शून्य तिरछा और शून्य अतिरिक्त कर्टोसिस के साथ गैर-सामान्य वितरण?

ज्यादातर सैद्धांतिक सवाल। क्या गैर-सामान्य वितरण के कोई उदाहरण हैं जो पहले चार पल सामान्य के बराबर हैं? क्या वे सिद्धांत में मौजूद हो सकते हैं?

— Egor
स्रोत

यहां तक कि सिर्फ 2 मानदंडों (5 मापदंडों - 2 का मतलब है, 2 संस्करण, और मिश्रण संभावना) के मिश्रण को ध्यान में रखते हुए, आप पहले चार क्षणों की एक विस्तृत विविधता के लिए हल कर सकते हैं।

— शेरिडन ग्रांट

जवाबों:

हां, तिरछापन और अतिरिक्त कुर्तोसिस दोनों के उदाहरणों का निर्माण अपेक्षाकृत आसान है। (आमतौर पर उदाहरण (ए) से (डी) नीचे भी पियर्सन माध्य-माध्य तिरछा 0 है)

(ए) उदाहरण के लिए, इस उत्तर में एक गामा के 50-50 मिश्रण को ले कर एक उदाहरण दिया जाता है, (जिसे मैं कहता हूं ), और एक दूसरे का ऋणात्मक, जिसका घनत्व इस तरह दिखता है: $X$

डगमगाना 2.3

स्पष्ट रूप से परिणाम सममित है और सामान्य नहीं है। स्केल पैरामीटर यहाँ महत्वहीन है, इसलिए हम इसे बना सकते हैं 1. गामा के आकार पैरामीटर की सावधानीपूर्वक पसंद से आवश्यक कर्टोसिस उत्पन्न होता है:

इस डबल-गामा ( ) का विचरण, इसके आधार पर गामा के रूप में कार्य करना आसान है: । $Y$ $\text{Var}(Y)=E(X^2)=\text{Var}(X)+E(X)^2=\alpha+\alpha^2$
चर का चौथा केंद्रीय क्षण , जो एक गामा ( ) के लिए $Y$ $E(X^4)$ $\alpha$ $\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)$

परिणामस्वरूप कर्टोसिस । यह जब , जो तब होता है जब । $\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha^2(\alpha+1)^2}=\frac{(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha(\alpha+1)}$ $3$ $(\alpha+2)(\alpha+3)=3\alpha(\alpha+1)$ $\alpha=(\sqrt{13}+1)/2\approx 2.303$

(बी) हम दो वर्दी के पैमाने मिश्रण के रूप में एक उदाहरण भी बना सकते हैं। चलो और जाने , और । स्पष्ट रूप से यह विचार करके कि सममित है और परिमित सीमा है, हमारे पास होना चाहिए ; तिरछा भी 0 होगा और केंद्रीय क्षण और कच्चे क्षण समान होंगे। $U_1\sim U(-1,1)$ $U_2\sim U(-a,a)$ $M=\frac12 U_1+\frac12 U_2$ $M$ $E(M)=0$

$\text{Var}(M)=E(M^2)=\frac12\text{Var}(U1)+\frac12\text{Var}(U_2)=\frac16[1+a^2]$ ।

इसी प्रकार, और इसलिए कुर्तोसिस $E(M^4)=\frac{1}{10} (1+a^4)$ $\frac{\frac{1}{10} (1+a^4)}{[\frac16 (1+a^2)]^2}=3.6\frac{1+a^4}{(1+a^2)^2}$

यदि हम , तो 3 है, और घनत्व इस तरह दिखता है: $a=\sqrt{5+\sqrt{24}}\approx 3.1463$

चलो की एक 50-50 मिश्रण हो और : $Y$ $\sqrt{X_1}$ $-\sqrt{X_2}$

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समरूपता (हमें भी आवश्यकता है परिमित होने के लिए लेकिन परिमित है, हमारे पास वह है) $E(Y)=0$ $E(|Y|)$ $E(X_1)$

$Var(Y)=E(Y^2)=E(X_1)=\lambda$

समरूपता द्वारा (और यह तथ्य कि निरपेक्ष 3 पल मौजूद है) तिरछा = 0

4 पल: $E(Y^4) = E(X_1^2) = \lambda+\lambda^2$

कर्टोसिस = $\frac{\lambda+\lambda^2}{\lambda^2}= 1+1/\lambda$

इसलिए जब , 3 है। यह ऊपर वर्णित मामला है। $\lambda=\frac12$

(d) मेरे अब तक के सभी उदाहरण सममित रहे हैं, क्योंकि सममित उत्तर बनाना आसान है - लेकिन असममित समाधान भी संभव है। यहाँ एक असतत उदाहरण है।

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जैसा कि आप देखते हैं, इनमें से कोई भी उदाहरण विशेष रूप से "सामान्य" नहीं दिखता है। समान गुणों के साथ किसी भी संख्या में असतत, निरंतर या मिश्रित चर बनाना एक साधारण बात होगी। जबकि मेरे अधिकांश उदाहरणों का निर्माण मिश्रण के रूप में किया गया था, वहाँ मिश्रणों के बारे में कुछ खास नहीं है , इसके अलावा वे अक्सर उन गुणों के साथ वितरण करने का एक सुविधाजनक तरीका है जो आप चाहते हैं, थोड़ा लेगो के साथ चीजों का निर्माण करना।

यह उत्तर कुर्तोसिस पर कुछ अतिरिक्त विवरण देता है जो कि अन्य उदाहरणों के निर्माण में शामिल कुछ विचारों को थोड़ा स्पष्ट करना चाहिए।

आप इसी तरह से और अधिक क्षणों का मिलान कर सकते हैं, हालांकि ऐसा करने के लिए अधिक प्रयास की आवश्यकता होती है। हालाँकि, क्योंकि सामान्य का MGF मौजूद होता है, आप सामान्य के सभी पूर्णांक क्षणों को कुछ गैर-सामान्य वितरण के साथ मेल नहीं कर सकते हैं, क्योंकि इसका मतलब होगा कि उनका MGFs मैच, दूसरे वितरण को सामान्य बनाने के साथ ही सामान्य था।

— Glen_b -Reinstate मोनिका
स्रोत

-4

Glen_b द्वारा अच्छे अंक बनाए गए हैं। मैं केवल मिल के लिए अतिरिक्त ग्रिस्ट के रूप में डिराक डेल्टा फ़ंक्शन पर विचार करूंगा। विकिपीडिया के अनुसार, "डीडीएफ एक सामान्यीकृत फ़ंक्शन, या वितरण है, वास्तविक संख्या रेखा पर जो शून्य को छोड़कर हर जगह शून्य है, संपूर्ण वास्तविक रेखा पर एक का अभिन्न अंग है" परिणाम के साथ कि डीडीएफ के सभी उच्च क्षण हैं। शून्य।

पॉल डीराक ने अपनी 1931 की किताब द प्रिंसिपल्स ऑफ क्वांटम मैकेनिक्स में इसे क्वांटम मैकेनिक्स पर लागू किया है, लेकिन इसकी उत्पत्ति फूरियर, लेसबेस, कॉची और अन्य से हुई है। डीडीएफ में वितरण के मॉडलिंग में भौतिक एनालॉग्स भी हैं, उदाहरण के लिए, एक बेसबॉल मारने वाले बल्ले की दरार के लिए।

— माइक हंटर
स्रोत

प्रश्न से इसका क्या लेना-देना है?

— kjetil b halvorsen

यह प्रश्न "पहले चार पल [s] को [a] सामान्य [वितरण] के बराबर बनाने के बारे में स्पष्ट है। जब आप डेल्टा वितरण का उपयोग करते हैं तो आप दूसरे केंद्रीय क्षण के मिलान की भी उम्मीद नहीं करते हैं।

— whuber

शायद आप एक उदाहरण दे सकते हैं जहाँ आप एक मानक सामान्य के क्षणों से मेल खाते हैं (मतलब 0, भिन्नता 1, और )। यदि आप ऐसा करते हैं, तो यह उठाए जा रहे सवालों का जवाब देगा और आपकी बात को स्पष्ट करेगा।

E [(X - μ)^{3}] = E (X^{3}) = 0

$E[(X-\mu)^3]=E(X^3)=0$

E [(X - μ)^{4}] = E (X^{4}) = 3

$E[(X-\mu)^4]=E(X^4)=3$

— Glen_b -राइनेट मोनिका

@ए। डोंडा: एक्सट्रा कुर्टोसिस माध्य 3, अर्थात बारे में 4 वाँ मानकीकृत क्षण है। , इसलिए मुझे नहीं लगता कि आप यह कह सकते हैं कि यह डिराक के डेल्टा फ़ंक्शन के मामले में -3 है - बल्कि यह अपरिभाषित है, क्योंकि विचरण शून्य है।

E (X - E X)^{4} / (E (X - E X)^{2})^{2}

$\mathrm{E}(X - \mathrm{E} X)^4 / (\mathrm{E}(X - \mathrm{E} X)^2)^2$

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

@ माइक हंटर: मुझे लगता है कि शीर्षक और निकाय में प्रश्न समान हैं: एक बार जब आपके पास परिभाषित विषमता और अतिरिक्त कर्टोसिस दोनों के साथ शून्य के बराबर वितरण होता है, तो आप चाहते हैं कि किसी भी गाऊसी के लिए मिलान माध्य और विचरण केवल स्थानांतरण और खींच रहा है। मैं तनाव को परिभाषित करता हूं क्योंकि तिरछापन और कुर्तोसिस दोनों मानकीकृत क्षण हैं, इसलिए डायक डेल्टा फ़ंक्शन उनके पास नहीं है।

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका