(पूरी) फ़ंक्शंस की अपेक्षाओं के लिए टेलर श्रृंखला का अनुमान कब लगाया जाता है?

कुछ एकतरफा रैंडम वैरिएबल और पूरे फंक्शन के लिए फॉर्म अपेक्षा लें (यानी, का अंतराल पूरी वास्तविक लाइन है) $E(f(X))$ $X$ $f(\cdot)$

मेरे पास लिए एक पल उत्पन्न करने वाला फ़ंक्शन है $X$ और इसलिए आसानी से पूर्णांक क्षणों की गणना कर सकता है। आसपास एक टेलर श्रृंखला का उपयोग करें $\mu \equiv E(x)$ और फिर केंद्रीय क्षणों, की एक श्रृंखला के संदर्भ में अपेक्षा को लागू करें।

E (f (x)) = E (f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots)

$E(f(x)) = E\left(f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} +\ldots\right)$

= f (μ) + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$=f(\mu) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$ इस श्रृंखला को छोटा करें,

E_{N} (f (x)) = f (μ) + \sum_{n = 2}^{N} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$E_N(f(x)) = f(\mu) + \sum_{n=2}^{N} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

मेरा प्रश्न है: यादृच्छिक चर (और पर कुछ भी अतिरिक्त शर्तों के तहत क्या $f(\cdot)$ अपेक्षा के सन्निकटन के रूप में अभिसरण होता है जब मैं शब्द जोड़ता हूं (यानी $\lim\limits_{N\to\infty}E_N(f(x)) = E(f(x))$ )।

चूँकि यह मेरे मामले के लिए अभिसरण करने के लिए प्रकट नहीं होता है (एक पॉज़िशन रैंडम वैरिएबल और $f(x) = x^{\alpha}$ ), क्या इन शर्तों के विफल होने पर पूर्णांक के क्षणों के साथ अनुमानित अपेक्षाएँ खोजने के लिए कोई अन्य तरकीबें हैं?

expected-value approximation

— jlperla
स्रोत

यहां देखें: आंकड़े.स्टैकएक्सचेंज

— जोनाथन

@ जोनाथन धन्यवाद। मेरे संपादन अब देखें कि यह स्पष्ट हो गया है। बहुत उपयोगी है, हालांकि मैं इसे बहुत दरार नहीं कर सका। इससे, यह प्रतीत होता है कि इसके लिए काम करने के लिए एक पर्याप्त शर्त यह है कि मेरा यादृच्छिक चर दृढ़ता से केंद्रित है? हालांकि मुझे इन नोटों की तुलना करने के लिए हॉफिंग की असमानता आदि का उपयोग करने के लिए वास्तव में क्रैक करने में परेशानी हो रही है।

— जलपरला

आपका क्या मतलब है "एक पॉज़िशन रैंडम वैरिएबल और "? क्या यह एक मामला है या दो, और पीडीएफ क्या है?

f (x) = x^{α}

$f(x)=x^α$

— कार्ल

@Carl यह कुछ साल पहले की बात है, लेकिन अगर मुझे याद है, तो en.wikipedia.org/wiki/Poisson_ditribution से पीडीएफ के साथ कुछ लिए चर । यह वह कार्य था जिसे मैं अपेक्षा से अधिक ले रहा था। यानी

x \sim P o i s s o n (λ)

$x \sim Poisson(\lambda)$

λ

$\lambda$

f (x)

$f(x)$

E (f (x))

$E(f(x))$

— jlperla

निश्चित नहीं कि आप क्या पूछ रहे हैं। कैसे के बारे में है कि उच्च क्षणों की उत्पत्ति के बारे में प्वासों बंटन में Touchard बहुपद हैं : जहां {ब्रेसेस} स्टर्लिंग को दूसरी तरह की संख्या बताती है?

m_{k}

$m_k$

λ

$\lambda$

m_{k} = \sum_{i = 0}^{k} λ^{i} {\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}},

$m_k = \sum_{i=0}^k \lambda^i \left\{\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right\},$

— कार्ल

जवाबों:

आपकी धारणा से कि वास्तविक-विश्लेषणात्मक है, लगभग निश्चित रूप से (वास्तव में निश्चित रूप से) को में परिवर्तित करता है । $f$

y_{n} = f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (μ) \frac{(x - μ)^{n}}{n!}

$y_n = f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} + \ldots + f^{(n)}(\mu)\frac{(x - \mu)^n}{n!}$

f (x)

$f(x)$

एक मानक स्थिति जिसके तहत अभिसरण का अभिप्राय अभिसरण अर्थात है। वह कुछ जैसे कि । (डोमिनेटेड कन्वर्जेंस प्रमेय।)

E [f (x)] = E [lim_{n \to \infty} y_{n}] = lim_{n \to \infty} E [y_{n}],

$E[f(x)] = E [ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n] = \lim_{n \rightarrow \infty} E [y_n],$

| y_{n} | \leq y

$|y_n| \leq y$

y

$y$

E [y] < \infty

$E[y] < \infty$

यह स्थिति तब होगी जब बिजली श्रृंखला पूरी तरह से परिवर्तित हो जाएगी, यानी और

y = \sum_{n \geq 0} | f^{(n)} (μ) | \frac{| x - μ |^{n}}{n!} < \infty a . s .

$y = \sum_{n \geq 0} |f^{(n)}(\mu)| \, \frac{|x - \mu|^n}{n!} < \infty \;\; a.s.$

E [y] < \infty .

$E[y] < \infty.$

एक पॉइसोन यादृच्छिक चर और , आपका उदाहरण बताता है कि पूर्ण सीमा मानदंड की उपरोक्त पूर्णता सामान्य रूप से सबसे कमजोर संभव है। $f(x)=x^{\alpha}$ $\alpha \notin\mathbb{Z}_+$

— माइकल
स्रोत

-1

यदि फ़ंक्शन f (x) पावर श्रृंखला विस्तार अर्थात सभी डेरिवेटिव मौजूद है, तो अनुमानित सन्निकटन हो जाएगा। यह भी पूरी तरह से हासिल किया जाएगा यदि एक विशिष्ट सीमा और उससे अधिक के डेरिवेटिव शून्य के बराबर हैं। आप पॉपुलिस [3-4] और स्टार्क और वुड्स [4] का उल्लेख कर सकते हैं।

— ई। मेहरबान
स्रोत

"यह भी पूरी तरह से हासिल किया जाएगा यदि एक विशिष्ट सीमा के डेरिवेटिव और ऊपर शून्य के बराबर हैं।" यदि डेरिवेटिव मौजूद हैं और शून्य के बराबर हैं, तो क्या यह बहुपद कहने का दूसरा तरीका नहीं है?

— संचय

यह सच नहीं है। जब बिजली श्रृंखला विस्तार के बिंदु पर "सभी डेरिवेटिव मौजूद हैं", तो बिजली श्रृंखला को कहीं भी रूपांतरित करने की आवश्यकता नहीं है । (मानक उदाहरण का मैकलॉरिन श्रृंखला है ) एक और यह है कि जब श्रृंखला किसी बिंदु पर अभिसरण करती है, तो भी इसे हर जगह परिवर्तित करने की आवश्यकता नहीं होती है। एक सरल उदाहरण की मैकलॉरिन श्रृंखला हैजब ऐसा होता है, तो अभिसरण यादृच्छिक चर के विवरण पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि किसी भी छात्र का वितरण है औरआखिरकार, भी मौजूद नहीं है!

e^{- 1 / x^{2}} .

$e^{-1/x^2}.$

1 / (1 - x) .

$1/(1-x).$

X

$X$

1 / (1 - X) = 1 + X + X^{2} + \dots + X^{n} + \dots .

$1/(1-X)=1+X+X^2+\cdots+X^n+\cdots.$

E (X^{n})

$E(X^n)$

— whuber