पंक्ति और स्तंभ लंबाई पर बाधाओं के साथ रैंडम मैट्रेस

मुझे पंक्तियों और स्तंभों के साथ यादृच्छिक गैर-वर्ग मैट्रिसेस उत्पन्न करने की आवश्यकता है , तत्वों को बेतरतीब ढंग से = 0 के साथ वितरित किया गया है, और ऐसा विवश किया गया है कि प्रत्येक पंक्ति की लंबाई (L2 मानदंड) और प्रत्येक कॉलम की लंबाई । समान रूप से, प्रत्येक पंक्ति के लिए वर्ग मानों का योग 1 होता है और प्रत्येक कॉलम के लिए । $R$ $C$ $1$ $\sqrt{\frac{R}{C}}$ $\frac{R}{C}$

अब तक मुझे इसे प्राप्त करने का एक तरीका मिल गया है: बस मैट्रिक्स तत्वों को बेतरतीब ढंग से प्रारंभ करें (जैसे कि एक समान, सामान्य, या शून्य मतलब और मनमाना विचरण के साथ लैपल्स वितरण), फिर बारी-बारी से पंक्तियों और स्तंभों को सामान्य करें , पंक्ति सामान्यीकरण के साथ। यह वांछित परिणाम को शीघ्रता से परिवर्तित करने के लिए लगता है (जैसे और , स्तंभ लंबाई का विचलन आमतौर पर पुनरावृत्तियों के बाद ~ ) है, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि मैं इस तेज अभिसरण दर पर निर्भर कर सकता हूं सामान्य तौर पर (विभिन्न मैट्रिक्स आयामों और प्रारंभिक तत्व वितरण के लिए)। ${\rm length} = 1$ $R=40$ $C=80$ $~0.00001$ $2$

मेरा प्रश्न यह है: क्या वांछित परिणाम प्राप्त करने का एक तरीका है ( , ) इसके बीच सीधे चलने के बिना। पंक्ति / स्तंभ सामान्यीकरण? एक यादृच्छिक वेक्टर को सामान्य करने के लिए एल्गोरिथ्म की तरह कुछ (यादृच्छिक रूप से तत्वों को आरम्भ करें, वर्ग मानों का योग मापें, फिर प्रत्येक तत्व को एक सामान्य स्केलर द्वारा स्केल करें)। यदि नहीं, तो उपरोक्त वर्णित विधि के अभिसरण दर (उदाहरण के लिए जब तक त्रुटि ) के लिए अभिसरण दर के लिए एक सरल लक्षण वर्णन है? ${\rm row \ lengths} = 1$ ${\rm column \ lengths} = \sqrt{\frac{R}{C}}$ $< \epsilon$

— टायलर स्ट्रीटर
स्रोत

यह सिंकहॉर्न-नॉप एल्गोरिथ्म के समान है, जिसे वैकल्पिक रूप से पुनरावृत्ति आनुपातिक फिटिंग के रूप में भी जाना जाता है।

— कार्डिनल

इसके अलावा, आपको परिभाषित करना चाहिए कि "यादृच्छिक" मैट्रिसेस से आपका क्या मतलब है। उदाहरण के लिए, आपके द्वारा वर्णित प्रक्रिया (लगभग निस्संदेह) वांछित स्थान पर समान रूप से यादृच्छिक मैट्रिस का उत्पादन नहीं करती है।

— कार्डिनल

@ कार्डिनल गुड पॉइंट। लेकिन ध्यान दें कि आप सभी घटकों के लिए समान क्रमिक (सीमांत) वितरणों को यादृच्छिक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स की एक जोड़ी द्वारा गुणा करके (पंक्तियों और स्तंभों को यादृच्छिक रूप से व्यवस्थित करने के लिए) प्राप्त कर सकते हैं।

— whuber

@ शुभकर्ता: हां, हालांकि संयुक्त वितरण अभी भी काफी अजीब हो सकता है। "पोस्ट गुणा करना" से मेरा मतलब है कि आप बाएं और दाएं "पोस्ट-कन्वर्जेन्स" पर गुणा करना चाहते हैं (बजाय, उदाहरण के लिए, दाईं ओर गुणा करना)।

— कार्डिनल

दरअसल, थोड़ा विचार करने के बाद, मुझे लगता है कि आप एल्गोरिथ्म बिल्कुल मामूली संशोधन के साथ सिंकहॉर्न-नॉप एल्गोरिथ्म है। चलो

अपने मूल मैट्रिक्स हो सकता है और जाने

एक ही आकार ऐसा है कि के एक मैट्रिक्स हो

। फिर, अपने एल्गोरिथ्म को Sinkhorn-Knopp लागू करने के बराबर है

, जहां अंतिम चरण में आप लेने के द्वारा अपने वांछित प्रपत्र को ठीक

X

$X$

Y

$Y$

Y_{i j} = X_{i j}^{2}

$Y_{ij} = X_{ij}^2$

Y

$Y$

। सिंकहॉर्न-नोप को काफी विकृति परिस्थितियों को छोड़कर धर्मान्तरित करने की गारंटी है। इस पर पढ़ना बहुत मददगार होना चाहिए।

{\hat{X}}_{i j} = s g n (X_{i j}) \sqrt{Y_{i j}}

$\hat{X}_{ij} = \mathrm{sgn}(X_{ij}) \sqrt{Y_{ij}}$

— कार्डिनल

जैसा कि @cardinal ने एक टिप्पणी में कहा:

दरअसल, थोड़ा विचार करने के बाद, मुझे लगता है कि आप एल्गोरिथ्म बिल्कुल मामूली संशोधन के साथ सिंकहॉर्न-नॉप एल्गोरिथ्म है। चलो अपने मूल मैट्रिक्स हो सकता है और जाने एक ही आकार ऐसा है कि के एक मैट्रिक्स हो । फिर, अपने एल्गोरिथ्म को Sinkhorn-Knopp लागू करने के बराबर है , जहां अंतिम चरण में आप लेने के द्वारा अपने वांछित प्रपत्र को ठीक $X$ $Y$ $Y_{ij}=X^2_{ij}$ $Y$ । सिंकहॉर्न-नोप को काफी विकृति परिस्थितियों को छोड़कर धर्मान्तरित करने की गारंटी है। इस पर पढ़ना बहुत मददगार होना चाहिए। $\hat{X}_{ij}=sgn(X_{ij})\sqrt{Y_{ij}}$

... ऐसा लगता है कि मूल प्रश्न में मैंने जो पुनरावृत्ति एल्गोरिथ्म सुझाया था वह सिंकहॉर्न-नॉप एल्गोरिथ्म के समान है। दिलचस्प बात यह है कि यह पुनरावृत्त आनुपातिक फिटिंग (आईपीएफ) के समान है , जो कि आईपीएफ विकिपीडिया पृष्ठ पर वर्णित है, न्यूटन की विधि और अपेक्षा अधिकतमकरण से संबंधित है (सभी की एक ही सीमा है)।

इन पुनरावृत्तियों के तरीकों को अक्सर उन समस्याओं पर लागू किया जाता है जिनमें एक बंद प्रपत्र समाधान की कमी होती है, इसलिए मैं अस्थायी रूप से मानूंगा कि प्रश्न का उत्तर नकारात्मक है: पंक्ति / स्तंभ पुनरावृत्ति के बिना वांछित समाधान प्राप्त करने का कोई तरीका नहीं है।

— टायलर स्ट्रीटर
स्रोत

(+1) इस प्रश्न में आपकी निरंतर रुचि और आपकी स्वतंत्र अनुवर्ती के लिए। :-)

— कार्डिनल