अत्यधिक मूल्य सिद्धांत का उपयोग क्यों करें?

Question

मैं सिविल इंजीनियरिंग से आ रहा हूं, जिसमें हम कुछ घटनाओं के मूल्य की भविष्यवाणी करने के लिए GEV वितरण की तरह एक्सट्रीम वैल्यू थ्योरी का उपयोग करते हैं, जैसे कि सबसे बड़ी हवा की गति , यानी कि हवा की गति का 98.5% कम होगा।

मेरा सवाल यह है कि इस तरह के चरम मूल्य वितरण का उपयोग क्यों करें ? क्या यह आसान नहीं होगा अगर हम सिर्फ समग्र वितरण का उपयोग करें और 98.5% संभावना के लिए मूल्य प्राप्त करें ?

Answer 1

अस्वीकरण: निम्नलिखित बिंदुओं पर, यह निश्चित रूप से मानता है कि आपका डेटा सामान्य रूप से वितरित किया गया है। यदि आप वास्तव में कुछ भी इंजीनियरिंग कर रहे हैं तो एक मजबूत सांख्यिकी पेशेवर से बात करें और उस व्यक्ति को लाइन पर यह कहते हुए हस्ताक्षर करने दें कि स्तर क्या होगा। उनमें से पांच, या उनमें से 25 से बात करें। यह उत्तर एक सिविल इंजीनियरिंग छात्र के लिए है, जो "क्यों" एक इंजीनियरिंग पेशेवर के लिए "क्यों" नहीं पूछ रहा है।

मुझे लगता है कि सवाल के पीछे का सवाल है "चरम मूल्य वितरण क्या है?"। हाँ यह कुछ बीजगणित है - प्रतीक। तो क्या? सही?

1000 साल की बाढ़ के बारे में सोचते हैं। वे बड़े हैं।

• http://www.huffingtonpost.com/2013/09/20/1000-year-storm_n_3956897.html
• http://science.time.com/2013/09/17/the-science-behind-colorados-thousand-year-flood/
• http://gizmodo.com/why-we-dont-design-our-cities-to-withstand-1-000-year-1325451888

जब वे होते हैं, तो वे बहुत से लोगों को मारने वाले होते हैं। पुल के बहुत नीचे जा रहे हैं।
तुम्हें पता है कि क्या पुल नीचे नहीं जा रहा है? मैं करता हूँ। तुम नहीं ... अभी तक।

प्रश्न: 1000 साल की बाढ़ में कौन सा पुल नीचे नहीं जा रहा है?
उत्तर: इसे झेलने के लिए बनाया गया पुल।

डेटा आपको इसे अपने तरीके से करने की आवश्यकता है:
तो मान लें कि आपके पास 200 साल का दैनिक डेटा है। क्या वहां 1000 साल बाढ़ है? दूर से नहीं। आपके पास वितरण की एक पूंछ का एक नमूना है। आपके पास आबादी नहीं है। यदि आप बाढ़ के इतिहास के बारे में सभी जानते हैं तो आपके पास डेटा की कुल जनसंख्या होगी। इस बारे में सोचते हैं। कम से कम एक मूल्य, जिसकी संभावना 1000 में 1 है, के लिए आपके पास कितने वर्षों के डेटा की आवश्यकता है, कितने नमूने हैं? एक आदर्श दुनिया में, आपको कम से कम 1000 नमूनों की आवश्यकता होगी। वास्तविक दुनिया गड़बड़ है, इसलिए आपको और अधिक की आवश्यकता है। आपको लगभग 4000 नमूनों पर 50/50 की छूट मिलनी शुरू हो जाती है। आपको लगभग 20,000 नमूनों में 1 से अधिक होने की गारंटी मिलनी शुरू हो जाती है। नमूना का मतलब "पानी एक सेकंड बनाम अगले" नहीं है, लेकिन भिन्नता के प्रत्येक अद्वितीय स्रोत के लिए एक उपाय है - जैसे साल-दर-साल भिन्नता। एक साल में एक उपाय, एक और उपाय के साथ एक और वर्ष में दो नमूनों का गठन होता है। यदि आपके पास 4,000 वर्ष का अच्छा डेटा नहीं है, तो संभवतः आपके पास डेटा में 1000 वर्ष की बाढ़ का उदाहरण नहीं है। अच्छी बात यह है कि एक अच्छा परिणाम प्राप्त करने के लिए आपको अधिक डेटा की आवश्यकता नहीं है।

यहां बताया गया है कि कम डेटा के साथ बेहतर परिणाम कैसे प्राप्त करें:
यदि आप वार्षिक मैक्सिमा को देखते हैं, तो आप "चरम मूल्य वितरण" को वर्ष-अधिकतम-स्तर के 200 मानों में फिट कर सकते हैं और आपके पास वह वितरण होगा जिसमें 1000 वर्ष की बाढ़ शामिल है। स्तर के। यह बीजगणित होगा, न कि वास्तविक "यह कितना बड़ा है"। आप समीकरण का उपयोग करके यह निर्धारित कर सकते हैं कि 1000 वर्ष की बाढ़ कितनी बड़ी होगी। फिर, पानी की मात्रा को देखते हुए - आप इसका विरोध करने के लिए अपने पुल का निर्माण कर सकते हैं। सटीक मूल्य के लिए शूट न करें, बड़े के लिए शूट करें, अन्यथा आप इसे 1000 साल की बाढ़ पर विफल होने के लिए डिज़ाइन कर रहे हैं। यदि आप बोल्ड हैं, तो आप यह पता लगाने के लिए रेज़मैपलिंग का उपयोग कर सकते हैं कि आपके द्वारा इसका विरोध करने के लिए इसे बनाने के लिए 1000 साल के मूल्य पर कितना अधिक भुगतान करना होगा।

यहां बताया गया है कि ईवी / जीईवी प्रासंगिक विश्लेषणात्मक रूप क्यों हैं:
सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण इस बारे में है कि अधिकतम कितना भिन्न होता है। माध्य में भिन्नता की तुलना में अधिकतम में भिन्नता वास्तव में भिन्न होती है। केंद्रीय सीमा प्रमेय के माध्यम से सामान्य वितरण, बहुत सारी "केंद्रीय प्रवृत्तियों" का वर्णन करता है।

प्रक्रिया:

1. निम्नलिखित 1000 बार करें:
   i। मानक सामान्य वितरण से 1000 नंबर उठाओ
   ii। नमूनों के उस समूह की अधिकतम गणना करें और उसे संग्रहीत करें

2. अब परिणाम के वितरण की साजिश रचें

   #libraries
   library(ggplot2)
   
   #parameters and pre-declarations
   nrolls <- 1000
   ntimes <- 10000
   store <- vector(length=ntimes)
   
   #main loop
   for (i in 1:ntimes){
   
        #get samples
        y <- rnorm(nrolls,mean=0,sd=1)
   
        #store max
        store[i] <- max(y)
   }
   
   #plot
   ggplot(data=data.frame(store), aes(store)) + 
        geom_histogram(aes(y = ..density..),
                       col="red", 
                       fill="green", 
                       alpha = .2) + 
        geom_density(col=2) + 
        labs(title="Histogram for Max") +
        labs(x="Max", y="Count")
   

यह "मानक सामान्य वितरण" नहीं है:

शिखर 3.2 पर है, लेकिन अधिकतम 5.0 की ओर जाता है। यह तिरछा है। यह लगभग 2.5 से नीचे नहीं मिलता है। यदि आपके पास वास्तविक डेटा (मानक सामान्य) था और आप सिर्फ पूंछ उठाते हैं, तो आप समान रूप से इस वक्र के साथ यादृच्छिक रूप से कुछ उठा रहे हैं। यदि आप भाग्यशाली हैं तो आप केंद्र की ओर हैं न कि निचली पूंछ के। इंजीनियरिंग भाग्य के विपरीत है - यह हर बार लगातार वांछित परिणाम प्राप्त करने के बारे में है। " रैंडम संख्याएँ अवसर के लिए छोड़ना बहुत महत्वपूर्ण हैं " (फ़ुटनोट देखें), खासकर एक इंजीनियर के लिए। विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन परिवार जो इस डेटा को सबसे अच्छी तरह से फिट बैठता है - वितरण का चरम मूल्य परिवार।

नमूना फिट:
मान लें कि हमारे पास मानक सामान्य वितरण से वर्ष-अधिकतम के 200 यादृच्छिक मूल्य हैं, और हम बहाना करने जा रहे हैं कि वे अधिकतम जल स्तर (जो भी मतलब हो) के हमारे 200 साल के इतिहास हैं। वितरण प्राप्त करने के लिए हम निम्नलिखित कार्य करेंगे:

1. "स्टोर" चर का नमूना (लघु / आसान कोड बनाने के लिए)
2. एक सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण के लिए उपयुक्त है
3. वितरण का मतलब ज्ञात करें
4. माध्य की भिन्नता में 95% CI ऊपरी सीमा ज्ञात करने के लिए बूटस्ट्रैपिंग का उपयोग करें, इसलिए हम उसके लिए अपनी इंजीनियरिंग को लक्षित कर सकते हैं।

(कोड उपर्युक्त पहले चलाया गया है)

library(SpatialExtremes) #if it isn't here install it, it is the ev library
y2 <- sample(store,size=200,replace=FALSE)  #this is our data

myfit <- gevmle(y2)

यह परिणाम देता है:

> gevmle(y2)    
       loc      scale      shape     
 3.0965530  0.2957722 -0.1139021     

20,000 सैंपल बनाने के लिए इन्हें जनरेटिंग फंक्शन में प्लग किया जा सकता है

y3 <- rgev(20000,loc=myfit[1],scale=myfit[2],shape=myfit[3])

निम्नलिखित में से किसी भी वर्ष में विफल रहने पर 50/50 की दर से भवन देना होगा:

माध्य (y3)
3.23681

1000 वर्ष "बाढ़" का स्तर क्या है यह निर्धारित करने के लिए यहाँ कोड है:

p1000 <- qgev(1-(1/1000),loc=myfit[1],scale=myfit[2],shape=myfit[3])
p1000

इसके अनुसरण में आपको 1000 वर्ष की बाढ़ पर 50/50 की विफलता देनी चाहिए।

p1000
4.510931

95% ऊपरी CI का निर्धारण करने के लिए मैंने निम्नलिखित कोड का उपयोग किया:

myloc <- 3.0965530
myscale <- 0.2957722
myshape <- -0.1139021

N <- 1000
m <- 200
p_1000 <- vector(length=N)
yd <- vector(length=m)

for (i in 1:N){

      #generate samples
    yd <- rgev(m,loc=myloc,scale=myscale,shape=myshape)

    #compute fit
    fit_d <- gevmle(yd)

    #compute quantile
    p_1000[i] <- qgev(1-(1/1000),loc=fit_d[1],scale=fit_d[2],shape=fit_d[3])

}

mytarget <- quantile(p_1000,probs=0.95)

परिणाम था:

> mytarget
     95% 
4.812148

इसका मतलब यह है, कि 1000 साल के बाढ़ के बड़े हिस्से का विरोध करने के लिए, यह देखते हुए कि आपका डेटा बेहद सामान्य है (संभावना नहीं), आपको इसके लिए निर्माण करना होगा ...

> out <- pgev(4.812148,loc=fit_d[1],scale=fit_d[2],shape=fit_d[3])
> 1/(1-out)

या

> 1/(1-out)
   shape 
1077.829 

... 1078 साल की बाढ़।

निचली रेखाएं:

• आपके पास डेटा का एक नमूना है, न कि वास्तविक कुल जनसंख्या। इसका मतलब है कि आपके मात्रात्मक अनुमान हैं, और बंद हो सकते हैं।
• वास्तविक पूंछों को निर्धारित करने के लिए नमूनों का उपयोग करने के लिए सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण जैसे वितरण बनाए जाते हैं। वे नमूना मूल्यों का उपयोग करने की तुलना में अनुमान लगाने में बहुत कम बुरी तरह से बंद हैं, भले ही आपके पास क्लासिक दृष्टिकोण के लिए पर्याप्त नमूने न हों।
• यदि आप मजबूत हैं तो छत ऊंची है, लेकिन इसका नतीजा यह है - आप असफल नहीं होते।

शुभकामनाएँ

पुनश्च:

• $$1/(1-0.985) \approx 67$$
• पिछले बिंदु को देखते हुए, औसतन हर 67 साल में नागरिक लोगों को पुनर्निर्माण करना चाहिए। इसलिए हर 67 साल में इंजीनियरिंग और निर्माण की पूरी लागत पर, सिविल संरचना के परिचालन जीवन (मुझे नहीं पता कि वह क्या है) को देखते हुए, कुछ बिंदु पर यह लंबे समय तक तूफान की अवधि के लिए इंजीनियर के लिए कम महंगा हो सकता है। एक स्थायी नागरिक अवसंरचना को बिना किसी असफलता के, कम से कम एक मानव जीवन काल के लिए डिज़ाइन किया गया है?

पुनश्च: अधिक मज़ा - एक यूट्यूब वीडियो (मेरा नहीं)
https://www.youtube.com/watch?v=EACkiMRT0pc

फुटनोट: कोवेयु, रॉबर्ट आर। "यादृच्छिक संख्या पीढ़ी को मौका देने के लिए छोड़ा जाना बहुत महत्वपूर्ण है।" एप्लाइड प्रोबेबिलिटी और मोंटे कार्लो तरीके और गतिशीलता के आधुनिक पहलू। लागू गणित में अध्ययन 3 (1969): 70-111।

Comments

मैं पर्याप्त स्पष्ट नहीं हो सकता। मेरी मुख्य चिंता यह है कि डेटा को फिट करने के extreme value distributionबजाय उपयोग क्यों करें the overall distribution, और 98.5% मान प्राप्त करें।

— cccn1991

समग्र जनसंख्या से आपका क्या अभिप्राय है?

— kjetil b halvorsen

उत्तर को अद्यतन किया।

— एंग्रीस्टूडेंट -

@EngrStudent महान जवाब, हालांकि यह बेहतर होगा यदि आप यह दिखाएंगे कि ईवीटी चित्रण के अलावा सामान्य वितरण का उपयोग करने से बेहतर कैसे काम करता है।

— टिम

मॉडलिंग के कुछ काम करने के बाद, मैं कहूंगा कि माता-पिता के वितरण का उपयोग करना केवल खतरनाक है, क्योंकि डेटा बहुत कम है, और चरम घटनाओं को मॉडलिंग करने के लिए एक्सट्रपलेशन सिर्फ खतरनाक और अस्थिर है। और इस तरह हमें ईवी सिद्धांत का उपयोग करना चाहिए।

— cccn1991

Answer 2

आप देखे गए डेटा से एक्सट्रपलेशन करने के लिए चरम मान सिद्धांत का उपयोग करते हैं। अक्सर, आपके पास जो डेटा होता है, वह आपको पूँछ की संभावना का एक समझदार अनुमान प्रदान करने के लिए पर्याप्त बड़ा नहीं होता है। 1-1000 वर्ष की घटना में @ EngrStudent का उदाहरण लेना: जो किसी वितरण के 99.9% मात्रा को खोजने से मेल खाती है। लेकिन अगर आपके पास केवल 200 साल का डेटा है, तो आप केवल अनुभवजन्य मात्रात्मक अनुमानों की गणना 99.5% तक कर सकते हैं।

चरम मूल्य सिद्धांत आपको पूंछ में अपने वितरण के आकार के बारे में विभिन्न धारणाएं बनाकर, 99.9% मात्रात्मक अनुमान लगाने देता है : कि यह चिकनी है, कि यह एक निश्चित पैटर्न के साथ तय होता है, और इसी तरह।

आप सोच रहे होंगे कि 99.5% और 99.9% के बीच का अंतर मामूली है; यह केवल 0.4% है। लेकिन यह संभावना में अंतर है , और जब आप पूंछ में होते हैं, तो यह क्वांटाइल्स में एक बड़े अंतर में तब्दील हो सकता है । यहाँ एक उदाहरण है कि यह गामा वितरण के लिए कैसा दिखता है, जिसकी इन चीजों के चलते बहुत लंबी पूंछ नहीं है। नीली रेखा 99.5% मात्रात्मक से मेल खाती है, और लाल रेखा 99.9% मात्रात्मक है। जबकि ऊर्ध्वाधर अक्ष पर इनका अंतर छोटा है, क्षैतिज अक्ष पर पृथक्करण पर्याप्त है। अलगाव वास्तव में लंबे समय तक पूंछ वितरण के लिए बड़ा हो जाता है; गामा वास्तव में एक बहुत ही सहज मामला है।

Comments

आपका उत्तर गलत है। एक वार्षिक सामान्य का 99.9% बिंदु 1000 वर्ष की घटना में 1 के अनुरूप नहीं है। अधिकतम 1000 नॉर्मल्स का वितरण अलग-अलग है। मुझे लगता है कि अन्य उत्तरों में पता चला है।

— मार्क एल। स्टोन

@ MarkL.Stone कहीं भी मैंने अधिकतम 1000 मानदंडों के बारे में कुछ नहीं कहा।

— हांग ओय

बिलकुल मेरी बात। 1000 वर्ष की घटना में 1 अधिकतम 1000 वार्षिक सामान्य पर आधारित होना चाहिए। यह एक वार्षिक सामान्य पर 99.9 $ बिंदु से बहुत अलग है। नीचे केरेल मेस्क के जवाब के लिए मेरी टिप्पणी देखें।

— मार्क एल। स्टोन

@ MarkL.Stone ग्राफ का बिंदु केवल यह दिखाना है कि जब आप पूंछ में होते हैं, तो संभावनाओं में छोटे परिवर्तन क्वांटाइल्स में बड़े बदलाव के अनुरूप होते हैं। आप एक GEV, या GPD, या किसी अन्य वितरण के 99% क्वांटाइल को स्थानापन्न कर सकते हैं। (और मैंने सामान्य वितरण का भी उल्लेख नहीं किया।)

— हाँग ओई

इसके अलावा, GEV के माध्यम से मैक्सिमा का आकलन करना पूंछ की मात्रा प्राप्त करने का सिर्फ एक तरीका है। दूसरा तरीका जीपीडी (भारी-पूंछ वाले वितरण को मानते हुए) के माध्यम से सीधे मात्राओं का अनुमान लगाना है।

— हांग ओय जूल

Answer 3

यदि आप केवल एक पूंछ में रुचि रखते हैं, तो यह समझ में आता है कि आप अपने डेटा संग्रह और विश्लेषण के प्रयासों को पूंछ पर केंद्रित करते हैं । ऐसा करने के लिए अधिक कुशल होना चाहिए। मैंने डेटा संग्रह पर जोर दिया क्योंकि EVT वितरण के लिए एक तर्क प्रस्तुत करते समय इस पहलू को अक्सर अनदेखा किया जाता है। वास्तव में, यह अनुमान लगाने के लिए प्रासंगिक डेटा एकत्र करना संभव है कि आप कुछ क्षेत्रों में समग्र वितरण को क्या कहते हैं। मैं नीचे और अधिक विस्तार से बताऊंगा।

यदि आप @ EngrStudent के उदाहरण में 1000 से 1 वर्ष की बाढ़ को देख रहे हैं, तो सामान्य वितरण के शरीर का निर्माण करने के लिए आपको टिप्पणियों के साथ इसे भरने के लिए बहुत अधिक डेटा की आवश्यकता होती है। संभावित रूप से आपको हर बाढ़ की जरूरत है जो पिछले सैकड़ों वर्षों में हुई है।

अब एक सेकंड के लिए रुकें और सोचें कि वास्तव में बाढ़ क्या है? जब भारी बारिश के बाद मेरे पिछवाड़े में पानी भर गया है, तो क्या यह बाढ़ है? शायद नहीं, लेकिन वास्तव में एक बाढ़ से नहीं होने वाली घटना से बाढ़ को हटाने वाली रेखा कहां है? यह सरल प्रश्न डेटा संग्रह के साथ समस्या पर प्रकाश डालता है। आप यह कैसे सुनिश्चित कर सकते हैं कि हम दशकों या शायद सदियों तक एक ही मानक का पालन करते हुए शरीर पर सभी डेटा एकत्र करते हैं? बाढ़ के वितरण के शरीर पर डेटा एकत्र करना व्यावहारिक रूप से असंभव है।

इसलिए, यह केवल विश्लेषण की दक्षता का मामला नहीं है , बल्कि डेटा संग्रह की व्यवहार्यता का मामला है : क्या पूरे वितरण या सिर्फ एक पूंछ को मॉडल करना है?

स्वाभाविक रूप से, पूंछ के साथ डेटा संग्रह बहुत आसान है। यदि हम भारी बाढ़ के लिए पर्याप्त उच्च सीमा को परिभाषित करते हैं , तो हमारे पास एक बड़ा मौका हो सकता है कि सभी या लगभग सभी घटनाओं को किसी तरह से दर्ज किया जाए। एक विनाशकारी बाढ़ को याद करना मुश्किल है, और अगर वहां किसी भी तरह की सभ्यता मौजूद है, तो घटना के बारे में कुछ स्मृति बच जाएगी। इस प्रकार यह विशेष रूप से दिए गए पूंछ पर ध्यान केंद्रित करने वाले विश्लेषणात्मक उपकरणों का निर्माण करने के लिए एक समझ में आता है कि डेटा संग्रह चरम घटनाओं पर बहुत अधिक मजबूत है न कि कई क्षेत्रों जैसे कि विश्वसनीयता अध्ययन में।

Comments

+1 दिलचस्प और तल्ख अंक, विशेष रूप से अंत में टिप्पणियों में।

— whuber

(+1) आपके अंतिम बिंदु (संरक्षित मेमोरी) से संबंधित, सैडलर इफ़ेक्ट रूचि का हो सकता है।

— जियोमैट 22

@ GeoMatt22, यह पहली बार है जब मैंने पेपर और सैडलर इफेक्ट शब्द देखा। लिंक के लिए धन्यवाद

— अक्षल

यह वास्तव में एक उत्कृष्ट बिंदु है। यह एक प्रणाली है, इसलिए एक प्रणालीगत दृष्टिकोण में उत्कृष्ट उपज हो सकती है। दुनिया में सबसे अच्छा विश्लेषण जंक डेटा के साथ जहर हो सकता है। एक काफी सरल विश्लेषण, जब अच्छे डेटा के साथ खिलाया जाता है, तो महान परिणाम हो सकते हैं। अच्छे अंक!

— EngrStudent -

Answer 4

आमतौर पर, अंतर्निहित डेटा का वितरण (जैसे, गॉसियन हवा की गति) एक एकल नमूना बिंदु के लिए होता है। 98 वाँ प्रतिशतक आपको बताएगा कि किसी भी यादृच्छिक रूप से चयनित बिंदु के लिए मूल्य का 2% मौका 98 वाँ प्रतिशतता से बड़ा है।

मैं एक सिविल इंजीनियर नहीं हूं, लेकिन मैं कल्पना करूंगा कि आप जो जानना चाहते हैं, वह किसी निश्चित दिन के ऊपर किसी भी दिन हवा की गति की संभावना नहीं है, लेकिन सबसे बड़ा संभव गस्ट का वितरण, कहते हैं, वर्ष का पाठ्यक्रम। उस स्थिति में, यदि दैनिक पवन झोंका अधिकतम होता है, कहते हैं, घातीय रूप से वितरित किया जाता है, तो आप जो चाहते हैं वह 365 दिनों में अधिकतम हवा का झोंका है ... यह वही है जो चरम मूल्य वितरण को हल करने के लिए था।

Answer 5

क्वांटाइल का उपयोग आगे की गणना को सरल बनाता है। सिविल इंजीनियर अपने पहले-सिद्धांत सूत्रों में मूल्य (हवा की गति, उदाहरण के लिए) को स्थानापन्न कर सकते हैं और वे उन चरम स्थितियों के लिए सिस्टम का व्यवहार प्राप्त करते हैं जो 98.5% मात्रात्मक के अनुरूप हैं।

पूरे वितरण का उपयोग अधिक जानकारी प्रदान करने के लिए लग सकता है, लेकिन गणना को जटिल करेगा। हालांकि, यह उन्नत जोखिम-प्रबंधन दृष्टिकोणों के उपयोग की अनुमति दे सकता है जो निर्माण (i) निर्माण और (ii) विफलता के जोखिम से संबंधित लागतों को बेहतर ढंग से संतुलित करेगा।

Comments

खैर ... मैं स्पष्ट रूप से पर्याप्त नहीं हो सकता। मैं बस यह जानना चाहता हूं कि सामान्य वितरण (पूरे वितरण?) के बजाय चरम मूल्य सिद्धांत का उपयोग क्यों करें जो हम सामान्य रूप से उपयोग करते हैं?

— cccn1991

यदि किसी एक तात्कालिकता के लिए संचयी वितरण कार्य, जैसे कि दैनिक अधिकतम हवा की गति, एफ (x) है, तो अधिकतम स्वतंत्र गति के साथ एक वर्ष के लिए n स्वतंत्र झटपटियों (जैसे, n = 365) की अधिकतम के लिए संचयी वितरण समारोह है ) एफ ^ एन (एक्स) है। यह F (x) से अलग है।

— मार्क एल। स्टोन