भारी पूंछ वाले वितरण का उदाहरण जो लंबे समय से पूंछ वाले नहीं हैं

भारी-और लंबी-पूंछ वाले वितरणों के बारे में पढ़ने से, मैं समझ गया कि सभी लंबी-पूंछ वाले वितरण भारी-पूंछ वाले हैं , लेकिन सभी भारी-पूंछ वाले वितरण लंबे-पूंछ वाले नहीं हैं ।

क्या कोई इसका उदाहरण दे सकता है:

एक निरंतर, सममित, शून्य-मतलब घनत्व फ़ंक्शन जो लंबे समय से पूंछ है
एक निरंतर, सममित, शून्य-मतलब घनत्व फ़ंक्शन जो भारी-पूंछ वाला है लेकिन लंबे समय तक पूंछ वाला नहीं है

इसलिए मैं उनकी परिभाषाओं के अर्थ को बेहतर ढंग से समझ सकता हूं?

यह बेहतर होगा यदि दोनों में एक इकाई संस्करण हो सकता है।

distributions heavy-tailed

— toliveira
स्रोत

आपने उन परिभाषाओं को कहां पाया? क्या आप उन्हें यहां दे सकते हैं? मैंने इनके बारे में पर्यायवाची के रूप में सोचा!

— kjetil b halvorsen 11

@kjetilbhalvorsen: शायद यहाँ: en.wikipedia.org/wiki/…

— Scortchi - Monica

@kjetilbhalvorsen SA: देखें, लिंक E. LA: मैं "हेवी-", "फैट-" और "लॉन्ग-टेल्ड" डिस्ट्रिब्यूशन की परिभाषाओं का अध्ययन कर रहा था, और इस पर उपयोगी स्पष्टीकरण पाया गया: (ए) [ आँकड़े .stackexchange.com/ प्रश्न / 10726 /… , (बी) [ en.wikipedia.org/wiki/Heavy-tailed_distribution] , (C) [ users.cms.caltech.edu/~adamw/papers/… (जारी)

— toliveira

(निरंतरता) (E) math.stackexchange.com/questions/685921/… मैंने समझा कि (i) हेवी-टेल डिस्ट्रीब्यूटन को A, B, C, D, E, के रूप में परिभाषित किया गया है (ii) लॉन्ग-टेल डिस्ट्रीब्यूटन को परिभाषित किया गया है। जैसा कि बी, सी, ई (iii) में वसा-पूंछ की परिभाषा ढीली है, जैसा कि ए में समझाया गया है

— toliveira

दो परिभाषाएं करीब हैं, लेकिन बिल्कुल समान नहीं हैं। एक अंतर अस्तित्व सीमा के लिए एक सीमा की आवश्यकता में निहित है।

इस उत्तर के अधिकांश के लिए मैं वितरण को निरंतर, सममित और परिमित विचरण के मानदंड की अनदेखी करूंगा, क्योंकि ये किसी भी परिमित भारी-पूंछ वाले वितरण को एक बार पूरा करने में आसान होते हैं, जो लंबे समय तक टिके नहीं होते हैं।

एक वितरण है भारी पूंछ जब किसी के लिए , $F$ $t\gt 0$

\begin{matrix} (1) & \int_{R} e^{t x} d F (x) = \infty . \end{matrix}

$\int_\mathbb{R} e^{t x} dF(x) = \infty.\tag{1}$

उत्तरजीविता फ़ंक्शन साथ वितरण लंबे समय से जाता है जब $G_F = 1-F$

\begin{matrix} (2) & lim_{x \to \infty} \frac{G_{F} (x + 1)}{G_{F} (x)} = 1. \end{matrix}

$\lim_{x\to \infty} \frac{G_F(x+1)}{G_F(x)} = 1.\tag{2}$

लंबी पूंछ वाले वितरण भारी होते हैं। इसके अलावा, क्योंकि nonincreasing है, अनुपात की सीमा से अधिक नहीं हो सकती । यदि यह मौजूद है और से कम है , तो तेजी से घट रहा है - और यह अभिन्न को परिवर्तित करने की अनुमति देगा । $G$ $(2)$ $1$ $1$ $G$ $(1)$

भारी-पूंछ वाले वितरण को प्रदर्शित करने का एकमात्र तरीका, जो लंबे समय से पूंछ नहीं है, फिर, लंबी-पूंछ वाले वितरण को संशोधित करना है ताकि का उल्लंघन जारी रहे । एक सीमा को पेंच करना आसान है: इसे असीम रूप से कई स्थानों पर बदल दें जो अनंत को मोड़ते हैं। हालांकि, साथ कुछ करना होगा, जो बढ़ते रहना चाहिए और कैडलैग। एक तरीका में कुछ ऊपर की ओर कूदने का है , जो के अनुपात को कम करते हुए कूद जाएगा । इसके लिए, आइए एक परिवर्तन को परिभाषित करें जो मान पर अचानक छलांग को एक अन्य मान्य वितरण फ़ंक्शन में बदल देता है $(1)$ $(2)$ $F$ $F$ $G$ $G_F(x+1)/G_F(x)$ $T_u$ $F$ $u$ , से कूदने की आधी दूरी तय करें : $F(u)$ $1$

T_{u} [F] (x) = {\begin{cases} F (x) & u < x \\ \frac{1}{2} (1 - F (x)) + F (x) & u \geq x \end{cases}

$T_u[F](x) = \begin{cases} F(x) & u<x \\ \frac{1}{2} (1-F(x))+F(x) & u\geq x \end{cases}$

यह : की कोई मूल संपत्ति अभी भी एक वितरण समारोह है। $F$ $T_u[F]$

पर इसका प्रभाव पर एक कारक से पड़ता है । इसलिए, चूंकि गैर-घट रहा है, तो जब भी , $G_F$ $1/2$ $u$ $G$ $u-1 \le x \lt u$

\frac{G_{T_{u} [F]} (x + 1)}{G_{T_{u} [F]} (x)} \leq \frac{1}{2} .

$\frac{G_{T_u[F]}(x + 1)}{G_{T_u[F]}(x )} \le \frac{1}{2}.$

अगर हम की एक बढ़ती हुई और अपसारी अनुक्रम लेने , , और प्रत्येक लागू उत्तराधिकार में, यह वितरण के एक दृश्य को निर्धारित करता है साथ और $u_i$ $i=1, 2, \ldots$ $T_{u_i}$ $F_i$ $F_0=F$

F_{i + 1} = T_{u_{i}} [F_{i}]

$F_{i+1} = T_{u_i}[F_i]$

के लिए । बाद कदम है, सभी के लिए एक ही रहेगा । नतीजतन का अनुक्रम वितरण कार्यों के एक , , अनुक्रम है, जो उनकी सीमा को दर्शाता है $i \ge 1$ $i^\text{th}$ $F_i(x), F_{i+1}(x), \ldots$ $x\lt u_i$ $F_i(x)$

F_{\infty} = lim_{i \to \infty} F_{i}

$F_\infty = \lim_{i\to\infty} F_i$

एक वितरण समारोह है। निर्माण के द्वारा, यह लंबे समय से पूंछ नहीं है क्योंकि असीम रूप से कई बिंदु हैं, जिस पर इसका अस्तित्व अनुपात या उससे नीचे चला जाता है , यह दिखाने की सीमा के रूप में नहीं हो सकता है । $G_{F_\infty}(x+1)/G_{F_\infty}(x))$ $1/2$ $1$

यह प्लॉट एक उत्तरजीविता फ़ंक्शन इस तरह से अंक पर काट दिया गया है लघुगणक ऊर्ध्वाधर अक्ष पर ध्यान दें। $G(x) = x^{-1/5}$ $u_1 \approx 12.9, u_2 \approx 40.5, u_3 \approx 101.6, \ldots.$

आशा है कि चुनने में सक्षम हो ताकि भारी-पूंछ वाली बनी रहे। हम जानते हैं, क्योंकि भारी पूंछ है, वहाँ नंबर दिए गए हैं कि जिसके लिए $(u_i)$ $F_\infty$ $F$ $0 = u_0 \lt u_1 \lt u_2 \lt \cdots \lt u_n \cdots$

\int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F (x) \geq 2^{i - 1}

$\int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF(x) \ge 2^{i-1}$

हर । के लिए कारण सही पर कि संभावनाओं द्वारा आवंटित है अप करने के लिए मूल्यों को क्रमिक छमाही में कटौती की गई है बार। वह प्रक्रिया, जब को द्वारा किसी लिए प्रतिस्थापित किया , को घटाकर , लेकिन कोई कम नहीं। $i \ge 1$ $2^{i-1}$ $F$ $u_i$ $i-1$ $dF(x)$ $dF_{j}(x)$ $j\ge i$ $2^{i-1}$ $1$

इस की एक साजिश है घनत्व के लिए पिछले अस्तित्व समारोह और उसके संस्करण "नीचे कट" करने के लिए इसी। इस वक्र के नीचे के क्षेत्र अपेक्षा के लिए योगदान करते हैं। से क्षेत्र के लिए है ; से क्षेत्र को है , जो जब कटौती नीचे (कम नीले हिस्से को) के एक क्षेत्र बन जाता है ; से क्षेत्र को है , जो जब कटौती नीचे के एक क्षेत्र बन जाता है , और इतने पर। इस प्रकार, प्रत्येक क्रमिक "सीढ़ी कदम" के नीचे का क्षेत्र । $x f(x)$ $f$ $1$ $u_1$ $1$ $u_1$ $u_2$ $2$ $1$ $u_2$ $u_3$ $4$ $1$ $1$

आइए हम को परिभाषित करने के लिए ऐसा क्रम । हम जाँच सकते हैं कि यह कुछ पूरी संख्या लिए उठाकर और निर्माण को लागू करने के लिए भारी है। $(u_i)$ $F_\infty$ $t=1/n$ $n$

\begin{aligned} \int_{R} e^{t x} d F_{\infty} (x) & = \int_{R} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ = \sum_{i = 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F_{\infty} (x) \\ = \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F_{i} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} 1, \end{aligned}

$\eqalign{ \int_\mathbb{R} e^{t x} dF_\infty(x) &=\int_\mathbb{R} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_i(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty 1, }$

जो अभी भी विचलन करता है। चूंकि मनमाने ढंग से छोटा है, यह दर्शाता है कि भारी-पूंछ वाली है, भले ही इसकी लंबी-पूंछ वाली संपत्ति नष्ट हो गई हो। $t$ $F_\infty$

यह कट डाउन वितरण के लिए अस्तित्व अनुपात का एक भूखंड है । मूल के अनुपात की तरह , यह पर समाप्त होने वाली इकाई-चौड़ाई के अंतराल के लिए ऊपरी संचय मूल्य की ओर , अनुपात अचानक से केवल आधा हो जाता है जो मूल रूप से था। ये बूँदें, हालाँकि बढ़ने के साथ-साथ कम होती जा रही हैं, अक्सर कम होती हैं और इसलिए अनुपात को सीमा में करीब पहुंचने से रोकती हैं । $G(x+1)/G(x)$ $G$ $1$ $u_i$ $x$ $1$

यदि आप एक निरंतर, सममित, शून्य-माध्य, इकाई-भिन्नता उदाहरण चाहते हैं, तो परिमित-प्रसरण लंबे पूंछ वाले वितरण के साथ शुरू करें। ( ) करेगा, बशर्ते ; इसलिए से अधिक स्वतंत्रता की किसी भी डिग्री के लिए एक छात्र टी वितरण होगा । क्षण उन लोगों से अधिक नहीं हो सकते हैं , जहां यह बहुत कम विचरण करता है। एक अच्छी चिकनी वितरण के साथ दृढ़ विश्वास के माध्यम से "मोलीज़" करें, जैसे कि गॉसियन: यह इसे निरंतर बना देगा लेकिन इसकी भारी पूंछ (स्पष्ट रूप से) को नष्ट नहीं करेगा और न ही लंबी पूंछ की अनुपस्थिति (बिल्कुल स्पष्ट नहीं है, लेकिन यह स्पष्ट हो जाता है अगर आप गाऊसी को बदल देते हैं, कहते हैं, एक बीटा वितरण जिसका समर्थन कॉम्पैक्ट है)। $F(x) = 1 - x^{-p}$ $x \gt 0$ $p \gt 1$ $2$ $F_\infty$ $F$

परिणाम को सममित करें - जिसे मैं अभी भी --by को परिभाषित करूंगा $F_\infty$

F_{s} (x) = \frac{1}{2} (1 + sgn (x) F_{\infty} (| x |))

$F_s(x) = \frac{1}{2}\left(1 + \text{sgn}(x) F_\infty(|x|)\right)$

सभी । इसका विचरण परिमित रहेगा, इसलिए इसे वांछित वितरण के लिए मानकीकृत किया जा सकता है। $x\in\mathbb{R}$

— व्हीबर
स्रोत

शानदार ढंग से समझाया गया। आपने न केवल एक उदाहरण दिया, बल्कि इसके लिए औचित्य भी प्रस्तुत किया। स्पष्टीकरण की स्पष्टता ने मुझे (लगभग) इसे समझने की अनुमति दी। मैं कुछ संख्यात्मक उदाहरणों में इसका अभ्यास करूंगा।

— तोलिवेरा