द्विवार्षिक रिग्रेशन गुणांक on- लाइन और -on- लाइन के उत्पाद सहसंबंध के वर्ग के बराबर क्यों होता है ?

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प्रतिगमन मॉडल है जहां साथ और , जिसमें का सहसंबंध गुणांक है । $Y = a + bX$ $a = 1.6$ $b=0.4$ $r = 0.60302$

तो और तो चारों ओर बंद कर रहे हैं और समीकरण बन जाता है जहां और है, यह भी एक है के मूल्य । $X$ $Y$ $X = c + dY$ $c=0.4545$ $d=0.9091$ $r$ $0.60302$

मुझे उम्मीद है कि कोई यह बता सकता है कि क्यों भी । $(d\times b)^{0.5}$ $0.60302$

correlation regression-coefficients

— माइक
स्रोत

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$b = r \; \text{SD}_y / \text{SD}_x$ और , इसलिए । $d = r \; \text{SD}_x / \text{SD}_y$ $b\times d = r^2$

कई आँकड़े पाठ्यपुस्तक इस पर स्पर्श करेंगे; मुझे फ्रीडमैन एट अल।, सांख्यिकी पसंद है । यहाँ भी देखें और यह विकिपीडिया लेख ।

— कार्ल
स्रोत

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इस पोस्ट में सुधार करना चाहते हैं? इस प्रश्न के विस्तृत उत्तर प्रदान करें, जिसमें उद्धरण और आपका उत्तर सही क्यों है की व्याख्या भी शामिल है। बिना पर्याप्त विवरण के उत्तर संपादित या हटाए जा सकते हैं।

सहसंबंध गुणांक को देखने के लिए तेरह तरीके देखें - और विशेष रूप से 3, 4, 5 आपके लिए सबसे अधिक रुचि के होंगे।

रॉजर्स, जेएल, और निकेवांडर, डब्ल्यूए (1988)। सहसंबंध गुणांक को देखने के तेरह तरीके । द अमेरिकन स्टेटिस्टिशियन, 42, 1 , पीपी। 59-66।

— जिज्ञासु
स्रोत

2

यह शायद एक टिप्पणी होनी चाहिए थी। ध्यान दें कि लिंक मृत हो गया है। मैंने लिंक को अपडेट कर दिया है और एक पूर्ण उद्धरण प्रदान किया है। क्या आप विस्तृत या कोई अतिरिक्त जानकारी प्रदान कर सकते हैं, तो यह तब भी मूल्यवान होगा, जब लिंक फिर से मृत हो जाए?

— गंग -

2

Rodgers & Nicewander लेख को हमारी साइट पर आँकड़े.स्टैकएक्सचेंज . com / q / 70969 / 5228 पर संक्षेपित किया गया है ।

— whuber

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$\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}$ $\DeclareMathOperator{\Corr}{Corr}$ $\DeclareMathOperator{\SD}{SD}$ $\DeclareMathOperator{\Var}{Var}$ $\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}$ $\DeclareMathOperator{\nsum}{\sum_{i=1}^{n}}$

याद रखें कि कई परिचयात्मक ग्रंथ परिभाषित करते हैं

S_{x y} = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})

$S_{xy} = \nsum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)$

फिर को रूप में सेट करके हमने और इसी तरह । $y$ $x$ $S_{xx} = \nsum (x_i - \bar x)^2$ $S_{yy} = \nsum (y_i - \bar y)^2$

सहसंबंध गुणांक के लिए सूत्र , के ढलान -on- प्रतिगमन (अपने ) और की ढलान -on- प्रतिगमन (अपने ) अक्सर के रूप में दिए गए हैं: $r$ $y$ $x$ $b$ $x$ $y$ $d$

\begin{aligned} (1) & r & = \frac{S_{x y}}{\sqrt{S_{x x} S_{y y}}} \\ (2) & {\hat{β}}_{y on x} & = \frac{S_{x y}}{S_{x x}} \\ (3) & {\hat{β}}_{x on y} & = \frac{S_{x y}}{S_{y y}} \end{aligned}

$\begin{align} r &= \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} \tag{1} \\ \hat \beta_{y\text{ on }x} &= \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \tag{2} \\ \hat \beta_{x\text{ on }y} &= \frac{S_{xy}}{S_{yy}} \tag{3} \end{align}$

फिर गुणा और स्पष्ट रूप से का वर्ग देता है : $(2)$ $(3)$ $(1)$

{\hat{β}}_{y on x} \cdot {\hat{β}}_{x on y} = \frac{S_{x y}^{2}}{S_{x x} S_{y y}} = r^{2}

$\hat \beta_{y\text{ on }x} \cdot \hat \beta_{x\text{ on }y} = \frac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}} = r^2$

वैकल्पिक रूप से , और में अंशों के अंश और भाजक को अक्सर या विभाजित किया जाता है ताकि चीजों को नमूना या अनुमानित रूपांतरों और सहसंबंधों के संदर्भ में फंसाया जाए। उदाहरण के लिए, , अनुमानित सहसंबंध गुणांक अनुमानित मानक विचलन द्वारा मापी गई अनुमानित सहसंयोजक है: $(1)$ $(2)$ $(3)$ $n$ $(n-1)$ $(1)$

\begin{aligned} (4) & r & = \hat{Corr} (X, Y) = \frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{SD (X)} \hat{SD (Y)}} \\ (5) & {\hat{β}}_{y on x} & = \frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{Var (X)}} \\ (6) & {\hat{β}}_{x on y} & = \frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{Var (Y)}} \end{aligned}

$\begin{align} r &= \widehat \Corr(X,Y) = \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\SD(X)}\widehat{\SD(Y)}} \tag{4} \\ \hat \beta_{y\text{ on }x} &= \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\Var(X)}} \tag{5} \\ \hat \beta_{x\text{ on }y} &= \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\Var(Y)}} \tag{6} \end{align}$

हम तो तुरंत गुणा से लगता है और कि $(5)$ $(6)$

{\hat{β}}_{y on x} {\hat{β}}_{x on y} = \frac{\hat{Cov} (X, Y)^{2}}{\hat{Var (X)} \hat{Var (Y)}} = {(\frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{SD (X)} \hat{SD (Y)}})}^{2} = r^{2}

$\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y} = \frac{\widehat \Cov(X,Y)^2}{\widehat{\Var(X)}\widehat{\Var(Y)}} = \left( \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\SD(X)}\widehat{\SD(Y)}} \right)^2 = r^2$

हम बजाय पुन: व्यवस्थित हो सकता है एक "छोटा-अप" सह-संबंध के रूप में सहप्रसरण लिखने के लिए: $(4)$

\begin{matrix} (7) & \hat{Cov} (X, Y) = r \cdot \hat{SD (X)} \hat{SD (Y)} \end{matrix}

$\widehat \Cov(X,Y) = r\cdot \widehat{\SD(X)} \widehat{\SD(Y)} \tag{7}$

फिर into को और में स्थानापन्न करके हम प्रतिगमन गुणांकों को फिर से लिख सकते हैं जैसे कि और । इन्हें एक साथ गुणा करने से भी उत्पन्न होता है , और यह @ कार्ल का समाधान है। इस तरह से ढलान लिखने से यह स्पष्ट होता है कि हम सहसंबंध गुणांक को एक मानकीकृत प्रतिगमन ढलान के रूप में कैसे देख सकते हैं । $(7)$ $(5)$ $(6)$ $\hat \beta_{y\text{ on }x} = r \frac{\widehat \SD(y)}{\widehat \SD(x)}$ $\hat \beta_{x\text{ on }y} = r \frac{\widehat \SD(x)}{\widehat \SD(y)}$ $r^2$

अंत में ध्यान दें कि आपके मामले में लेकिन यह इसलिए था क्योंकि आपका सहसंबंध सकारात्मक था। यदि आपका सहसंबंध नकारात्मक था, तो आपको नकारात्मक जड़ को अपनाना होगा। $r = \sqrt{bd} =\sqrt{\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y}}$

यह पता लगाने के लिए कि क्या आपका सहसंबंध सकारात्मक है या नकारात्मक है, आपको बस अपने प्रतिगमन गुणांक के चिह्न (प्लस या माइनस) को ध्यान में रखना होगा - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप -on-0 या - देखते हैं जैसा कि उनके संकेत समान होंगे। तो आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: $y$ $x$ $x$ $y$

r = sgn ({\hat{β}}_{y on x}) \sqrt{{\hat{β}}_{y on x} {\hat{β}}_{x on y}}

$r = \sgn(\hat \beta_{y\text{ on }x}) \sqrt{\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y}}$

जहां है Signum समारोह , यानी है यदि ढलान सकारात्मक है और ढलान नकारात्मक है यदि। $\sgn$ $+1$ $-1$

— silverfish
स्रोत

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आपको मेरा यह उत्तर रुचिकर लग सकता है, हालांकि यह यहाँ पूछे गए प्रश्न को स्पष्ट रूप से संबोधित नहीं करता है।

— दिलीप सरवत