विचरण का उलटा कार्य

Question

किसी दिए गए निरंतर संख्या (उदाहरण के लिए 4) के लिए, क्या लिए प्रायिकता वितरण संभव है , ताकि हमारे पास ?$r$$X$$\mathrm{Var}(X)=r$

Comments

नहीं, जब तक कि आपके पास अतिरिक्त जानकारी न हो।

— हेमंत रुपाणी

@ हेमंत रुपाणी को क्या अतिरिक्त जानकारी चाहिए?

— amiref

रैंडम वेरिएबल 'X' की कोई भी प्रकृति ...

— हेमंत रूपानी

मेरा सुझाव है कि आप "एक्स के लिए मूल्य" को "एक्स के लिए वितरण" के साथ बदलने के लिए अपने प्रश्न को संपादित करें - यदि एक्स का सिर्फ एक मूल्य है, तो एक्स का एक पतित वितरण है और इसमें विचरण शून्य होगा।

— सिल्वरफिश जूल

जब तक ऋणात्मक नहीं होता, उत्तर स्पष्ट रूप से हां होता है, एक विचरण कोई भी सकारात्मक संख्या हो सकती है। $r$

— 14

Answer 1

लिए मामलों पर सावधानीपूर्वक विचार करें : यदि तो वितरण पतित है, लेकिन का कोई मतलब हो सकता है। वह है, किसी भी लिए और । इसलिए हम लिए कई संभावित वितरण पा सकते हैं , लेकिन वे द्वारा अनुक्रमित किए जाते हैं, और पूरी तरह से, निर्दिष्ट होते हैं ।$r$$r=0$$X$$\Pr(X=\mu)=1$$\Pr(X=c)=0$$c \neq \mu$$X$$\mu \in \mathbb{R}$

यदि , कोई वितरण नहीं पाया जा सकता है, क्योंकि ।$r<0$$\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}(X-\mu_X)^2 \geq 0$

के लिए , जवाब पर निर्भर करेगा कि क्या अतिरिक्त जानकारी के बारे में जाना जाता है । उदाहरण के लिए यदि का अर्थ , तो किसी भी और लिए जाना जाता है , हम ले कर इन क्षणों के साथ वितरण पा सकते हैं । यह मिलान माध्य और विचरण की समस्या का एक अनूठा समाधान नहीं है, लेकिन यह एकमात्र सामान्य रूप से वितरित समाधान है (और सभी संभावित समाधानों में, यह वह है जो एन्ट्रापी को अधिकतम करता है, जैसा कि डैनियल बताते हैं)। यदि आप भी तीसरे केंद्रीय क्षण , या उच्चतर जैसे मैच करना चाहते हैं , तो आपको संभाव्यता वितरण की एक विस्तृत श्रृंखला पर विचार करना होगा।$r>0$$X$$X$$\mu$$\mu \in \mathbb{R}$$r>0$$X \sim N(\mu, r)$

मान लीजिए कि इसके बजाय हमें अपने क्षणों के बजाय के वितरण के बारे में कुछ जानकारी थी । उदाहरण के लिए, यदि हम जानते हैं कि एक पॉइसन वितरण का अनुसरण करता है, तो अद्वितीय समाधान । अगर हम जानते हैं कि एक घातीय वितरण का अनुसरण करता है, तो फिर से एक अनूठा समाधान है , जहां हमने इस को हल करके पैरामीटर पाया है ।$X$$X$$X \sim \mathrm{Poisson}(r)$$X$$X \sim \mathrm{Exponential}(\frac{1}{\sqrt{r}})$$\mathrm{Var}(X) = r = \frac{1}{\lambda^2}$

अन्य मामलों में हम समाधान का एक पूरा परिवार पा सकते हैं। अगर हम जानते हैं कि एक आयताकार (निरंतर वर्दी) वितरण का अनुसरण करता है, तो हम हल करके वितरण के लिए एक अद्वितीय चौड़ाई पा सकते हैं । लेकिन समाधानों का एक पूरा परिवार होगा, _ द्वारा परिमाणित है - इस सेट में वितरण एक दूसरे के सभी अनुवाद हैं। इसी तरह, यदि सामान्य है, तो कोई भी वितरण काम करेगा (इसलिए हमारे पास द्वारा अनुक्रमित समाधानों का एक पूरा सेट है , जो फिर से कोई वास्तविक संख्या हो सकती है, और फिर से परिवार सभी अनुवाद हैं एक दूसरे की)। अगर$X$$w$$\mathrm{Var}(X) = r = \frac{w^2}{12}$$X \sim U(a, a+w)$$a \in \mathbb{R}$$X$$X \sim N(\mu, r)$$\mu$$X$ एक गामा वितरण का अनुसरण करता है , फिर आकार-स्केल पैरामीटर के उपयोग से, हम समाधानों का एक पूरा परिवार प्राप्त कर सकते हैं, द्वारा सम्‍मिलित । इस परिवार के सदस्य एक दूसरे के अनुवाद नहीं हैं। मदद कल्पना क्या एक "समाधान के परिवार" कैसा लग सकता है के लिए, यहाँ द्वारा अनुक्रमित सामान्य वितरण के कुछ उदाहरण हैं , और उसके बाद गामा वितरण द्वारा अनुक्रमित , विचरण के साथ सभी चार के बराबर है, उदाहरण के लिए इसी में आपका प्रश्न।$X \sim \mathrm{Gamma}(\frac{r}{\theta^2}, \theta)$$\theta > 0$$\mu$$\theta$$r=4$

दूसरी ओर, कुछ वितरणों के लिए, के मूल्य के आधार पर इसका समाधान खोजना संभव नहीं है या नहीं भी हो सकता है । उदाहरण के लिए अगर एक Bernoulli चर तो के लिए होना चाहिए दो संभव समाधान देखते हैं क्योंकि वहाँ दो संभावनाओं हैं जो समीकरण को हल , और वास्तव में ये दो संभावनाएँ पूरक हैं अर्थात । के लिए वहाँ केवल अद्वितीय समाधान है , और के लिए कोई Bernoulli वितरण पर्याप्त रूप से उच्च विचरण है।$r$$X$$0 \leq r \lt 0.25$$X \sim \mathrm{Bernoulli}(p)$$p$$\mathrm{Var}(X) = r = p(1-p)$$p_1 + p_2 = 1$$r=0.25$$p=0.5$$r>0.25$

मुझे लगता है कि मुझे भी मामले का उल्लेख करना चाहिए । इस मामले के लिए समाधान भी, उदाहरण के लिए एक कर रहे हैं छात्र वितरण स्वतंत्रता के दो डिग्री के साथ।$r = \infty$$t$

भूखंडों के लिए आर कोड

require(ggplot2)

x.df  <- data.frame(x = rep(seq(from=-8, to=8, length=100), times=5),
    mu = rep(c(-4, -2, 0, 2, 4), each=100))
x.df$pdf <- dnorm(mean=x.df$mu, x.df$x)
ggplot(x.df, aes(x=x, y=pdf, group=factor(mu), colour=factor(mu))) + theme_bw() + 
    geom_line(size=1) + scale_colour_brewer(name=expression(mu), palette="Set1") +
    theme(legend.key = element_blank()) + ggtitle("Normal distributions with variance 4")

x.df  <- data.frame(x = rep(seq(from=0, to=20, length=1000), times=5),
    theta = rep(c(0.25, 0.5, 1, 2, 4), each=1000))
x.df$pdf <- dgamma(x.df$x, shape=4/(x.df$theta)^2, scale=x.df$theta)
ggplot(x.df, aes(x=x, y=pdf, group=factor(theta), colour=factor(theta))) + theme_bw() + 
    geom_line(size=1) + scale_colour_brewer(name=expression(theta), palette="Set1") +
    theme(legend.key = element_blank()) + ggtitle("Gamma distributions with variance 4") +
    coord_cartesian(ylim = c(0, 1)) 

Answer 2

आपका मतलब है "यह लिए एक संभावना वितरण खोजने के लिए संभव है " तो जवाब हाँ है, क्योंकि आपने कोई मापदंड निर्दिष्ट नहीं किया है जिसे को संतुष्ट करना होगा। वास्तव में संभावित वितरण की एक अनंत संख्या है जो इस स्थिति को संतुष्ट करेगी। बस एक सामान्य वितरण पर विचार करें, । आप को सेट कर सकते हैं और आप जैसे किसी भी मूल्य को ले सकते हैं - फिर आपके पास आवश्यकता के अनुसार ।$X$$X$$\mathcal{N}(x ; \mu, \sigma^2)$$\sigma^2 = r$$\mu$$Var[X] = r$

वास्तव में, सामान्य वितरण इस संबंध में विशेष है क्योंकि यह किसी दिए गए माध्य और विचरण के लिए अधिकतम एन्ट्रापी संभावना वितरण है ।

Comments

आप सही हैं, मैंने इसे सही किया। क्या आप कृपया अधिक समझाएंगे?

— amiref

@AmirEf क्या अस्पष्ट है?

— डैनियल

यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि डैनियल को और क्या बताना चाहिए; यहाँ उत्तर आपके पोस्ट किए गए प्रश्न में सब कुछ से निपटने के लिए लगता है।

— Glen_b -Reinstate Monica

Answer 3

इस प्रश्न की व्याख्या इस तरह से की जा सकती है जो इसे दिलचस्प बनाता है और पूरी तरह से तुच्छ नहीं। कुछ को देखते हुए कि दिखता है एक यादृच्छिक चर, किस हद तक यह इस तरह से अपने मूल्यों (या बदलाव मौजूदा संभावनाओं के आसपास) को असाइन संभावनाओं के लिए संभव है की तरह है कि इसके विचरण कुछ prespecified संख्या के बराबर होती ? इसका उत्तर यह है कि सभी संभावित मान स्वीकार्य हैं, की सीमा द्वारा निर्धारित सीमा तक ।$X$$r$$r\ge 0$$X$

इस तरह के विश्लेषण में संभावित रुचि एक विशेष छोर को प्राप्त करने के लिए, एक यादृच्छिक चर को स्थिर रखते हुए, संभाव्यता माप को बदलने के विचार में निहित है। यद्यपि यह अनुप्रयोग सरल है, यह कुछ विचारों को प्रदर्शित करता है जो कि Girsanov प्रमेय को अंतर्निहित करते हैं , जो गणितीय वित्त में मौलिक है।

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आइए इस प्रश्न को एक कठोर, असंदिग्ध ढंग से शांत करें। मान लीजिए

$$X:(\Omega, \mathfrak{S}) \to \mathbb{R}$$

एक मापने योग्य फ़ंक्शन है जिसे सिग्मा-बीजगणित साथ एक माप स्थान पर परिभाषित किया गया है । किसी दिए गए वास्तविक संख्या , कब संभव है कि इस स्थान पर प्रायिकता माप मिल जाए ?$\Omega$$\mathfrak{S}$$r \gt 0$$\mathbb{P}$$\text{Var}(X) = r$

मेरा मानना ​​है कि उत्तर यह है कि यह तब संभव है जब । $\sup(X) - \inf(X) \gt 2\sqrt{r}$ (समानता तब पकड़ सकती है जब सर्वोच्च और अनंत दोनों प्राप्त होते हैं: अर्थात्, वे वास्तव में के अधिकतम और न्यूनतम हैं ।) जब या तो या , यह स्थिति है पर कोई सीमा नहीं लगाता है , और तब विचरण के सभी गैर-नकारात्मक मूल्य संभव हैं।$X$$\sup(X)=\infty$$\inf(X)=-\infty$$r$

प्रमाण निर्माण द्वारा है। आइए इसके सरल संस्करण से शुरू करते हैं, विवरणों का ध्यान रखने और मूल विचार को कम करने के लिए, और फिर वास्तविक निर्माण की ओर बढ़ते हैं।

1. चलो की छवि में हो : इस का मतलब है एक जिसके लिए । निर्धारित फ़ंक्शन को करें, जो कि का संकेतक हो : अर्थात, अगर और जब ।$x$$X$$\omega_x\in\Omega$$X(\omega_x) = x$$\mathbb{P}:\mathfrak{S}\to [0,1]$$\omega_x$$\mathbb{P}(A) = 0$$\omega_x\notin A$$\mathbb{P}(A) = 1$$\omega_x\in A$

   चूंकि , स्पष्ट रूप से संभाव्यता के पहले दो स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है । यह दिखाना आवश्यक है कि यह तीसरे को संतुष्ट करता है; अर्थात्, यह सिग्मा-एडिटिव है। लेकिन यह लगभग स्पष्ट है: जब भी पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाओं का एक परिमित या अनगिनत अनंत सेट होता है, तो दोनों में से किसी में भी case लिए सभी या के लिए बिल्कुल उनमें से एक में , जिस स्थिति में कुछ विशेष और अन्यथा सभी$\mathbb{P}(\Omega)=1$$\mathbb P$$\{E_i, i=1, 2, \ldots\}$$\omega_x$$\mathbb{P}(E_i)=0$$i$$\omega_x$$\mathbb{P}(E_j)=1$$j$$\mathbb{P}(E_i)=0$$i\ne j$। किसी भी स्थिति में

   $$\mathbb{P}\left(\cup_i E_i\right) = \sum_i \mathbb{P}(E_i)$$

   क्योंकि दोनों पक्ष या दोनों ।$0$$1$

   चूंकि पर सभी संभावना केंद्रित , के वितरण पर ध्यान केंद्रित किया है और शून्य विचरण होना आवश्यक है।$\mathbb{P}$$\omega_x$$X$$x$$X$

2. चलो की सीमा में दो मानों हो ; वह है, और । पिछले चरण के समान तरीके से, एक माप को परिभाषित करें, जो कि और के संकेतक का भारित औसत हो । गैर नकारात्मक वजन का उपयोग करें और के लिए निर्धारित किया। पहले की तरह, हम उस गणित खोजते हैं, जिसमें (1) में चर्चा की गई संकेतक उपायों के उत्तल संयोजन की संभावना है। इस माप के संबंध में का वितरण एक बर्नोली$x_1 \le x_2$$X$$X(\omega_1) = x_1$$X(\omega_2) = x_2$$\mathbb{P}$$\omega_1$$\omega_2$$1-p$$p$$p$$\mathbb{P}$$X$$(p)$वितरण जो कि द्वारा स्केल किया गया है और द्वारा स्थानांतरित कर दिया गया है । चूँकि एक बर्नौली वितरण का प्रसरण , का विचरण अवश्य होना चाहिए ।$x_2-x_1$$-x_1$$(p)$$p(1-p)$$X$$(x_2-x_1)^2p(1-p)$

(2) का एक तात्कालिक परिणाम यह है कि कोई भी जिसके लिए की सीमा में मौजूद है और जिसके लिए है$r$$x_1 \le x_2$$X$$0 \le p \lt 1$

$$r = (x_2-x_1)^2p(1-p)$$

का विचरण हो सकता है । चूंकि , इसका मतलब है$X$$0 \le p(1-p) \le 1/4$

$$2\sqrt{r} = \sqrt{4 r} \le \sqrt{\frac{r}{p(1-p)}} = \sqrt{(x_2-x_1)^2} = x_2-x_1 \le \sup(X)-\inf(X),$$

समानता के साथ अगर और केवल अधिकतम और न्यूनतम हो तो।$X$

इसके विपरीत, यदि इस सीमा को पार करता है , तो कोई समाधान संभव नहीं है, क्योंकि हम पहले से ही जानते हैं कि किसी भी बंधे हुए यादृच्छिक चर का विचरण एक-चौथाई से अधिक नहीं हो सकता है। इसकी सीमा का वर्ग।$r$$(\sup(X)-\inf(X))^2/4$

Comments

दोस्त, मुझे लगता है कि आप ओपी की तुलना में पूरे अलग स्तर पर हैं।

— मार्क एल। स्टोन

@ मर्क शायद। (मुझे लगता है कि आपको यहां बहुत शुष्क हास्य का पता चला।) लेकिन किसी ने गणितीय-सांख्यिकी टैग को अपनी पोस्ट पर लागू करने के लिए इस तरह के सामान की अपेक्षा की है :-)।

— whuber

जब मैंने "टोटल पॉजिटिविटी" पर लेट प्रो सैमुअल कार्लिन (अन्य चीजों के बीच टेलर फेमस) से 4 स्टूडेंट क्लास ली तो मुझे इस तरह की याद आ गई। गेम थ्योरी का विषय किसी तरह सामने आया। उन्होंने कहा, ओह, गेम थ्योरी। आपके पास दो गैर-नकारात्मक सिग्मा-परिमित उपाय हैं .... अब, कल्पना कीजिए कि वह एक उदारवादी कला महाविद्यालय में एक नए अर्थशास्त्र वर्ग में छात्रों को इस तरह से गेम थ्योरी पेश कर रहा है। यही आपकी पोस्ट ने मुझे सोचने पर मजबूर कर दिया।

— मार्क एल। स्टोन

@ मर्क अंडरस्टूड। कोई ऐसा नहीं करेगा और सफल होगा। जैसा कि आप बताते हैं, मैं यहाँ एक विशिष्ट के बजाय सामान्य पाठकों के लिए (सबसे उपर) लिख रहा हूँ। दूसरी ओर, अमूर्त विषय कठिन नहीं है (इस प्रारंभिक स्तर पर) और उदार कला महाविद्यालयों में प्रेरित अंडरक्लासमेन के लिए सुलभ साबित हुआ है। उदाहरण के लिए , आंकड़े .stackexchange.com / a / 94876 पर टिप्पणियाँ देखें ।

— whuber

@ MarkL.Stone उत्तर केवल तत्काल पूछने वाले से अधिक के लिए हैं (एसई का उद्देश्य अच्छे प्रश्नों का भंडार है और बाद में समान प्रश्नों वाले लोगों के लिए अच्छे उत्तर हैं), और हमारे पास इस प्रश्न के अधिक प्राथमिक दृष्टिकोण के लिए पहले से ही उत्तर हैं । कुछ अन्य पाठकों को चीजों पर कम प्राथमिक लेने से कुछ मिल सकता है, इसलिए विभिन्न प्रकार की शैलियों और उत्तर का स्तर प्रश्न को अधिक लोगों के लिए उपयोगी बनाता है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

Answer 4

हां, इस तरह के वितरण को खोजना संभव है। वास्तव में आप अपनी स्थिति से मेल खाने के लिए एक परिमित साथ कोई भी वितरण कर सकते हैं , और स्केल कर सकते हैं, क्योंकि

$$Var[cX]=c^2Var[X]$$

उदाहरण के लिए, अंतराल पर एक समान वितरण में विचरण है: इसलिए, अंतराल में एक समान वितरण में प्रसरण ।$[0,1]$

$$\sigma^2=\frac{1}{12}$$ $\left[0,\frac{1}{\sqrt{12r}}\right]$$r$

वास्तव में, यह कुछ वितरणों में मापदंडों को जोड़ने का एक सामान्य तरीका है, जैसे कि छात्र टी। इसका केवल एक ही पैरामीटर है, - स्वतंत्रता की डिग्री। जब वितरण मानक सामान्य में करता है। यह घंटी के आकार का है, और सामान्य की तरह बहुत कुछ दिखता है, लेकिन इसमें मोटी पूंछ है। इसीलिए अक्सर इसका उपयोग सामान्य वितरण के विकल्प के रूप में किया जाता है जब पूंछ मोटा होता है। एकमात्र समस्या यह है कि गौसियन वितरण के दो पैरामीटर हैं। तो, स्टूडेंट टी का स्केल संस्करण आता है, जिसे कभी-कभी " टी लोकेशन स्केल" वितरण कहा जाता है । यह एक बहुत ही साधारण परिवर्तन है: , जहां स्थान और पैमाने हैं। अब, आप स्केल सेट कर सकते हैं ताकि नया चर$\nu$$\nu\to\infty$$\xi=\frac{t-\mu}{s}$$\mu,s$$\xi$ किसी भी आवश्यक विचरण होगा, और छात्र टी वितरण का एक आकार होगा।