IV- प्रोबिट के लिए व्युत्पन्न कार्य की व्युत्पत्ति

जहां इसलिए मैं एक द्विआधारी मॉडल है $y_1^*$ अव्यक्त अप्रत्यक्ष चर और है $y_1 \in \{0,1\}$ मनाया। $y_2$ यह निर्धारित करता है कि $y_1$ और $z_2$ इस प्रकार मेरा साधन है। तो संक्षेप में मॉडल है।

\begin{array}{rcl} y_{1}^{*} & = & δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + u_{1} \\ y_{2} & = & δ_{21} z_{1} + δ_{22} z_{2} + v_{2} = z δ + v_{2} \\ y_{1} & = & 1 [y^{*} > 0] \end{array}

$\begin{eqnarray} y_1^*&=& \delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + u_1 \\ y_2 &=& \delta_{21} z_1 + \delta_{22}z_2 + v_2 = \textbf{z}\delta + v_2 \\ y_1 &=& \text{1}[y^*>0] \end{eqnarray}$ के बाद से त्रुटि शर्तों स्वतंत्र नहीं हैं, लेकिन,

\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} u_{1} \\ v_{2} \end{matrix}) \sim N (0, [\begin{matrix} 1 & η \\ η & τ^{2} \end{matrix}]) . \end{array}

$\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} u_1 \\ v_2 \end{pmatrix} \sim \mathcal{N} \left(\textbf{0} \; , \begin{bmatrix} 1 &\eta \\ \eta &\tau^2 \end{bmatrix} \right). \nonumber \end{eqnarray}$ मैं एक IV-probit मॉडल का उपयोग करता हूं।

मुझे संभावना है कि आप फंक्शन को लाइक कर सकते हैं। मुझे लगता है कि मैं एक त्रुटि शब्दों को दूसरे के रैखिक फ़ंक्शन के रूप में लिख सकता हूं,

\begin{array}{rcl} u_{1} = \frac{η}{τ^{2}} v_{2} + ξ, where ξ \sim N (0, 1 - η^{2}) . \end{array}

$\begin{eqnarray} u_{1} = \frac{\eta}{\tau^2}v_{2} + \xi, \qquad \text{where} \quad \xi \sim \mathcal{N}(0, 1-\eta^2). \end{eqnarray}$
और कहा कि

ξ

$\xi$ आदेश एक सामान्य CDF लागू करने के लिए प्रयोग किया जाना चाहिए।

मैं Stata पुस्तिका (में देखा है http://www.stata.com/manuals13/rivprobit.pdf चतुर्थ PROBIT के लिए) और वे सशर्त घनत्व की परिभाषा उपयोग करने का सुझाव आदेश संभावना समारोह लेकिन मैं वास्तव में इसका इस्तेमाल नहीं है (और हाँ मैं गलत परिणाम के साथ खत्म हो ...) प्राप्त करने के लिए में। मेरा अब तक का प्रयास है,

\begin{array}{rcl} f (y_{1}, y_{2} ∣ z) = f (y_{1} ∣ y_{2}, z) f (y_{2} ∣ z) \end{array}

$\begin{eqnarray} f(y_1, y_2 \mid \textbf{z}) = f(y_1 \mid y_2, \textbf{z}) f(y_2 \mid \textbf{z}) \end{eqnarray}$

\begin{array}{rcl} L (y_{1}) & = & \prod_{i = 1}^{n} Pr (y_{1} = 0 ∣ y_{2}, z)^{1 - y_{1}} Pr (y_{1} = 1 ∣ y_{2}, z)^{y_{1}} \\ = & \prod_{i = 1}^{n} Pr (y_{1}^{*} \leq 0)^{1 - y_{1}} (Pr (y_{1}^{*} > 0) f (y_{2} ∣ z))^{y_{1}} \\ [standardizing] & = & \prod_{i = 1}^{n} Pr (\frac{ξ}{\sqrt{1 - η^{2}}} \leq - \frac{δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2} - z)}{\sqrt{1 - η^{2}}})^{1 - y_{1}} \\ \cdot & (पीआर (\frac{ξ}{\sqrt{1 - η^{2}}} < \frac{δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2} - z)}{\sqrt{1 - η^{2}}}) च (y_{2} | z))^{y_{1}} \\ = & [1 - Φ (w)]^{1 - y_{मैं}} {[Φ (w) च (y_{2} | एक्स)]}^{y_{1}} \end{array}

$\begin{eqnarray} \mathcal{L}(y_1) &=& \prod_{i=1}^n \Pr(y_1=0 \mid y_2, \textbf{z} )^{1-y_1} \Pr(y_1=1 \mid y_2, \textbf{z} )^{y_1} \nonumber \\ &=& \prod_{i=1}^n \Pr(y_1^* \leq 0)^{1-y_1} \Big(\Pr(y_1^* > 0) f(y_2 \mid \textbf{z}) \Big)^{y_1} \nonumber \\ \text{[standardizing]} &=& \prod_{i=1}^n \Pr \Big( \frac{\xi}{\sqrt{1-\eta^2}} \leq - \frac{\delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + \frac{\eta}{\tau^2}(y_2 - \textbf{z})}{\sqrt{1-\eta^2}}\Big)^{1-y_1} \\ &\cdot& \Big(\Pr \Big( \frac{\xi}{\sqrt{1-\eta^2}} < \frac{\delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + \frac{\eta}{\tau^2}(y_2 - \textbf{z})}{\sqrt{1-\eta^2}}\Big) f(y_2 \mid \textbf{z}) \Big)^{y_1} \nonumber \\ &=& [1-\Phi(w)]^{1-y_i} \left[ \Phi(w)f(y_2 \mid \textbf{x}) \right]^{y_1} \end{eqnarray}$

f (y_{2} ∣ z)

$f(y_2 \mid \textbf{z})$

y_{1}

$y_1$

maximum-likelihood econometrics probit

— Cederlöf
स्रोत

याद रखें कि एक सामान्य चर के दिया गया का सशर्त वितरण

(\begin{matrix} एक्स \\ Y \end{matrix}) ~ एन ([\begin{matrix} μ_{एक्स} \\ μ_{Y} \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{एक्स}^{2} & ρ σ_{एक्स} σ_{Y} \\ ρ σ_{एक्स} σ_{Y} & σ_{Y}^{2} \end{matrix}]),

$\begin{pmatrix}X \\ Y\end{pmatrix}\sim\mathcal{N}\left(\begin{bmatrix}\mu_X\\\mu_Y\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}\sigma_X^2 & \rho\sigma_X\sigma_Y\\\rho\sigma_X\sigma_Y & \sigma_Y^2\end{bmatrix}\right),$

Y

$Y$

X

$X$

Y | एक्स ~ एन (μ_{Y} + ρ σ_{Y} \frac{एक्स - μ_{एक्स}}{σ_{एक्स}}, σ_{Y} [1 - ρ^{2}]) ।

$Y\mid X \sim \mathcal{N}\left(\mu_Y+\rho\sigma_Y\frac{X-\mu_X}{\sigma_X},\sigma_Y\left[1-\rho^2\right]\right).$

वर्तमान मामले में, हमारे पास जिसका अर्थ है कि जहां (और यह आपकी पहली गलती थी)

\begin{aligned} {यू}_{1} | v_{2} & ~ एन (0 + \frac{η}{1 \cdot τ} \cdot 1 \frac{v_{2} - 0}{τ}, 1 \cdot [1 - {(\frac{η}{1 \cdot τ})}^{2}]) \\ = एन (\frac{η}{τ^{2}} v_{2}, 1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}), \end{aligned}

$\begin{align} u_1 \mid v_2 &\sim \mathcal{N}\left(0+\frac{\eta}{1\cdot\tau}\cdot1\frac{v_2-0}{\tau}, 1\cdot\left[1-\left(\frac{\eta}{1\cdot\tau}\right)^2\right] \right) \\ &= \mathcal{N}\left(\frac{\eta}{\tau^2}v_2, 1-\frac{\eta^2}{\tau^2} \right), \end{align}$

{यू}_{1} = \frac{η}{τ^{2}} v_{2} + ξ

$u_1=\frac{\eta}{\tau^2}v_2+\xi$

ξ ~ एन (0, 1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}) ।

$\xi\sim\mathcal{N}\left(0,1-\frac{\eta^2}{\tau^2}\right).$

इस प्रकार हम पहले समीकरण को फिर से लिखना

\begin{aligned} y_{1}^{*} & = δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + {यू}_{1} \\ = δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + \frac{η}{τ^{2}} v_{2} + ξ \\ = δ_{1} z_{1} + α_{1} y_{2} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2} - z δ) + ξ । \end{aligned}

$\begin{align} y_1^* &= \delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + u_1 \\ &= \delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + \frac{\eta}{\tau^2}v_2+\xi \\ &= \delta_1 z_1 + \alpha_1 y_2 + \frac{\eta}{\tau^2}(y_2-\textbf{z}\delta)+\xi. \end{align}$

अब, याद रखें कि सशर्त प्रायिकता घनत्व समारोह के दिया है $X=x$ $Y=y$

च_{एक्स} (एक्स | y) = \frac{च_{एक्स Y} (एक्स, y)}{च_{Y} (y)} ।

$f_{X}(x \mid y)=\frac{f_{XY}(x,y)}{f_{Y}(y)}.$

वर्तमान मामले में, हमारे पास जिसे आपके एक्सप्रेशन पुन: व्यवस्थित किया जा सकता है

च_{1} (y_{1} | y_{2}, z) = \frac{च_{12} (y_{1}, y_{2} | z)}{च_{2} (y_{2} | z)},

$f_{1}(y_1 \mid y_2, \mathbf{z})=\frac{f_{12}(y_1,y_2 \mid \mathbf{z})}{f_{2}(y_2 \mid \mathbf{z})},$

च_{12} (y_{1}, y_{2} | z) = च_{1} (y_{1} | y_{2}, z) च_{2} (y_{2} | z) ।

$f_{12}(y_1, y_2 \mid \mathbf{z})= f_{1}(y_1 \mid y_2, \mathbf{z})f_{2}(y_2 \mid \mathbf{z}).$

फिर, हम दो स्वतंत्र झटके के घनत्व के एक कार्य के रूप में संभावना लिख सकते हैं : $v_1,\xi_1$

\begin{aligned} एल (y_{1}, y_{2} | z) & = Π_{मैं}^{n} च_{1} (y_{1 मैं} | y_{2 मैं}, z_{मैं}) च_{2} (y_{2 मैं} | z_{मैं}) \\ = Π_{मैं}^{n} पीआर {(y_{1 मैं} = 1)}^{y_{1 मैं}} पीआर {(y_{1 मैं} = 0)}^{1 - y_{1 मैं}} च_{2} (y_{2 मैं} | z_{मैं}) \\ = Π_{मैं}^{n} पीआर {(y_{1 मैं}^{*} > 0)}^{y_{1 मैं}} पीआर {(y_{1 मैं}^{*} \leq 0)}^{1 - y_{1 मैं}} च_{2} (y_{2 मैं} | z_{मैं}) \\ = Π_{मैं}^{n} पीआर {(δ_{1} z_{1 मैं} + α_{1} y_{2 मैं} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 मैं} - z_{मैं} δ) + ξ_{मैं} > 0)}^{y_{1 मैं}} \\ पीआर {(δ_{1} z_{1 मैं} + α_{1} y_{2 मैं} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 मैं} - z_{मैं} δ) + ξ_{मैं} \leq 0)}^{1 - y_{1 मैं}} \\ च_{2} (y_{2 मैं} | z_{मैं}) \\ = Π_{मैं}^{n} पीआर {(ξ_{मैं} > - [δ_{1} z_{1 मैं} + α_{1} y_{2 मैं} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 मैं} - z_{मैं} δ)])}^{y_{1 मैं}} \\ पीआर {(ξ_{मैं} \leq - [δ_{1} z_{1 मैं} + α_{1} y_{2 मैं} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 मैं} - z_{मैं} δ)])}^{1 - y_{1 मैं}} \\ च_{2} (y_{2 मैं} | z_{मैं}) \\ = Π_{मैं}^{n} पीआर {(\frac{ξ_{मैं} - 0}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} > - \frac{δ_{1} z_{1 मैं} + α_{1} y_{2 मैं} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 मैं} - z_{मैं} δ) + 0}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}})}^{y_{1 मैं}} \\ पीआर {(\frac{ξ_{मैं} - 0}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} \leq - \frac{δ_{1} z_{1 मैं} + α_{1} y_{2 मैं} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 मैं} - z_{मैं} δ) + 0}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}})}^{1 - y_{1 मैं}} \\ च_{2} (y_{2 मैं} | z_{मैं}) \\ = Π_{मैं}^{n} पीआर {(\frac{ξ_{मैं}}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} > - w_{मैं})}^{y_{1 मैं}} पीआर {(\frac{ξ_{मैं}}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} \leq - w_{मैं})}^{1 - y_{1 मैं}} च_{2} (y_{2 मैं} | z_{मैं}) \\ = Π_{मैं}^{n} {[1 - पीआर (\frac{ξ_{मैं}}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} \leq - w_{मैं})]}^{y_{1 मैं}} पीआर {(\frac{ξ_{मैं}}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} \leq - w_{मैं})}^{1 - y_{1 मैं}} च_{2} (y_{2 मैं} | z_{मैं}) \\ = \underset{मैं}{Π} {[1 - Φ (- w_{मैं})]}^{y_{1 मैं}} Φ (- w_{मैं})^{1 - y_{1 मैं}} φ (\frac{y_{2 मैं} - z_{मैं} δ}{τ}) \\ = Π_{मैं}^{n} Φ (w_{मैं})^{y_{1 मैं}} {[1 - Φ (w_{मैं})]}^{1 - y_{1 मैं}} φ (\frac{y_{2 मैं} - z_{मैं} δ}{τ}) \\ = Φ (w)^{y_{1}} {[1 - Φ (w)]}^{1 - y_{1}} φ (\frac{y_{2} - z δ}{τ}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{L}(y_1,y_2\mid \mathbf{z}) &= \prod_i^n f_{1}(y_{1i} \mid y_{2i}, \mathbf{z}_i)f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(y_{1i}=1\right)^{y_{1i}}\Pr\left(y_{1i}=0\right)^{1-y_{1i}}f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(y_{1i}^*>0\right)^{y_{1i}}\Pr\left(y_{1i}^*\leq0\right)^{1-y_{1i}}f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_{i}\delta)+\xi_i>0\right)^{y_{1i}}\\ &\qquad\quad \Pr\left(\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)+\xi_i\leq0\right)^{1-y_{1i}}\\ &\qquad\quad f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(\xi_i>-\left[\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)\right]\right)^{y_{1i}}\\ &\qquad\quad \Pr\left(\xi_i\leq-\left[\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)\right]\right)^{1-y_{1i}}\\ &\qquad\quad f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(\frac{\xi_i-0}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}>-\frac{\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)+0}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\right)^{y_{1i}}\\ &\qquad\quad \Pr\left(\frac{\xi_i-0}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\leq-\frac{\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)+0}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\right)^{1-y_{1i}}\\ &\qquad\quad f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \Pr\left(\frac{\xi_i}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}>-w_i\right)^{y_{1i}} \Pr\left(\frac{\xi_i}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\leq-w_i\right)^{1-y_{1i}} f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i^n \left[1-\Pr\left(\frac{\xi_i}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\leq-w_i\right)\right]^{y_{1i}} \Pr\left(\frac{\xi_i}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}\leq-w_i\right)^{1-y_{1i}} f_{2}(y_{2i} \mid \mathbf{z}_i) \\ &= \prod_i \left[1-\Phi(-w_i)\right]^{y_{1i}} \Phi(-w_i)^{1-y_{1i}} \varphi\left(\frac{y_{2i}-\mathbf{z}_i\delta}{\tau}\right) \\ &= \prod_i^n \Phi(w_i)^{y_{1i}} \left[1-\Phi(w_i)\right]^{1-y_{1i}} \varphi\left(\frac{y_{2i}-\mathbf{z}_i\delta}{\tau}\right) \\ &= \Phi(w)^{y_{1}} \left[1-\Phi(w)\right]^{1-y_{1}} \varphi\left(\frac{y_{2}-\mathbf{z}\delta}{\tau}\right) \\ \end{align}$ जहां और मानक सामान्य वितरण का संचयी घनत्व फ़ंक्शन और प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन हैं।

\begin{aligned} w_{मैं} = \frac{δ_{1} z_{1 मैं} + α_{1} y_{2 मैं} + \frac{η}{τ^{2}} (y_{2 मैं} - z_{मैं} δ)}{\sqrt{1 - \frac{η^{2}}{τ^{2}}}} । \end{aligned}

$\begin{align} w_i = \frac{\delta_1 z_{1i} + \alpha_1 y_{2i} + \frac{\eta}{\tau^2}(y_{2i}-\textbf{z}_i\delta)}{\sqrt{1-\frac{\eta^2}{\tau^2}}}. \end{align}$

Φ (z)

$\Phi(z)$

φ (z)

$\varphi(z)$

— फ्रेड्रिक पी
स्रोत