एक नमूना का सीडीएफ समान रूप से क्यों वितरित किया जाता है

मैंने यहाँ पढ़ा है कि एक नमूना दिया गया है cdf साथ एक निरंतर वितरण से , अनुरूप नमूना एक मानक समान वितरण का अनुसरण करता है। $X_1,X_2,...,X_n$ $F_X$ $U_i = F_X(X_i)$

मैंने इसे पायथन में गुणात्मक सिमुलेशन का उपयोग करके सत्यापित किया है, और मैं आसानी से रिश्ते को सत्यापित करने में सक्षम था।

import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats

xs = scipy.stats.norm.rvs(5, 2, 10000)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(9, 3))
axes[0].hist(xs, bins=50)
axes[0].set_title("Samples")
axes[1].hist(
    scipy.stats.norm.cdf(xs, 5, 2),
    bins=50
)
axes[1].set_title("CDF(samples)")

निम्नलिखित साजिश में परिणाम:

एक सामान्य वितरण और नमूना के cdf का नमूना दिखाते हुए प्लॉट।

मैं समझ नहीं पा रहा हूं कि ऐसा क्यों होता है। मुझे लगता है कि यह सीडीएफ की परिभाषा के साथ करना है और यह पीडीएफ से संबंध है, लेकिन मुझे कुछ याद आ रहा है ...

मैं इसकी सराहना करूंगा अगर कोई मुझे इस विषय पर कुछ पढ़ने के लिए कह सके या मुझे इस विषय पर कुछ अंतर्ज्ञान प्राप्त करने में मदद कर सके।

संपादित करें: CDF इस तरह दिखता है:

सैंपल वितरण की सी.डी.एफ.

— मैक्सिमे ट्रेमब्ले
स्रोत

के cdf की गणना करें ।

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— झांकोनियनग

आपको किसी भी किताब में इस संपत्ति का प्रमाण (निरंतर आरवी के लिए) सिमुलेशन के बारे में मिलेगा क्योंकि यह व्युत्क्रम अनुकार पद्धति का आधार है।

— शीआन

इसके अलावा google-ing प्रायिकता इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म की

— Zachary Blumenfeld

@ शीआन को यह बताना अच्छा है कि निष्कर्ष केवल निरंतर यादृच्छिक चर के लिए है। कभी-कभी यह परिणाम गलती से असतत यादृच्छिक चर के लिए उपयोग किया जाता है। दूसरी ओर, यह भी ध्यान रखें कई सबूत कदम शामिल है

जिसमें की सख्त दिष्टता मान लिया गया है

है, जो भी एक बहुत मजबूत धारणा है। निम्नलिखित लिंक इस विषय पर एक कठोर सारांश प्रदान करता है: people.math.ethz.ch/~embrecht/ftp/generalized_inverse.pdf

P (F (X) \leq x) = P (X \leq F^{- 1} (x))

$P(F(X) \leq x) = P(X \leq F^{-1}(x))$

F

$F$

— Zhanxiong

@Zhanxiong

लिए एकमात्र आवश्यक शर्त यह है कि यह càdlàg है।

F

$F$

— एडम जूल

मान लें कि निरंतर और बढ़ रहा है। परिभाषित करें और ध्यान दें कि मान में लेता है । तब $F_X$ $Z = F_X(X)$ $Z$ $[0, 1]$

F_{Z} (x) = P (F_{X} (X) \leq x) = P (X \leq F_{X}^{- 1} (x)) = F_{X} (F_{X}^{- 1} (x)) = x .

$F_Z(x) = P(F_X(X) \leq x) = P(X \leq F_X^{-1}(x)) = F_X(F_X^{-1}(x)) = x.$

दूसरी ओर, अगर एक समान यादृच्छिक चर कि में मान लेता है , $U$ $[0, 1]$

F_{U} (x) = \int_{R} f_{U} (u) d u = \int_{0}^{x} d u = x .

$F_U(x) = \int_R f_U(u)\,du =\int_0^x \,du =x.$

$F_Z(x) = F_U(x)$ $x\in[0, 1]$

— Hunaphu
स्रोत

क्या यह पालन करता है कि Z में एक समान (0, 1) वितरण है?

— स्टैटसॉरसस

Z

$Z$

(0, 1) .

$(0,1).$

सहज रूप से, शायद यह सोचने के लिए समझ में आता है $F(x)$ $F(x)$ $F$ $x$ $F^{-1}$ $x = F^{-1}(p)$ $x$ $p$ $F \circ F^{-1} =_\lambda F^{-1} \circ F$

$F$ $a < b$ $P(F^{-1}(a) < x < F^{-1}(b)) = P(a < F(X) < b) = b-a$

— Adamo
स्रोत

Y = F (X)

$Y = F(X)$