आश्रित चर के उत्पाद की भिन्नता

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निर्भर चर के उत्पाद के विचरण के लिए सूत्र क्या है?

स्वतंत्र चर के मामले में सूत्र सरल है:

v a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - E (X Y)^{2} = v a r (X) v a r (Y) + v a r (X) E (Y)^{2} + v a r (Y) E (X)^{2}

${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2} = {\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^2 + {\rm var}(Y)E(X)^2$ लेकिन सहसंबद्ध चर के लिए सूत्र क्या है?

वैसे, मैं सांख्यिकीय आंकड़ों के आधार पर सहसंबंध कैसे पा सकता हूं?

correlation variance

— रीगा
स्रोत

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ठीक है, आपके द्वारा बताई गई परिचित पहचान का उपयोग करते हुए,

v a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - E (X Y)^{2}

${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2}$

सहसंयोजक के लिए अनुरूप सूत्र का उपयोग करना,

E (X^{2} Y^{2}) = c o v (X^{2}, Y^{2}) + E (X^{2}) E (Y^{2})

$E(X^{2}Y^{2}) = {\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + E(X^2)E(Y^2)$

तथा

E (X Y)^{2} = [c o v (X, Y) + E (X) E (Y)]^{2}

$E(XY)^{2} = [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$

जिसका अर्थ है, सामान्य तौर पर, को लिखा जा सकता है ${\rm var}(XY)$

c o v (X^{2}, Y^{2}) + [v a r (X) + E (X)^{2}] \cdot [v a r (Y) + E (Y)^{2}] - [c o v (X, Y) + E (X) E (Y)]^{2}

${\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + [{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$

ध्यान दें कि स्वतंत्रता के मामले में, और यह कम हो जाता है ${\rm cov}(X^2,Y^2) = {\rm cov}(X,Y) = 0$

[v a r (X) + E (X)^{2}] \cdot [v a r (Y) + E (Y)^{2}] - [E (X) E (Y)]^{2}

$[{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ E(X)E(Y) ]^{2}$

और दो शब्द रद्द हो जाते हैं और आपको मिल जाते हैं $[ E(X)E(Y) ]^{2}$

v a r (X) v a r (Y) + v a r (X) E (Y)^{2} + v a r (Y) E (X)^{2}

${\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^{2} + {\rm var}(Y)E(X)^{2}$

जैसा कि आपने ऊपर बताया।

संपादित करें: यदि आप केवल इतना निरीक्षण है और नहीं और अलग है, तो मुझे नहीं लगता कि आप अनुमान लगाने के लिए के लिए एक तरीका है या को छोड़कर विशेष मामलों में (उदाहरण के लिए, यदि का अर्थ है कि एक प्राथमिकता के रूप में जाना जाता है ) $XY$ $X$ $Y$ ${\rm cov}(X,Y)$ ${\rm cov}(X^2,Y^2)$ $X,Y$

— मैक्रो
स्रोत

2

आप E (X2) E (Y2) के बजाय [var (X) + E (X) 2] Y [var (Y) + E (Y) 2] क्यों डालते हैं ???

1

@ user35458, इसलिए वह var (X) और var (Y) की अभिव्यक्ति के रूप में समीकरण के साथ समाप्त हो सकता है, इस प्रकार ओपी के बयान के साथ तुलनीय है। ध्यान दें कि E (X ^ 2) = Var (X) + E (X) ^ 2.

— वाल्डिर लियोनसियो

2

इस उत्तर की वैधता के लिए अब-हटाई गई चुनौती का जवाब देने के लिए (ऑफ़लाइन) जवाब देने के लिए, मैंने इसके परिणामों की तुलना कई सिमुलेशन में उत्पाद के विचरण की प्रत्यक्ष गणना से की। यदि आप इससे बच सकते हैं, तो इसका उपयोग करने का एक व्यावहारिक सूत्र नहीं है, क्योंकि यह एक बड़े शब्द को दूसरे से घटाने में रद्द करने के माध्यम से पर्याप्त सटीकता खो सकता है - लेकिन यह बात नहीं है। खबरदार करने के लिए एक नुकसान यह है कि यह सवाल यादृच्छिक चर की चिंता करता है। इसका परिणाम लागू आंकड़ों के आप प्रसरण और सहप्रसरण का हरों का उपयोग कर की गणना प्रदान की बजाय $n$ $n-1$ (के रूप में सॉफ्टवेयर के लिए सामान्य है)।

— whuber

14

यह @ मैक्रो के बहुत अच्छे उत्तर का एक परिशिष्ट है, जो दो परस्पर संबंधित यादृच्छिक चर के उत्पाद के विचरण को निर्धारित करने के लिए वास्तव में ज्ञात होने की आवश्यकता है। चूंकि जहां,,,

\begin{aligned} (1) & var (X Y) & = E [(X Y)^{2}] - {(E [X Y])}^{2} \\ = E [(X Y)^{2}] - {(cov (X, Y) + E [X] E [Y])}^{2} \\ (2) & = E [X^{2} Y^{2}] - {(cov (X, Y) + E [X] E [Y])}^{2} \\ (3) & = (cov (X^{2}, Y^{2}) + E [X^{2}] E [Y^{2}]) - {(cov (X, Y) + E [X] E [Y])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(XY) &= E\left[(XY)^2\right] - \left(E[XY]\right)^2 \tag{1}\\ &= E[(XY)^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\\ &= E[X^2Y^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{2}\\ &= \left(\operatorname{cov}(X^2,Y^2)+E[X^2]E[Y^2]\right) - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{3}\\ \end{align}$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

E [X]

$E[X]$

E [Y]

$E[Y]$

E [X^{2}]

$E[X^2]$

E [Y^{2}]

$E[Y^2]$

E [X^{2} Y^{2}]

$E\left[X^2Y^2\right]$

(2)

$(2)$

cov (X^{2}, Y^{2})

$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$

(3)

$(3)$

X

$X$

Y

$Y$

cov (X, Y) = cov (X^{2}, Y^{2}) = 0

$\operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{cov}(X^2,Y^2) = 0$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

0

$0$

E [X^{2} Y^{2}]

$E\left[X^2Y^2\right]$

cov (X^{2}, Y^{2})

$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$ does simplify the right sides of

(2)

$(2)$ and

(3)

$(3)$ a little.

When $X$ and $Y$ are dependent random variables, then in at least one (fairly common or fairly important) special case, it is possible to find the value of $E\left[X^2Y^2\right]$ relatively easily.

Suppose that $X$ and $Y$ are jointly normal random variables with correlation coefficient $\rho$ . Then, conditioned on $X = x$ , the conditional density of $Y$ is a normal density with mean $E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(x-E[X]\right)$ and variance $\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2)$ . Thus,

\begin{aligned} E [X^{2} Y^{2} ∣ X] & = X^{2} E [Y^{2} ∣ X] \\ = X^{2} [var (Y) (1 - ρ^{2}) + {(E [Y] + ρ \sqrt{\frac{var (Y)}{var (X)}} (X - E [X]))}^{2}] \end{aligned}

$\begin{align}E[X^2Y^2 \mid X] &= X^2E[Y^2 \mid X]\\ &= X^2\left[\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2) + \left(E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(X-E[X]\right)\right)^2\right] \end{align}$ which is a quartic function of

X

$X$ , say

g (X)

$g(X)$ , and the Law of Iterated Expectation tells us that

\begin{matrix} (4) & E [X^{2} Y^{2}] = E [E [X^{2} Y^{2} ∣ X]] = E [g (X)] \end{matrix}

$E[X^2Y^2] = E\left[E[X^2Y^2\mid X]\right] = E[g(X)]\tag{4}$ where the right side of

(4)

$(4)$ can be computed from knowledge of the 3rd and 4th moments of

X

$X$ -- standard results that can be found in many texts and reference books (meaning that I am too lazy to look them up and include them in this answer).

Further addendum: In a now-deleted answer, @Hydrologist gives the variance of $XY$ as

\begin{matrix} (5) & V a r [x y] = {(E [x])}^{2} V a r [y] + {(E [y])}^{2} V a r [x] + 2 E [x] C o v [x, y^{2}] + 2 E [y] C o v [x^{2}, y] + 2 E [x] E [y] C o v [x, y] + C o v [x^{2}, y^{2}] - {(C o v [x, y])}^{2} \end{matrix}

$\mathrm{Var}\left[xy\right] = \left(\mathrm{E}\left[x\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[y\right] + \left(\mathrm{E}\left[y\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[x\right] + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right] + 2\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]\\ + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x,y\right] +\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right] - \left(\mathrm{Cov}\left[x,y\right]\right)^2 \tag{5}$ and claims that this formula is from two papers published a half-century ago in JASA. This formula is an incorrect transcription of the results in the paper(s) cited by Hydrologist. Specifically,

C o v [x^{2}, y^{2}]

$\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right]$ is a mistranscription of

E [(x - E [x])^{2} (y - E [y])^{2}]

$E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]$ in the journal article, and similarly for

C o v [x^{2}, y]

$\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]$ and

C o v [x, y^{2}]

$\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right]$ .

— Dilip Sarwate
स्रोत

For the computation of

E (X^{2} Y^{2})

$E(X^2 Y^2)$ in the joint normal case, also see math.stackexchange.com/questions/668641/…

— Samuel Reid