नकारात्मक द्विपद वितरण के लिए अधिकतम संभावना अनुमानक

Question

प्रश्न निम्नलिखित है:

एन मान का एक यादृच्छिक नमूना पैरामीटर k = 3 के साथ एक नकारात्मक द्विपद वितरण से एकत्र किया जाता है।

1. पैरामीटर की अधिकतम संभावना अनुमानक का पता लगाएं hood।
2. इस अनुमानक की मानक त्रुटि के लिए एक असममित सूत्र का पता लगाएं।
3. बताएं कि यदि पैरामीटर k काफी बड़ा है, तो नकारात्मक द्विपद वितरण लगभग सामान्य क्यों होगा। इस सामान्य सन्निकटन के पैरामीटर क्या हैं?

मेरा काम निम्नलिखित
रहा है : 1. मुझे लगता है कि यह वही है जो चाहता है लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि मैं यहां सटीक हूं या अगर मैं संभवतः प्रदान की गई जानकारी को देखते हुए इसे आगे ले जा सकता हूं?

$$p(x) = {x-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x-k}\\ L(\pi) = \Pi_i^n p(x_n|\pi)\\ \ell(\pi) = \Sigma_i^n\ln(p(x_n|\pi))\\ \ell`(\pi) = \Sigma_i^n\dfrac{k}{\pi}-\dfrac{(x-k)}{(1-\pi)}$$

2. मुझे लगता है कि निम्नलिखित के लिए कहा जाता है। अंतिम भाग के लिए मुझे लगता है कि मुझे \ _ {dfrac {k} {x} \ ell`` (\ hat {\ pi}) = - \ dfrac {k} {\ hat {\ _ के साथ \ hat {\ pi} को बदलने की आवश्यकता है pi} ^ 2} + \ dfrac {x} {(1- \ hat {\ pi}) ^ 2} \\ se (\ hat {\ pi}) = \ sqrt {- \ dfrac {1} {\ _ e_` `(\ hat {\ pi})}} \\ se (\ hat {\ pi}) = \ sqrt {\ dfrac {\ hat {\ pi} ^ 2} {k} - \ dfrac {(1- टोपी) {\ अनुकरणीय}) ^ 2} {x}} \\$\hat{\pi}$$\dfrac{k}{x}$

   $$\ell``(\hat{\pi}) = -\dfrac{k}{\hat{\pi}^2} + \dfrac{x}{(1-\hat{\pi})^2}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{-\dfrac{1}{\ell``(\hat{\pi})}}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{\dfrac{\hat{\pi}^2}{k} - \dfrac{(1-\hat{\pi})^2}{x}}\\$$

3. मैं वास्तव में निश्चित नहीं हूं कि इसे कैसे साबित किया जाए और अभी भी इस पर शोध कर रहा हूं। किसी भी संकेत या उपयोगी लिंक की बहुत सराहना की जाएगी। मुझे ऐसा लगता है कि यह या तो इस तथ्य से संबंधित है कि एक नकारात्मक द्विपद वितरण को ज्यामितीय वितरण के संग्रह या द्विपद वितरण के व्युत्क्रम के रूप में देखा जा सकता है लेकिन यह सुनिश्चित नहीं है कि इसे कैसे देखा जाए।

सभी में किसी भी मदद की बहुत सराहना की जाएगी

Comments

(1) अधिकतम-संभावना अनुमान लगाने के लिए आपको यह खोजने की आवश्यकता है कि लॉग-लाइबिलिटी फ़ंक्शन अपने अधिकतम पर कहां पहुंचता है। स्कोर की गणना ( संबंध में लॉग-लाइबिलिटी फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न ) एक शुरुआत है - यह अधिकतम पर क्या मूल्य लेगा? (और याद रखें कि आप अनुमान की जरूरत नहीं है ।)$\hat \pi$$\pi$$k$

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

मैं अधिकतम का पता लगाने के प्रयोजनों के लिए लॉग-लाइबिलिटी = 0 के व्युत्पन्न में जोड़ना भूल गया। अगर मैंने इसे सही ढंग से समझ लिया है (पोस्टिंग के बाद से इस पर काम कर रहा है), मेरे पास क्या है$\dfrac{k}{\pi}-\dfrac{\Sigma_{i=0}^n(x_i-k)}{(1-\pi)} = 0$

— Syzorr

ध्यान रखें:यह भी ध्यान रखें कि 1. पर शुरू होता है$\sum_{i=1}^n \frac{k}{\pi} - \sum_{i=1}^n{\frac{(x_i-k)}{(1-\pi)}} = \ ?$$i$

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

(2) में, यह शायद ही कभी होता है कि पारस्परिक के अंतर को पारस्परिक का अंतर होता है। इस गलती बेहद के लिए अपने अंतिम सूत्र को प्रभावित करता है । $se(\hat\pi)$

— whuber

Answer 1

1।

$p(x) = {x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}$

$L(\pi;x_i) = \prod_{i=1}^{n}{x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}\\$

$\ell(\pi;x_i) = \sum_{i=1}^{n}[log{x_i-1 \choose k-1}+klog(\pi)+(x_i-k)log(1-\pi)]\\ \frac{d\ell(\pi;x_i)}{d\pi} = \sum_{i=1}^{n}[\dfrac{k}{\pi}-\dfrac{(x_i-k)}{(1-\pi)}]$

इसे शून्य पर सेट करें,

$\frac{nk}{\pi}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i-nk}{1-\pi}$

$\therefore$ $\hat\pi=\frac{nk}{\sum_{i=1}^nx}$

2।

दूसरे भाग के लिए आपको प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता है कि , the यहाँ फ़िशर जानकारी है। इसलिए, के मानक विचलन हो जाएगा । या आप इसे यहां सीएलटी का उपयोग करने के बाद से मानक त्रुटि कहते हैं।$\sqrt{n}(\hat\theta-\theta) \overset{D}{\rightarrow}N(0,\frac{1}{I(\theta)})$$I(\theta)$$\hat\theta$$[nI(\theta)]^{-1/2}$

तो हमें नकारात्मक द्विपद वितरण के लिए फिशर जानकारी की गणना करने की आवश्यकता है।

$\frac{\partial^2 \log(P(x;\pi))}{\partial\pi^2}=-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2}$

$I(\theta)=-E(-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2})=\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi}$

नोट: नकारात्मक द्विपद pmf के लिए$E(x) =\frac{k}{\pi}$

इसलिए, के लिए मानक त्रुटि है$\hat \pi$$[n(\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi})]^{-1/2}$

सरलता से हम प्राप्त करते हैं कि हम$se(\pi)=\sqrt{\dfrac{\pi^2(\pi-1)}{kn}}$

3।

ज्यामितीय वितरण ऋणात्मक द्विपद वितरण का एक विशेष मामला है जब k = 1. नोट एक ज्यामितीय वितरण है$\pi(1-\pi)^{x-1}$

इसलिए, नकारात्मक द्विपद चर को k स्वतंत्र, पहचान के रूप में वितरित (ज्यामितीय) यादृच्छिक चर के योग के रूप में लिखा जा सकता है।

तो CLT नकारात्मक द्विपद वितरण लगभग सामान्य होगा यदि पैरामीटर k काफी बड़ा है

Comments

कृपया पढ़ें कि मैं यहां किन विषयों के बारे में पूछ सकता हूं? स्व-अध्ययन के सवालों पर: लोगों के होमवर्क करने के बजाय हम उनके लिए यह करने में उनकी मदद करने की कोशिश करते हैं।

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

आप करते नमूने का आकार विचार करने की जरूरत MLE की गणना करते समय। आप प्रत्येक स्वतंत्र टिप्पणियों के एक खाते को भ्रमित कर सकते हैं । ट्रायल को विफलताओं ( ) तक पहुँचने के लिए आवश्यक है कोई एकल अवलोकन नहीं है। ट्रायल के लिए विफलताओं ( ) तक पहुंचने की आवश्यकता है । पूर्व में संभावना है ; बाद वाला, । $n$$n$$k$$x_1, x_2, \ldots, x_n$$k$$n$$\sum_{i=1}^n{\pi^(1-\pi)^{x_i-k}}$$\pi^k(1-\pi)^{n-k}$

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

आप सही हैं, मैं हमेशा इस हिस्से पर भ्रमित हूं। आपका बहुत बहुत धन्यवाद। मैं इस बोर्ड पर बहुत सारे सवाल पूछता हूं, लेकिन मुझे वास्तव में उम्मीद है कि लोग मुझे बहुत विस्तृत जवाब दे सकते हैं, फिर मैं खुद ही इसका अध्ययन कर सकता हूं।

— दीप उत्तर

हाँ। मुझे लगता है कि नियम बहुत अधिक विवरण प्रदान करने के खिलाफ क्यों है, लेकिन व्याख्यान से मेरे अपने नोट्स के साथ संयुक्त इस जवाब ने मुझे बहुत सारे ढीले सिरों को एक साथ बांधने की अनुमति दी है। मैं आज इस बारे में अपने व्याख्याता के पास जाने और बोलने का इरादा रखता हूं ताकि मैं उससे स्पष्टीकरण प्राप्त कर सकूं। अब यहाँ शुक्रवार है। ऊपर बताए अनुसार सोमवार के कारण असाइनमेंट। हमने बुधवार को यह सीखा और द्विपद वितरण का उपयोग करने के लिए केवल एक ही उदाहरण है। विस्तार के लिए बहुत बहुत धन्यवाद।

— Syzorr

आपके काम करने में कुछ दोष हैं क्योंकि मैं (E) = ई [] नहीं -ई [] (जो मुझे भ्रमित कर रहा है जब तक मैं आपके द्वारा उपयोग किए गए समीकरणों की खोज में नहीं गया था) आखिरकार साथ समाप्त हो गया है$se(\pi)=\sqrt{\dfrac{\pi^2(\pi-1)}{kn}}$

— Syzorr