ताश का खेल: अगर मैं चार कार्ड बेतरतीब ढंग से खींचता हूं और आप छह खींचते हैं, तो क्या संभावना है कि मेरा उच्चतम कार्ड आपके उच्चतम से अधिक है?

जैसा कि शीर्षक में कहा गया है, अगर मैं बेतरतीब ढंग से 4 कार्ड खींचता हूं और आप एक ही डेक से 6 खींचते हैं, तो क्या संभावना है कि मेरा सर्वोच्च कार्ड आपके उच्चतम कार्ड को हरा देता है?

अगर हम अलग-अलग डेक से ड्रा करेंगे तो यह कैसे बदलेगा?

धन्यवाद!

probability maximum

— Wudanao
स्रोत

क्या यह एक घर का काम है?

— अक्कल

इस सरल प्रश्न का एक जटिल उत्तर है। जटिलताएं दो कारकों के कारण हैं:

कार्ड प्रतिस्थापन के बिना तैयार किए गए हैं। (प्रत्येक ड्रा इसलिए डेक की सामग्री को बदलता है जो बाद के ड्रॉ के लिए उपलब्ध हैं।)
एक डेक में आमतौर पर प्रत्येक मूल्य के कई कार्ड होते हैं, जिससे उच्चतम कार्ड के लिए एक टाई संभव है।

चूंकि जटिलताएं अपरिहार्य हैं, आइए इस समस्या के एक व्यापक व्यापक सामान्यीकरण को संबोधित करें और फिर विशेष मामलों को देखें। सामान्यीकरण में, एक "डेक" में परिमित संख्या में कार्ड होते हैं। कार्ड है अलग "मूल्यों" कि सबसे कम ऊपर से उच्चतम करने के लिए स्थान पर रहीं जा सकता है। वहाँ चलो हो मानों दिया जाता है इसके (के साथ निम्नतम और उच्चतम)। एक खिलाड़ी डेक से कार्ड निकालता है और दूसरा खिलाड़ी कार्ड । क्या मौका है कि पहले खिलाड़ी के हाथ में सर्वोच्च रैंक कार्ड सख्ती से है $m$ $n_i \ge 1$ $i$ $i=1$ $i=m$ $a\ge 0$ $b\ge 1$ दूसरे खिलाड़ी के हाथ में सर्वोच्च रैंक कार्ड से अधिक मूल्य? इस घटना को : पहले खिलाड़ी के लिए एक "जीत" कहा जाना चाहिए । $W$

एक तरीका यह पता लगाने की यह देखते हुए कि प्रक्रिया ड्राइंग के बराबर है से शुरू होता है डेक से कार्ड, पहले ले जा रहा उन में से पहले खिलाड़ी के कार्ड होने के लिए, और शेष दूसरे खिलाड़ी के कार्ड होने के लिए। इन कार्डों के बीच को उच्चतम मान दें और को उस मान के कार्डों की संख्या होने दें। पहले खिलाड़ी जीत जाता है केवल जब वह सब रखती उन ताश के पत्तों की। जिन तरीकों से उन विशेष कार्डों को कार्ड के बीच में पाया जा सकता है, है , जबकि उन कार्डों की स्थिति के तरीकों की संख्या सभी बीच खींची गई है जो है $a+b$ $a$ $b$ $j$ $k \ge 1$ $k$ $a$ $\binom{a}{k}$ $k$ $a+b$ $\binom{a+b}{k}$ ।

अब संभावना है कि उच्चतम मूल्य है और देखते हैं ऐसे कार्ड के चयन का मौका है से बाहर मूल्य के कार्ड और के चयन शेष से बाहर कम मान। क्योंकि वहाँ कार्ड्स के ट्रांसफ़ॉर्मेबल ड्रॉ हैं, इसका जवाब है $j$ $k$ $k$ $n_j$ $j$ $a+b-k$ $n_1 + n_2 + \cdots + n_{j-1} = N_{j-1}$ $\binom{N_m}{a+b}$ $a+b$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{N_{m}}{a + b})} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n_{j}} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n_{j}}{k}) (\binom{N_{j - 1}}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{N_m}{a+b}}\sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^{n_j} \frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n_j}{k}\binom{N_{j-1}}{a+b-k}.$

(इस अभिव्यक्ति में, और कोई द्विपद गुणांक जिसका शीर्ष मान उसके निचले मान से कम है, या जिसका निचला मान ऋणात्मक है, को शून्य मान लिया जाता है।) यह अपेक्षाकृत कुशल गणना है, कार्ड की संख्या के लिए आनुपातिक समय लेती है। डेक में। क्योंकि इसमें विशेष रूप से द्विपद गुणांक शामिल हैं, यह और बड़े मूल्यों के लिए स्पर्शोन्मुखी सन्निकटन के लिए उत्तरदायी है । $N_0=0$ $a$ $b$

कुछ मामलों में आप "जीत" की परिभाषा को संशोधित करना चाह सकते हैं। यह आसानी से किया जाता है: और के मानों को आपस में जोड़कर , एक ही सूत्र इस अवसर की गणना करता है कि दूसरा खिलाड़ी सीधे जीतता है। और उन दो अवसरों के योग के बीच का अंतर एक टाई का मौका है। आप अपनी पसंद के अनुसार किसी भी अनुपात में खिलाड़ियों को टाई का मौका दे सकते हैं। $a$ $b$ $1$

ताश के कई पारंपरिक डेक में और लिए । इसलिए हम किसी भी डेक पर विचार करते हैं जिसमें सभी समान मूल्य हैं, कहें । इस स्थिति में और पूर्ववर्ती सूत्र थोड़ा सरल हो जाता है $m=13$ $n_i=4$ $i=1, 2, \ldots, m$ $n_i$ $n$ $N_{j-1} = (j-1)n$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{m n}{a + b})} \sum_{k = 1}^{n} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n}{k}) \sum_{j = 1}^{m} (\binom{(j - 1) n}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{m n}{a+b}}\sum_{k=1}^{n}\frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n}{k}\sum_{j=1}^m \binom{(j-1)n}{a+b-k}.$

उदाहरण के लिए, 13 रैंक के एक सामान्य 52 कार्ड डेक में और साथ, , और , । इस खेल के 100,000 नाटकों के अनुकरण ने अनुमान लगाया , जो लगभग तीन महत्वपूर्ण आंकड़ों के लिए सटीक है और सूत्र क्या कहता है, उससे काफी अलग नहीं है। $m=13$ $n=4$ $a=4$ $b=6$ $\Pr(W) = \frac{12297518}{38720339}\approx 0.3176$ $0.3159$

निम्नलिखित Rकोड को आसानी से अनुमान लगाने के लिए संशोधित किया गया है के लिए किसी भी डेक: बस परिवर्तन , , और । यह केवल 10,000 नाटकों को चलाने के लिए निर्धारित किया गया है, जिसे निष्पादित करने में एक सेकंड से भी कम समय लगना चाहिए और अनुमान में दो महत्वपूर्ण आंकड़ों के लिए अच्छा है। $\Pr(W)$ abdeck

a <- 4
b <- 6
deck <- rep(1:13, 4)
set.seed(17)
cards <- replicate(1e4, sample(deck, a+b))
win <- apply(cards, 2, function(x) max(x[1:a]) > max(x[-(1:a)]))
m <- mean(win)
se <- sqrt(m*(1-m)/length(win))
cat("Estimated Pr(a wins) =", round(m, 4), "+/-", round(se, 5), "\n")

इस उदाहरण में आउटपुट है

अनुमानित पीआर (एक जीत) = 0.3132 +/- 0.00464

— व्हीबर
स्रोत

बहुत बढ़िया जवाब! क्या मैं पूछ सकता हूं कि आपको क्या लगता है यदि प्रत्येक खिलाड़ी एक अलग डेक से आकर्षित होता है - क्या यह उत्तर बदल देगा

— W

हां, यह उत्तर को बदल देगा क्योंकि एक व्यक्ति जो ड्रॉ करता है वह दूसरे खिलाड़ी के ड्रॉ से स्वतंत्र होगा। कुछ मायनों में यह एक आसान प्रश्न है, क्योंकि उत्तर इस बात की सीधी गणना है कि एक यादृच्छिक चर दूसरे के मूल्य से अधिक है जो इसके बारे में स्वतंत्र है।

— whuber

ध्यान दें कि, यदि कोई संबंध नहीं थे , तो उत्तर तुच्छ रूप से : कार्ड से खींचा हुआ, एक उच्चतम होना चाहिए, और इसके पहले में समाप्त होने की संभावना खिलाड़ी के हाथ है से बाहर । लेकिन जैसा कि आप ध्यान दें, डेक में समान मूल्य वाले कई कार्डों की उपस्थिति चीजों को जटिल बनाती है।

\frac{a}{a + b}

$\frac{a}{a+b}$

a + b

$a+b$

a

$a$

a + b

$a+b$

— इल्मरी करोनें

@ इल्मरी ये सही है। (और यह इस अंतर्दृष्टि है कि मूल रूप से मैंने प्रस्तुत समाधान का सुझाव दिया है।) कोई संबंध नहीं के साथ, हमेशा, का योग दूर जाता है, और अंश कारक बाहर, दिखाते हैं कि कैसे सामान्य सूत्र इस सरल को कम करता है।

n_{i} = 1

$n_i=1$

k

$k$

(\binom{a}{k}) / (\binom{a + b}{k}) = (\binom{a}{1}) / (\binom{a + b}{1}) = a / (a + b)

$\binom{a}{k}/\binom{a+b}{k} = \binom{a}{1}/\binom{a+b}{1} = a/(a+b)$

— whuber

@WernerCD सच है, लेकिन उस प्रभाव को समझाया गया है: यदि सूट में रैंकिंग है, तो कोई संबंध नहीं हैं, और इसलिए सूत्र कम हो जाता है जो लिमरी की टिप्पणी का वर्णन करता है।

— ब्रिलियनैड