यह कैसे दिखाया जाए कि एक अनुमानक सुसंगत है?

यह पर्याप्त है कि एमएसई = 0 के रूप में दिखाने के लिए है $n\rightarrow\infty$ ? मैं भी अपने नोट्स में प्लिम के बारे में कुछ पढ़ता हूं। मैं प्लिम कैसे ढूंढता हूं और यह दिखाने के लिए इसका उपयोग करता हूं कि अनुमानक सुसंगत है?

estimation convergence consistency

— वाल्डिर लियोनसियो
स्रोत

EDIT: छोटी-मोटी गलतियाँ।

यहाँ यह करने का एक तरीका है:

का एक अनुमानक $\theta$ (चलो इसे $T_n$ ) सुसंगत है अगर यह संभावना में परिवर्तित हो जाए $\theta$ । अपने अंकन का उपयोग करना

$\mathrm{plim}_{n\rightarrow\infty}T_n = \theta$ ।

संभाव्यता में, गणितीय रूप से, साधन

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)= 0$ $\epsilon>0$

संभावना / संगति में अभिसरण दिखाने का सबसे आसान तरीका चेबीशेव की असमानता, जो बताता है:

$P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$ ।

इस प्रकार,

$P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)=P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$ ।

और इसलिए आपको यह दिखाने की आवश्यकता है कि $E(T_n - \theta)^2$ रूप में 0 पर जाता है । $n\rightarrow\infty$

EDIT 2 : उपरोक्त के लिए आवश्यक है कि अनुमानक कम से कम विषम रूप से निष्पक्ष हो। जैसा कि जे। जे। बताते हैं, अनुमानक (माध्य अनुमान लगाने के लिए ) पर विचार करें। परिमित और asymptotically दोनों के लिए पक्षपाती है , और को । हालांकि, का सुसंगत अनुमानक नहीं है । $T_n = \bar{X}_n+3$ $\mu$ $T_n$ $n$ $\mathrm{Var}(T_n)=\mathrm{Var}(\bar{X}_n)\rightarrow 0$ $n\rightarrow \infty$ $T_n$ $\mu$

EDIT 3 : नीचे दिए गए टिप्पणियों में कार्डिनल अंक देखें।

@ G.JayKerns निष्पक्षता इसके लिए अनावश्यक है। पर विचार करें । मानक विचलन का एक पक्षपाती अनुमानक है फिर भी आप उपरोक्त तर्क का उपयोग करके दिखा सकते हैं कि यह सुसंगत है।

S_{n} = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X_{n}})^{2}}

$S_n = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X_n})^2}$

S_{n}

$S_n$

अच्छा लगता है (+1); और मैं अपनी पिछली टिप्पणियों को हटा दूंगा।

@ G.JayKerns आपकी टिप्पणी एक आवश्यक अतिरिक्त थी। हमें हमेशा यह सुनिश्चित करना चाहिए कि हम उन मान्यताओं से अवगत हैं, जिनके तहत हम काम कर रहे हैं।

@ मायके वेयरज़बिकी: मुझे लगता है कि हमें विशेष रूप से निष्पक्ष रूप से निष्पक्षता से जो मतलब है, उससे हमें बहुत सावधान रहने की जरूरत है । कम से कम दो अलग-अलग अवधारणाएं हैं जो अक्सर इस नाम को प्राप्त करती हैं और उन्हें अलग करना महत्वपूर्ण है। ध्यान दें कि यह है सच नहीं सामान्य रूप में है कि एक सुसंगत आकलनकर्ता अर्थ में asymptotically निष्पक्ष है कि भी जब मतलब सभी के लिए मौजूद है । बहुत से लोग सीमा या अनुमानित निष्पक्षता में अभिसरण निष्पक्षता कहते हैं ... (cont।)

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

n

$n$

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$

— कार्डिनल

जाहिर है, एक निरंतर अनुमानक के लिए सीमा में पक्षपाती होने के लिए, में अभिसरण विफल होना चाहिए क्योंकि जहां ।

L_{2}

$L_2$

E (T_{n} - θ)^{2} = V a r (T_{n}) + (θ_{n} - θ)^{2}

$\mathbb E(T_n - \theta)^2 = \mathrm{Var}(T_n) + (\theta_n - \theta)^2$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

— कार्डिनल