दो बार अलग-अलग और सममित वितरण पर विचार करें । अब एक दूसरे दो अलग-अलग वितरण पर विचार करें इस अर्थ में तिरछी है: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$

(1) F_{X} ⪯_{c} F_{Z} .

$(1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

जहाँ वैन Zwet का उत्तल क्रम है [0] ताकि इसके बराबर हो: $\preceq_c$ $(1)$

(2) F_{Z}^{- 1} F_{X} (x) is convex \forall x \in R .

$(2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $\forall x\in\mathbb{R}.$}$

अब एक तीसरे दो अलग-अलग वितरण पर विचार करें संतोषजनक: $\mathcal{F}_Y$

(3) F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$(3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

मेरा प्रश्न है: हम हमेशा एक वितरण पा सकते हैं और एक सममित वितरण किसी भी पुनर्लेखन के लिए की एक रचना के संदर्भ में (सभी तीन से ऊपर के रूप में परिभाषित) और : $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

F_{Z} (z) = F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z)

$F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z)$

या नहीं?

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उदाहरण के लिए, यदि आकार पैरामीटर 3.602349 के साथ वेइबुल है (ताकि यह सममित है) और आकार पैरामीटर 3/2 के साथ वेइबुल वितरण है (इसलिए यह सही तिरछा है), मुझे मिला $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$

max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0

$\max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0$

आकार गणित 2.324553 के साथ वेइबुल वितरण के रूप में सेट करके। ध्यान दें कि सभी तीन वितरण संतुष्ट हैं: $\mathcal{F}_Y$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z},

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z,$ आवश्यकतानुसार। मुझे आश्चर्य है कि अगर यह सामान्य रूप से सही है (वर्णित शर्तों के तहत)।

[०] वैन ज्वेट, डब्ल्यूआर (१ ९ w ९)। मीन, माध्य, मोड II (1979)। स्टेटिस्टिका नीरलैंडिका। वॉल्यूम 33, अंक 1, पृष्ठ 1--5।

distributions skewness

— user603
स्रोत

नहीं!

एक सरल काउंटर-उदाहरण तुकी वितरण ( तुकी और वितरण के लिए के लिए विशेष मामला) द्वारा प्रदान किया जाता है । $g$ $h=0$ $g$ $h$

उदाहरण के लिए, चलो हो Tukey के साथ पैरामीटर और Tukey हो के साथ पैरामीटर और एक Tukey वितरण जिसके लिए । बाद से , तीन वितरण संतुष्ट हैं: $\mathcal{F}_X$ $g$ $g_X=0$ $\mathcal{F}_Z$ $g$ $g_Z>0$ $\mathcal{F}_Y$ $g$ $g_Y\leq g_Z$ $h=0$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

(पहला व्यक्ति तुके की परिभाषा से आता है, जो सममित है यदि , अगले वाले [0], प्रमेय 2.1 (i) से। $g$ $g=0$

उदाहरण के लिए, , हमारे पास वह है: $g_Z=0.5$

min_{g_{Y} \leq g_{Z}} max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0.005 > 0

$\min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0$

(किसी कारण से, न्यूनतम हमेशा )। $g_Y\approx g_Z/2$

[०] जी-एच और जॉनसन परिवारों के एचएल मैकगिलिव्रे आकार के गुण। कॉम। स्टेटिस्ट। — थ्योरी मेथड्स, 21 (5) (1992), पीपी। 1233–1250

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वीबुल के मामले में, यह दावा सही है:

Let आकार पैरामीटर साथ वेइबुल वितरण हो (स्केल पैरामीटर उत्तल आदेश को प्रभावित नहीं करता है ताकि हम इसे सामान्यता के नुकसान के बिना 1 पर सेट कर सकें)। इसी तरह , और और । $\mathcal{F}_Z$ $w_Z$ $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $w_Y$ $w_X$

पहले ध्यान दें कि किसी भी तीन वेइबुल वितरण को हमेशा [0] के अर्थ में आदेश दिया जा सकता है।

अगला, ध्यान दें कि:

F_{X} = F_{- X} ⟹ w_{X} = 3.602349.

$\mathcal{F}_X=\mathcal{F}_{-X}\implies w_X=3.602349.$

अब, वीबुल के लिए:

F_{Y} (y) = 1 - \exp ((- y)^{w_{Y}}), F_{Y}^{- 1} (q) = (- \ln (1 - q))^{1 / w_{Y}},

$F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),\;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y},$

ताकि

F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Y}^{2} / w_{X}}),

$F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}),$

जबसे

F_{Z} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Z}}) .

$F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}).$

इसलिए, दावा हमेशा सेट करके संतुष्ट किया जा सकता है । $w_Y=\sqrt{w_Z/w_X}$

[०] वैन ज्वेट, डब्ल्यूआर (१ ९ w ९)। मीन, माध्य, मोड II (1979)। स्टेटिस्टिका नीरलैंडिका। वॉल्यूम 33, अंक 1, पृष्ठ 1--5।
[१] ग्रोनेवेल्ड, आरए (१ ९ ve५)। वीबुल परिवार के लिए विषमता। स्टेटिस्टिका नीरलैंडिका। वॉल्यूम 40, अंक 3, पृष्ठ 135-140।

— user603
स्रोत

क्या हम हमेशा एक मनमानी और एक सममित वितरण की संरचना के संदर्भ में एक सही तिरछा वितरण को फिर से लिख सकते हैं?

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