किस स्तर पर एक है

पृष्ठभूमि: सुरक्षित रूप से छोड़ें - यह यहाँ संदर्भ के लिए है, और प्रश्न को वैध बनाने के लिए।

इस पत्र का उद्घाटन पढ़ता है:

"कार्ल पियर्सन की प्रसिद्ध ची-वर्ग आकस्मिक परीक्षण एक और आंकड़ा से ली गई है, z आंकड़ा कहा जाता है, सामान्य वितरण पर आधारित। का सबसे सरल संस्करण $\chi^2$ गणितीय बराबर z परीक्षण के समान होना दिखाया जा सकता है। परीक्षण एक ही परिणाम का उत्पादन सभी परिस्थितियों में। सभी इरादों और उद्देश्यों के लिए "ची-चुकता" "z-वर्ग" कहा जा सकता। के महत्वपूर्ण मूल्यों $\chi^2$ स्वतंत्रता से एक डिग्री के लिए जेड की इसी महत्वपूर्ण मानों के वर्ग हैं। "

यह CV ( यहां , यहां , यहां और अन्य) में कई बार जोर दिया गया है ।

और वास्तव में हम कर सकते हैं साबित है कि के बराबर हैके साथ $\chi^2_{1\,df}$ $X^2$ : $X\sim N(0,1)$

आइए कहते हैं कि और कहा कि और के घनत्व को खोजने का उपयोग करके $X \sim N(0,1)$ $Y=X^2$ $Y$ विधि: $cdf$

। समस्या यह है कि हम सामान्य वितरण के घनत्व को करीब से एकीकृत नहीं कर सकते हैं। लेकिन हम इसे व्यक्त कर सकते हैं: $p(Y \leq y) = p(X^2 \leq y)= p(-\sqrt{y} \leq x \leq \sqrt{y})$

व्युत्पन्न लेना:

F_{X} (y) = F_{X} (\sqrt{y}) - F_{X} (- \sqrt{y}) .

$F_X(y) = F_X(\sqrt{y})- F_X(-\sqrt[]{y}).$

f_{X} (y) = F_{X}^{'} (\sqrt{y}) \frac{1}{2 \sqrt{y}} + F_{X}^{'} (\sqrt{- y}) \frac{1}{2 \sqrt{y}} .

$f_X(y)= F_X'(\sqrt{y})\,\frac{1}{2\sqrt{y}}+ F_X'(\sqrt{-y})\,\frac{1}{2\sqrt{y}}.$

चूंकि सामान्य के मान सममित हैं: $pdf$

। को यह equatingके सामान्य (अबमेंहो जाएगा $f_X(y)= F_X'(\sqrt{y})\,\frac{1}{\sqrt{y}}$ $pdf$ $x$ $pdf$ को में प्लग किया जाना है $\sqrt{y}$ सामान्यका भाग); और शामिल करने के लिए याद रखना $e^{-\frac{x^2}{2}}$ $pdf$ अंत में: $\frac{1}{\sqrt{y}}$

f_{X} (y) = F_{X}^{'} (\sqrt{y}) \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{y}{2}} \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{y}{2}} y^{\frac{1}{2} - 1}

$f_X(y)= F_X'(\sqrt[]{y})\,\frac{1}{\sqrt[]{y}}= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{y}{2}}\, \frac{1}{\sqrt[]{y}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{y}{2}}\, y^{\frac{1}{2}- 1}$

चि वर्ग के पीडीएफ की तुलना करें:

f_{X} (x) = \frac{1}{2^{ν / 2} Γ (\frac{ν}{2})} e^{\frac{- x}{2}} x^{\frac{ν}{2} - 1}

$f_X(x)= \frac{1}{2^{\nu/2}\Gamma(\frac{\nu}{2})}e^{\frac{-x}{2}}x^{\frac{\nu}{2}-1}$

चूंकि , के लिएdf, हम वास्तव में ली गई हैची वर्ग की। $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ $1$ $pdf$

इसके अलावा, अगर हम फ़ंक्शन को कॉल prop.test()आर में हम एक ही लागू कर रहे हैं परीक्षण के रूप में अगर हम पर फैसला । $\chi^2$ chisq.test()

प्रश्न:

इसलिए मुझे ये सभी बिंदु मिलते हैं, फिर भी मुझे नहीं पता कि वे इन दो परीक्षणों के वास्तविक कार्यान्वयन के लिए दो कारणों से कैसे लागू होते हैं:

एक z- परीक्षण चुकता नहीं है।
वास्तविक परीक्षण आँकड़े पूरी तरह से अलग हैं:

लिए परीक्षण-आँकड़ा $\chi^2$ का मूल्य है:

कहाँ $\chi^2 = \sum_{i=1}^{n} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} = N \sum_{i=1}^n p_i \left(\frac{O_i/N - p_i}{p_i}\right)^2$

= पियरसन का संचयी परीक्षण आँकड़ा, जो distribution वितरण सेसंपर्क करता है। = प्रकार के अवलोकनों की संख्या; = टिप्पणियों की कुल संख्या; = = प्रकार की अपेक्षित (सैद्धांतिक) आवृत्ति , अशक्त परिकल्पना द्वारा दावा किया गया किजनसंख्या में टाइप का अंश ; = तालिका में कोशिकाओं की संख्या। $\chi^2$ $\chi^2$ $O_i$ $i$ $N$ $E_i$ $N p_i$ $i$ $i$ $p_i$ $n$

दूसरी ओर, एक के लिए परीक्षण आंकड़ा -Test है: $z$

के साथ $\displaystyle Z = \frac{\frac{x_1}{n_1}-\frac{x_2}{n_2}}{\sqrt{p\,(1-p)(1/n_1+1/n_2)}}$ , जहांऔर"सफलताओं" की संख्या है, श्रेणीगत चर के प्रत्येक एक में विषयों की संख्या से अधिक है, अर्थातऔर $\displaystyle p = \frac{x_1\,+\,x_2}{n_1\,+\,n_2}$ $x_1$ $x_2$ $n_1$ $n_2$ ।

यह सूत्र द्विपद वितरण पर निर्भर करता है।

इन दो परीक्षण आंकड़े स्पष्ट रूप से अलग हैं, और विभिन्न परिणामों की वास्तविक परीक्षा आँकड़ों के लिए, साथ ही साथ के लिए में परिणाम पी -values : 5.8481के लिए और z के परीक्षण के लिए है, जहां (धन्यवाद, @ mark999 )। पी के लिए -value परीक्षा है , जबकि z-परीक्षा है के लिए, । अंतर दो-पूंछ बनाम एक-पूंछ द्वारा समझाया गया: (साभार @amoeba)। $\chi^2$ 2.4183 $\small 2.4183^2=5.84817$ $\chi^2$ 0.015590.0077 $\small 0.01559/2=0.007795$

तो हम किस स्तर पर कहते हैं कि वे एक हैं और एक ही हैं?

chi-squared proportion z-test

— Antoni Parellada
स्रोत

But these are two identical tests. Z squared is the chi-square statistic. Let you have 2x2 frequency table where columns are the two groups and the rows are "success" and "failure". Then the so called expected frequencies of the chi-square test in a given column is the weighted (by the groups' N) average column (group) profile multiplied by that group's N. Thus, it comes that chi-square tests the deviation of each of the two groups profiles from this average group profile, - which is equivalent to testing the groups' profiles difference from each other, the z-test of proportions.

— ttnphns

In the example on the last hyperlink the

χ^{2}

$\chi^2$ is almost the square of the z-test statistic, but not quite, and the p-values are different. Also, when you look at the formulas for the rest statistics above, is it truly immediate that they are identical? Or even one the square of the other?

— Antoni Parellada

In chisq.test(), have you tried using correct=FALSE?

— mark999

Indeed, Antoni. Both tests exist with or without the Yates. Could it be that you compute one with but the other without it?

— ttnphns

Thank you! You were (predictably) correct. With the Yates correction off, one is just the square of the other. I edited the question accordingly, although a bit fast. I still would like to prove algebraically that both test statistics are the same (or one the square of the other), and understand why the p-values are different.

— Antoni Parellada

Let us have a 2x2 frequency table where columns are two groups of respondents and rows are the two responses "Yes" and "No". And we've turned the frequencies into the proportions within group, i.e. into the vertical profiles:

      Gr1   Gr2  Total
Yes   p1    p2     p
No    q1    q2     q
      --------------
     100%  100%   100%
      n1    n2     N

The usual (not Yates corrected) $\chi^2$ of this table, after you substitute proportions instead of frequencies in its formula, looks like this:

n_{1} [\frac{(p_{1} - p)^{2}}{p} + \frac{(q_{1} - q)^{2}}{q}] + n_{2} [\frac{(p_{2} - p)^{2}}{p} + \frac{(q_{2} - q)^{2}}{q}] = \frac{n_{1} (p_{1} - p)^{2} + n_{2} (p_{2} - p)^{2}}{p q} .

$n_1[\frac{(p_1-p)^2}{p}+\frac{(q_1-q)^2}{q}]+n_2[\frac{(p_2-p)^2}{p}+\frac{(q_2-q)^2}{q}]= \frac{n_1(p_1-p)^2+n_2(p_2-p)^2}{pq}.$

Remember that $p= \frac{n_1p_1+n_2p_2}{n_1+n_2}$ , the element of the weighted average profile of the two profiles (p1,q1) and (p2,q2), and plug it in the formula, to obtain

. . . = \frac{(p_{1} - p_{2})^{2} (n_{1}^{2} n_{2} + n_{1} n_{2}^{2})}{p q N^{2}}

$...= \frac{(p_1-p_2)^2(n_1^2n_2+n_1n_2^2)}{pqN^2}$

Divide both numerator and denominator by the $(n_1^2n_2+n_1n_2^2)$ and get

\frac{(p_{1} - p_{2})^{2}}{p q (1 / n_{1} + 1 / n_{2})} = Z^{2},

$\frac{(p_1-p_2)^2}{pq(1/n_1+1/n_2)}=Z^2,$

the squared z-statistic of the z-test of proportions for "Yes" response.

Thus, the 2x2 homogeneity Chi-square statistic (and test) is equivalent to the z-test of two proportions. The so called expected frequencies computed in the chi-square test in a given column is the weighted (by the group n) average vertical profile (i.e. the profile of the "average group") multiplied by that group's n. Thus, it comes out that chi-square tests the deviation of each of the two groups profiles from this average group profile, - which is equivalent to testing the groups' profiles difference from each other, which is the z-test of proportions.

This is one demonstration of a link between a variables association measure (chi-square) and a group difference measure (z-test statistic). Attribute associations and group differences are (often) the two facets of the same thing.

(Showing the expansion in the first line above, By @Antoni's request):

$n_1[\frac{(p_1-p)^2}{p}+\frac{(q_1-q)^2}{q}]+n_2[\frac{(p_2-p)^2}{p}+\frac{(q_2-q)^2}{q}] = \frac{n_1(p_1-p)^2q}{pq}+\frac{n_1(q_1-q)^2p}{pq}+\frac{n_2(p_2-p)^2q}{pq}+\frac{n_2(q_2-q)^2p}{pq} = \frac{n_1(p_1-p)^2(1-p)+n_1(1-p_1-1+p)^2p+n_2(p_2-p)^2(1-p)+n_2(1-p_2-1+p)^2p}{pq} = \frac{n_1(p_1-p)^2(1-p)+n_1(p-p_1)^2p+n_2(p_2-p)^2(1-p)+n_2(p-p_2)^2p}{pq} = \frac{[n_1(p_1-p)^2][(1-p)+p]+[n_2(p_2-p)^2][(1-p)+p]}{pq} = \frac{n_1(p_1-p)^2+n_2(p_2-p)^2}{pq}.$

— ttnphns
स्रोत

@ttnphs This is great! Any chance you could clarify the intermediate step in the first equation (

χ^{2}

$\chi^2$ ) formula - I don't see how the

q

$q$ 's go away after the equal sign.

— Antoni Parellada

@ttnphs When I expand it I get

n_{1} [\frac{(p_{1} - p)^{2}}{p} + \frac{(q_{1} - q)^{2}}{q}] + n_{2} [\frac{(p_{2} - p)^{2}}{p} + \frac{(q_{2} - q)^{2}}{q}] = n_{1} (\frac{q (p^{2} + p (- 2 p_{1} - 2 q_{1} + p_{1}^{2}) + p (q^{2} + q_{1}^{2})}{p q}) + n_{2} (\frac{q (p^{2} + p (- 2 p_{2} - 2 q_{2}) + p_{2}^{2}) + p (q^{2} + q_{2}^{2})}{p q})

$n_1[\frac{(p_1-p)^2}{p}+\frac{(q_1-q)^2}{q}]+n_2[\frac{(p_2-p)^2}{p}+\frac{(q_2-q)^2}{q}]=n_1(\frac{q(p^2+p(-2p_1-2q_1+p_1^2)+p(q^2+q_1^2)}{pq})+n_2(\frac{q(p^2+p(-2p_2-2q_2)+p_2^2)+p(q^2+q_2^2)}{pq})$

— Antoni Parellada

@ttnphs ... Or some reference so it's less work to type the latex... And I'll promptly and happily 'accept' the answer...

— Antoni Parellada

@Antoni, expansion inserted.

— ttnphns

@ttnphns Awesome!

— Antoni Parellada