पीडीएफ के समारोह की मानकता और मानक सामान्य रैंडम वेरिएबल की सीडीएफ

Question

साक्ष्य प्रदान करें कि $Q\left(x\right)=x^{2}+x\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}$ उत्तल है$\forall x>0$। इधर,$\phi$और$\mathbf{\Phi}$मानक सामान्य पीडीएफ और CDF क्रमश: कर रहे हैं।

स्टीप्स की कोशिश की

1) कैलकुलस विधि

मैं पथरी विधि की कोशिश की है और दूसरा व्युत्पन्न के लिए एक सूत्र है, लेकिन पता चलता है कि यह सकारात्मक है नहीं पा रहा हूँ $\forall x > 0$ । कृपया मुझे बताएं कि क्या आपको किसी और विवरण की आवश्यकता है।

अंत में,

$$\begin{eqnarray*} \text{Let }Q\left(x\right)=x^{2}+x\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)} \end{eqnarray*}$$ ∂ क्यू ( एक्स $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial Q\left(x\right)}{\partial x} & = & 2x+x\left[-\frac{x\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}-\left\{ \frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}\right\} ^{2}\right]+\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)} \end{eqnarray*}$$ ∂ 2 क्यू(एक्स $$\begin{eqnarray*} \left.\frac{\partial Q\left(x\right)}{\partial x}\right|_{x=0} & = & \frac{\phi\left(0\right)}{\Phi\left(0\right)}>0 \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^{2}Q\left(x\right)}{\partial x^{2}} & = & 2+x\phi\left(x\right)\left[\frac{-\Phi^{2}\left(x\right)+x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)+3x\phi\left(x\right)\Phi\left(x\right)+2\phi^{2}\left(x\right)}{\Phi^{3}\left(x\right)}\right]+2\left[-x\frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}-\left\{ \frac{\phi\left(x\right)}{\Phi\left(x\right)}\right\} ^{2}\right] \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} & = & 2+\phi\left(x\right)\left[\frac{x^{3}\Phi^{2}\left(x\right)+3x^{2}\phi\left(x\right)\Phi\left(x\right)+2x\phi^{2}\left(x\right)-3x\Phi^{2}\left(x\right)-2\phi\left(x\right)\Phi\left(x\right)}{\Phi^{3}\left(x\right)}\right]\\ \end{eqnarray*}$$ Let, कश्मीर(एक्स)=2Φ3(एक्स)+2एक्सφ3(एक्स)+Φ2(एक्स)φ(एक्स)एक्स[एक्स2-3]+φ2(एक्स)Φ(एक्स)[3एक्स2-2] $$\begin{eqnarray*} & = & \left[\frac{2\Phi^{3}\left(x\right)+x^{3}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+3x^{2}\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)+2x\phi^{3}\left(x\right)-3x\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)-2\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)}{\Phi^{3}\left(x\right)}\right] \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \text{Let, }K\left(x\right)=2\Phi^{3}\left(x\right)+2x\phi^{3}\left(x\right)+\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)x\left[x^{2}-3\right]+\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)\left[3x^{2}-2\right] \end{eqnarray*}$$ के लिएएक्स≥ $$\begin{eqnarray*} K\left(0\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2\pi}>0 \end{eqnarray*}$$ । के लिएएक्स∈ ( 0,$x\geq\sqrt{3},K\left(x\right)>0$, के ) ( x $x\in\left(0,\sqrt{3}\right)$ $$\begin{eqnarray*} K'\left(x\right) & = & 6\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+2\phi^{3}\left(x\right)-6x^{2}\phi^{3}\left(x\right)+2\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)\left[x^{3}-3x\right]-\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)\left[x^{4}-3x^{2}\right]+\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)\left[3x^{2}-3\right]\\ & & -2\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)\left[3x^{3}-2x\right]+\phi^{3}\left(x\right)\left[3x^{2}-2\right]+\phi^{2}\left(x\right)\Phi\left(x\right)6x \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} K'\left(x\right) & = & 6\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)-3\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+2\phi^{3}\left(x\right)-2\phi^{3}\left(x\right)+6x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-6x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)+3x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+3x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)\\ & & +2x^{3}\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-6x^{3}\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)+3x^{2}\phi^{3}\left(x\right)-6x^{2}\phi^{3}\left(x\right)+4x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-x^{4}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right) \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} & = & 3\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+6x^{2}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)+4x\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right)-3x^{2}\phi^{3}\left(x\right)-x^{4}\Phi^{2}\left(x\right)\phi\left(x\right)-4x^{3}\Phi\left(x\right)\phi^{2}\left(x\right) \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} =\phi\left(x\right)\left[3\Phi^{2}\left(x\right)+x\left\{ 6x\Phi^{2}\left(x\right)-3x\phi^{2}\left(x\right)-x^{3}\Phi^{2}\left(x\right)+4\Phi\left(x\right)\phi\left(x\right)\left[1-x^{2}\right]\right\} \right] \end{eqnarray*}$$

2) ग्राफिक / रासायनिक विधि

मैं नीचे दिखाए गए अनुसार ग्राफ़ को प्लॉट करके इस संख्यात्मक और नेत्रहीन रूप से देखने में सक्षम था; लेकिन यह उचित सबूत के लिए उपयोगी होगा।

Answer 1

$Q$$x \ge 0$$\Phi$$\phi$

परिभाषा से,

$$\frac{d}{dx}\Phi(x) = \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp(-x^2/2).$$

$$\frac{d}{dx}\phi(x) = -x \phi(x).$$

इस परिणाम को दूसरे व्युत्पन्न पैदावार पर लागू करना

$$\frac{d^2}{dx^2}\phi(x) = (-1 + x^2)\phi(x).$$

विभिन्न परिणामों के सामान्य उत्पाद और भागफल नियमों के साथ, इन परिणामों का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि दूसरे व्युत्पन्न का अंश छह शब्दों का योग है। (यह परिणाम प्रश्न के बीच में प्राप्त किया गया था।) शब्दों को तीन समूहों में व्यवस्थित करना सुविधाजनक है:

$$\eqalign{ \Phi(x)^3\frac{d^2}{dx^2}Q(x)= &2 x \phi(x)^3 \\ &+\,3 x^2 \phi(x)^2 \Phi(x)+x^3 \phi(x) \Phi(x)^2 \\ &+\,\Phi(x) \left(-2 \phi(x)^2-3 x \phi(x) \Phi(x)+2 \Phi(x)^2\right). }$$

$\phi$$\Phi$$x\ge 0$

$$R(x) = -2 \phi(x)^2-3 x \phi(x) \Phi(x)+2 \Phi(x)^2.$$

इस कारक को दिखाने के कई तरीके नकारात्मक नहीं हो सकते। एक है कि ध्यान दें

$$R(0) = -2\phi(0) + 2\Phi(0) = 1 - \sqrt{\frac{2}{\pi}} \gt 0.$$

विभेदन - पहले जैसी सरल तकनीकों का उपयोग करके - देता है

$$\frac{d}{dx} R(x) = \phi(x)(x \phi(x) + (1 + 3x^2)\Phi(x))$$

$x\ge 0$$R(x)$$[0, \infty)$$R(0) \gt 0$$R(x)\gt 0$$x \ge 0$

$Q$$x \ge 0$

Comments

धन्यवाद @whuber क्या एक उत्कृष्ट जवाब है। आपकी मदद के लिए बहुत सराहना की। मैं कुछ इसी तरह की कोशिश कर रहा था और पोस्ट की शर्तों का उपयोग करके नकारात्मक शब्दों को कुचलने की कोशिश कर रहा था, लेकिन आपने अभी तक जो संयोजन की कोशिश नहीं की थी, उसके ऊपर प्रयास किया था। आपका परिणाम देखने के लिए बहुत खुश था।

— टेक्समेक्स