GLM में विहित लिंक फ़ंक्शन की गणना

मैंने सोचा कि विहित लिंक फंक्शन घातीय परिवार के प्राकृतिक पैरामीटर से आता है। कहो, परिवार तो विहित लिंक फ़ंक्शन है। उदाहरण के रूप में बर्नौली वितरण को लें , हमारे पास तो, कैनोनिकल लिंक फ़ंक्शन $g(\cdot)$

f (y, θ, ψ) = \exp {\frac{y θ - b (θ)}{a (ψ)} - c (y, ψ)}

$f(y,\theta,\psi)=\exp\left\{\frac{y\theta-b(\theta)}{a(\psi)}-c(y,\psi)\right\}$

θ = θ (μ)

$\theta=\theta(\mu)$

P (Y = y) = μ^{y} (1 - μ)^{1 - y} = \exp {y \log \frac{μ}{1 - μ} + \log (1 - μ)}

$P(Y=y)=\mu^{y}(1-\mu)^{1-y}=\exp\left\{y\log\frac{\mu}{1-\mu}+\log{(1-\mu)}\right\}$

g (μ) = \log \frac{μ}{1 - μ}

$g(\mu)=\log\frac{\mu}{1-\mu}$

लेकिन जब मैं इस स्लाइड को देखता हूं , तो यह दावा करता है कि हालांकि यह आसानी से इस विशेष वितरण (और कुछ अन्य वितरण, जैसे पॉइसन वितरण) के लिए सत्यापित किया जा सकता है, मैं सामान्य मामले के लिए समानता नहीं देख सकता। क्या कोई संकेत दे सकता है? धन्यवाद ~

g^{'} (μ) = \frac{1}{V (μ)}

$g'(\mu)=\frac{1}{V(\mu)}$

generalized-linear-model link-function

— ziyuang
स्रोत

बर्नोली चर के लिए विचरण समारोह । हम आसानी से यह जांचते हैं कि विहित लिंक फिर $V(\mu) = \mu(1-\mu)$ $g(\mu) = \log \frac{\mu}{1-\mu} = \log \mu - \log(1-\mu)$

g^{'} (μ) = \frac{1}{μ} + \frac{1}{1 - μ} = \frac{1 - μ + μ}{μ (1 - μ)} = \frac{1}{μ (1 - μ)} = \frac{1}{V (μ)} .

$g'(\mu) = \frac{1}{\mu} + \frac{1}{1-\mu} = \frac{1 - \mu + \mu}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{V(\mu)}.$

सामान्य स्थिति के लिए, एक परिभाषा से व्युत्पन्न होता है कि मैककुलघ और नेल्डर में उदाहरण पृष्ठ 28-29 देखें । साथ विहित लिंक हमारे पास , और विचरण समारोह के रूप में परिभाषित किया गया है है, जो करने के मामले में हो जाता है पहचान की भिन्नता के द्वारा हमें

E (Y) = μ = b^{'} (θ) and Var (Y) = b^{″} (θ) a (ψ),

$E(Y) = \mu = b'(\theta) \quad \text{ and } \quad \text{Var}(Y) = b''(\theta) a(\psi),$

g

$g$

θ = g (μ) = g (b^{'} (θ))

$\theta = g(\mu) = g(b'(\theta))$

b^{″} (θ)

$b''(\theta)$

μ

$\mu$

V (μ) = b^{″} (g (μ)) .

$V(\mu) = b''(g(\mu)).$

θ = g (b^{'} (θ))

$\theta = g(b'(\theta))$

1 = g^{'} (b^{'} (θ)) b^{″} (θ) = g^{'} (μ) V (μ),

$1 = g'(b'(\theta)) b''(\theta) = g'(\mu) V(\mu),$

अर्ध-विरूपता कार्यों के निर्माण में माध्य और विचरण के बीच संबंध के साथ शुरू होना स्वाभाविक है, विचरण समारोह संदर्भ में दिया गया है । इस संदर्भ में व्युत्पन्न विरोधी को लिंक फ़ंक्शन के सामान्यीकरण के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, पृष्ठ 325 (सूत्र 9.3) पर (लॉग) अर्ध-संभावना की परिभाषा देखें ) मेककुलग और नेल्डर में । $V$ $V(\mu)^{-1}$

— NRH
स्रोत

शुक्रिया @NRH वास्तव में मैं बर्नौली वितरण के लिए तुल्यता जानता हूं। मैं सामान्य मामला सोच रहा हूं। और आपके संदर्भ के लिए धन्यवाद, मैं इसकी जांच करूंगा :)

— ziyuang

@ ज़ियायुंग, सामान्य मामला अब शामिल है।

— NRH

@ एनआरएच - इस उत्तर को जोड़ने के लिए, माध्य और विचरण सूत्र समीकरण को दोनों पक्षों पर the (या समतुल्य के संबंध में विभेदित करके प्राप्त किया जा सकता है। )। पहला व्युत्पन्न आपको मतलब देता है, दूसरा आपको विचरण देता है।

\int f (y, θ, ψ) d y = 1

$\int f(y,\theta,\psi)dy=1$

θ

$\theta$

μ

$\mu$

— probabilityislogic

धन्यवाद। और मुझे एक और संदर्भ लिंक मिला है: fedc.wiwi.hu-berlin.de/xplore/ebooks/html/spm/…

— ziyuang