असंबद्ध लेकिन रैखिक रूप से निर्भर चर का सेट

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क्या चर का एक सेट होना संभव है जो असंबद्ध लेकिन रैखिक रूप से निर्भर हैं? $K$

यानी और $cor(x_i, x_j)=0$ $\sum_{i=1}^K a_ix_i=0$

यदि हाँ, तो आप एक उदाहरण लिख सकते हैं?

EDIT: उत्तरों से यह निम्नानुसार है कि यह संभव नहीं है।

क्या यह कम से कम संभव है कि जहां अनुमानित सहसंबंध गुणांक है, जहां से अनुमान लगाया गया है। चर और नमूने एक चर है जो साथ असंबंधित है । $\mathbb{P}(|\hat \rho_{x_i, x_j}-\hat \rho_{x_i, v}|<\epsilon)$ $\hat\rho$ $n$ $v$ $x_i$

मैं कुछ ऐसा सोच रहा हूं जैसे $x_K=\dfrac{1}{K} \sum_{i=1}^{K-1} x_i$ $K>>0$

correlation mathematical-statistics multicollinearity

— Donbeo
स्रोत

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@ RUser4512 के उत्तर शो के रूप में, असंबद्ध यादृच्छिक चर रैखिक रूप से निर्भर नहीं हो सकते। लेकिन, लगभग असंबंधित यादृच्छिक चर रैखिक रूप से निर्भर हो सकते हैं, और इनमें से एक उदाहरण सांख्यिकीविद् के दिल के लिए कुछ प्रिय है।

मान लीजिए कि सामान्य अर्थ के साथ असंबंधित इकाई-भिन्नता यादृच्छिक चर का एक सेट है । परिभाषित करें जहां । फिर, शून्य-मतलब यादृच्छिक चर हैं जैसे कि , अर्थात वे रैखिक रूप से निर्भर हैं। अब, इतना कि जबकि दिखा रहा है कि $\{X_i\}_{i=1}^K$ $K$ $\mu$ $Y_i = X_i - \bar{X}$ $\bar{X} = \frac 1K \sum_{i=1}^K X_i$ $Y_i$ $\sum_{i=1}^K Y_i = 0$

Y_{i} = \frac{K - 1}{K} X_{i} - \frac{1}{K} \sum_{j \neq i} X_{j}

$Y_i = \frac{K-1}{K} X_i - \frac 1K\sum_{j \neq i}X_j$

var (Y_{i}) = {(\frac{K - 1}{K})}^{2} + \frac{K - 1}{K^{2}} = \frac{K - 1}{K}

$\operatorname{var}(Y_i) = \left(\frac{K-1}{K}\right)^2+\frac{K-1}{K^2} = \frac{K-1}{K}$

cov (Y_{i}, Y_{j}) = - 2 (\frac{K - 1}{K}) \frac{1}{K} + \frac{K - 2}{K^{2}} = \frac{- 1}{K}

$\operatorname{cov}(Y_i,Y_j) = -2\left(\frac{K-1}{K}\right)\frac 1K + \frac{K-2}{K^2}= \frac{-1}{K}$

Y_{i}

$Y_i$ हैं लगभग सहसंबंध गुणांक के साथ असहसंबद्ध यादृच्छिक परिवर्तनीय ।

- \frac{1}{K - 1}

$\displaystyle -\frac{1}{K-1}$

मेरा यह पहले वाला जवाब भी देखिए ।

— दिलीप सरवटे
स्रोत

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यह एक बहुत अच्छा उदाहरण है!

— RUser4512

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नहीं।

मान लीजिए कि एक गैर शून्य है। सामान्यता के नुकसान के बिना, आइए मान लें । $a_i$ $a_1=1$

के लिए यह संकेत मिलता है और । लेकिन यह सह-संबंध शून्य है। एक रैखिक संबंध के अस्तित्व के विपरीत, शून्य होना चाहिए। $K=2$ $x_1=-a_2x_2$ $cor(x_1,x_2)=-1$ $a_1$

किसी भी , और । लेकिन, आपके द्वारा परिकल्पना, । के शून्य हैं (के लिए ) और इसलिए होना चाहिए । $K$ $x_1=-\sum_{i>1}a_ix_i$ $cor(x_1,x_k)=-1$ $cor(x_1,x_k)=0$ $a_i$ $i>1$ $a_1$

— RUser4512
स्रोत

गॉसियन वैक्टर के मामले में, आपके पास एक-लाइन प्रमाण भी है (जो कि मैं एक टिप्पणी के रूप में रखना पसंद करता हूं)। सहसंबंध बराबर होता है 0 स्वतंत्रता का अर्थ है। तात्पर्य और आप कर रहे हैं।

\sum_{i} a_{i} x_{i} = 0

$\sum_i a_ix_i =0$

\sum_{i} a_{i}^{2} = 0

$\sum_i a_i^2 =0$

— RUser4512 12

बहुत अच्छा जवाब। यह अच्छा होगा यदि आप संपादित प्रश्न का उत्तर भी दे सकते हैं।

— डोनाबेओ

संपादित प्रश्न बहुत कठिन है;) मुझे लगता है कि और एक ही बात को संदर्भित करते हैं? मुझे 1 / K फ़ैक्टर का बिंदु दिखाई नहीं देता है, यदि आप एक सहसंबंध की तलाश कर रहे हैं, तो यह अंतिम परिणाम के लिए कुछ भी नहीं बदलेगा

v

$v$

x_{K}

$x_K$

— RUser4512

बनाने के लिए 1 / K की आवश्यकता थी ।

c o r (x_{K}, x_{i}) = 1 / K

$cor(x_K, x_i)=1/K$

— डोनाबेओ

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यह थोड़ा धोखा हो सकता है, लेकिन अगर हम 'असंबद्ध' को 0 के सहसंयोजक होने के रूप में परिभाषित करते हैं , तो इसका उत्तर हां में है । चलो और दोनों संभावना के साथ शून्य हो $X$ $Y$

$\mathop{\mathrm{Cov}}(X,Y)= \mathop{\mathrm{E}}(XY)-\mathop{\mathrm{E}}(X)\mathop{\mathrm{E}}(Y)=0-0=0$

जबकि , इसलिए और रैखिक रूप से निर्भर हैं (आपकी परिभाषा के अनुसार)। $X+Y=0$ $X$ $Y$

यद्यपि यदि आपको आवश्यकता है कि सहसंबंध को परिभाषित किया गया है, अर्थात कि और दोनों के संस्करण सख्ती से सकारात्मक हैं, तो आपके मापदंड को पूरा करने वाले चर खोजना संभव नहीं है (अन्य उत्तर देखें)। $X$ $Y$

— कार्ल ओवे हफथमर
स्रोत