbb{N}$। मैं इस वैरिएबल को आधा करना चाहूंगा , यानी रैंडम वैरिएबल खोजना$Y$ जैसे कि:

$$X = Y + Y^*$$

कहाँ पे $Y^*$ की एक स्वतंत्र प्रति है $Y$।

• मैं इस प्रक्रिया को आधा करने की बात कर रहा हूं ; यह एक निर्मित शब्दावली है। क्या इस ऑपरेशन के लिए साहित्य में उचित शब्द पाया गया है?
• यह मुझे ऐसा लगता है $Y$हमेशा केवल तभी मौजूद होता है जब हम नकारात्मक संभावनाओं को स्वीकार करते हैं। क्या मैं अपने अवलोकन में सही हूं?
• के लिए सबसे अच्छा सकारात्मक फिट होने की धारणा है$Y$? अका यादृच्छिक चर जो उपरोक्त समीकरण को हल करने के लिए "निकटतम" होगा।

धन्यवाद!

Comments

उन मामलों में जहां आप बिल्कुल "आधा" नहीं कर सकते हैं, "निकटतम" की कई संभावित परिभाषाएं हैं; यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप क्या अनुकूलित करना चाहते हैं।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

Answer 1

दृढ़ता से इस संपत्ति से संबंधित धारणा (यदि कमजोर है) विघटन है । एक डीकोप्रोजेबल कानून एक संभावना वितरण है जिसे दो (या अधिक) गैर-तुच्छ स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। (और एक अनिर्णायक कानून उस तरह से नहीं लिखा जा सकता है। "या अधिक" निश्चित रूप से अप्रासंगिक है।) विघटन के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति यह है कि विशेषता कार्य

$$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$$ दो (या अधिक) विशेषता कार्यों का उत्पाद है।

मुझे नहीं पता कि आप जिस संपत्ति पर विचार करते हैं, उसमें पहले से ही संभाव्यता सिद्धांत में एक नाम है, शायद अनंत विभाजन के साथ जुड़ा हुआ है । जो अधिक मजबूत संपत्ति है$X$, लेकिन जिसमें यह संपत्ति शामिल है: सभी असीम रूप से विभाज्य आरवी इस अपघटन को संतुष्ट करते हैं।

इस "प्राथमिक विभाजन" के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति यह है कि विशेषता फ़ंक्शन की जड़

$$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$$ फिर से एक विशेषता है।

पूर्णांक समर्थन के साथ वितरण के मामले में, यह शायद ही कभी होता है क्योंकि विशेषता फ़ंक्शन एक बहुपद है $\exp\{it\}$। उदाहरण के लिए, एक बर्नौली यादृच्छिक चर विघटित नहीं है।

विकीपीडिया पर विकिपीडिया पृष्ठ में बताया गया है , वहाँ भी पूरी तरह से निरंतर वितरण मौजूद हैं जो कि गैर-डूमोप्रोजेक्टिव हैं, जैसे कि घनत्व

$$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}\exp\{-x^2/2\}$$

घटना में की विशेषता समारोह $X$वास्तविक मूल्य है, पोल्या के प्रमेय का इस्तेमाल किया जा सकता है:

पोलिया का प्रमेय। यदि If एक वास्तविक मूल्य है, यहां तक ​​कि, निरंतर कार्य जो स्थितियों को संतुष्ट करता है

φ(0) = 1,
φ is convex on (0,∞),
φ(∞) = 0,

तब then एक बिल्कुल सतत सममित वितरण की विशेषता है।

वास्तव में, इस मामले में, $\varphi^{1/2}$फिर से वास्तविक मूल्य है। इसलिए, के लिए एक पर्याप्त स्थिति$X$प्राथमिक विभाज्य होना यह है कि is मूल-उत्तल है। लेकिन यह केवल सममित वितरण पर लागू होता है इसलिए उदाहरण के लिए बोचनर के प्रमेय की तुलना में बहुत अधिक सीमित उपयोग है ।

Answer 2

कुछ विशेष मामले हैं जहां यह सच है, लेकिन एक अनियंत्रित असतत यादृच्छिक चर के लिए, आपका "हॉल्टिंग" संभव नहीं है।

• दो स्वतंत्र द्विपद का योग$(n,p)$ यादृच्छिक चर एक द्विपद है$(2n,p)$ यादृच्छिक चर, और इसलिए एक द्विपद$(2n,p)$"आधा" किया जा सकता है।
  व्यायाम: यह पता लगाना कि क्या द्विपद है$(2n+1,p)$ यादृच्छिक चर "आधा" हो सकता है।

• इसी तरह, एक नकारात्मक द्विपद$(2n,p)$ यादृच्छिक चर "आधा" हो सकता है।

• दो स्वतंत्र पॉसों का योग$(\lambda)$ यादृच्छिक चर एक Poisson है$(2\lambda)$; इसके विपरीत, एक Poisson$(\lambda)$ यादृच्छिक चर दो स्वतंत्र पॉसों का योग है$(\frac{\lambda}{2})$यादृच्छिक चर। दरअसल, जैसा @ शीआन एक टिप्पणी में बताते हैं, एक पोइसन$(\lambda)$ यादृच्छिक चर को "आधा" किया जा सकता है जितनी बार हम चाहें: प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$, यह योग है $2^n$ स्वतंत्र पोइसन$\left(\frac{\lambda}{2^n}\right)$ यादृच्छिक चर।

Comments

+1 मेरी याद यह है कि असतत वर्दी एक विशेष मामला है जहां यह संभव नहीं है (मेरा मानना ​​है कि कई अन्य हैं, लेकिन यह एक है जिसे मैंने देखा है)।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

वास्तव में, एक समान वितरण विघटित है लेकिन उपरोक्त अर्थों में विभाज्य नहीं है।

— शीआन

पॉइज़न वितरण एक असीम रूप से विभाज्य वितरण का एक उदाहरण है, इसलिए इसे मनमाने ढंग से संख्या के आईआईडी के रूप में विभाजित किया जा सकता है।

— शीआन

Answer 3

समस्या मुझे यह प्रतीत होती है कि आप "स्वतंत्र प्रति" के लिए पूछते हैं, अन्यथा आप बस के साथ गुणा कर सकते हैं $\frac{1}{2}$? कॉपी लिखने के बजाय (एक प्रति हमेशा निर्भर रहती है), आपको शायद "दो स्वतंत्र, लेकिन समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर" लिखना चाहिए।

आपके सवालों के जवाब देने के लिए,

• जो सबसे करीब आता है, वह है दीक्षांत शब्द। माफ़ कर दिया$X$, आप दृढ़ संकल्प के साथ दो iid आर.वी. $X$।

• यदि आप नकारात्मक संभावनाओं को स्वीकार करते हैं, तो ये अब यादृच्छिक चर नहीं हैं, क्योंकि अब कोई संभावना स्थान नहीं है। ऐसे मामले हैं जहां आप ऐसे पा सकते हैं$Y,Y^*$ ($X$ $\lambda$-Poisson से वितरित, $Y$,$Y^*$ $\frac{\lambda}{2}$-पोइसन-वितरित), और ऐसे मामले जहां यह संभव नहीं है ($X$ बर्नौली, उदाहरण के लिए)।

• मैंने कोई भी नहीं देखा है, और मैं कल्पना नहीं कर सकता कि इस तरह के सबसे अच्छे फिट को कैसे औपचारिक रूप दिया जाए । आमतौर पर, यादृच्छिक चर के अनुमानों को यादृच्छिक चर के स्थान पर एक मानदंड से मापा जाता है। मैं यादृच्छिक चर के सन्निकटन या गैर-यादृच्छिक चर के बारे में नहीं सोच सकता।

मुझे उम्मीद है कि मैं मदद कर सकता हूं।