मान लीजिए कि यादृच्छिक चर हैं। पहली बार अनुक्रम कम होने की उम्मीद कब की जाती है?

10

जैसा कि शीर्षक में सुझाया गया है। मान लीजिए कि पीडीएफ साथ निरंतर आईआईडी यादृच्छिक चर हैं । इस घटना पर विचार करें कि , , इस प्रकार तब होता है जब अनुक्रम पहली बार घटता है। फिर का मूल्य क्या है ? $X_1, X_2, \dotsc, X_n$ $f$ $X_1 \leq X_2 \dotsc \leq X_{N-1} > X_N$ $N \geq 2$ $N$ $E[N]$

मैंने पहले का मूल्यांकन करने की कोशिश की । मेरे पास इसी तरह, मुझे । जैसे-जैसे बड़ा होता जाता है, गणना अधिक जटिल होती जाती है और मैं पैटर्न नहीं खोज पाता। क्या कोई सुझाव दे सकता है कि मुझे कैसे आगे बढ़ना चाहिए? $P[N = i]$

\begin{aligned} पी [एन = 2] & = \int_{- \infty}^{\infty} च (एक्स) एफ (एक्स) घ एक्स \\ = \frac{एफ (एक्स)^{2}}{2} |_{- \infty}^{\infty} \\ = \frac{1}{2} \\ पी [एन = 3] & = \int_{- \infty}^{\infty} च (एक्स) \int_{एक्स}^{\infty} च (y) एफ (y) घ y घ एक्स \\ = \int_{- \infty}^{\infty} च (एक्स) \frac{1 - एफ (एक्स)^{2}}{2} घ एक्स \\ = \frac{एफ (एक्स) - एफ (एक्स)^{3} / 3}{2} |_{- \infty}^{\infty} \\ = \frac{1}{3} \end{aligned}

$\begin{align*} P[N = 2] & = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)F(x)dx \\ & = \frac{F(x)^2}{2}\Large|_{-\infty}^{\infty} \\ & = \frac{1}{2} \\ P[N = 3] & = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\int_x^{\infty}f(y)F(y)dydx \\ & = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\frac{1-F(x)^2}{2}dx \\ & = \frac{F(x)-F(x)^3/3}{2}\Large|_{-\infty}^{\infty} \\ & = \frac{1}{3} \end{align*}$

P [N = 4] = \frac{1}{8}

$P[N = 4] = \frac{1}{8}$

i

$i$

probability self-study iid

— हाओ गोभी
स्रोत

यह एक पाठ्यक्रम या पाठ्यपुस्तक से एक प्रश्न है? यदि हां, तो कृपया [self-study]टैग जोड़ें और इसकी विकी पढ़ें ।

— सिल्वरफिश

1

एक संकेत। रैंकों पर विचार करें, जिन्हें यादृच्छिक रूप से अनुमत होना चाहिए। वहाँरैंक । केवल एक क्रमपरिवर्तन है जिसमें सभी बढ़ रहे हैं। के लिए देखते हैं टिप्पणियों जो अधिकतम है, जो हम तो बाहर ले जाना और अंत में जगह कर सकते हैं एक दृश्य जो अंत से पहले स्थिति तक बढ़ रही है उत्पन्न करने के लिए नहीं कर रहे हैं, तो कम हो जाती है। इसलिए इस की संभावना है ...? यह आपको , और साथ क्रमबद्ध करना चाहिए जो आपको मिला, और आपको इसे सामान्य करने के लिए एक सरल सूत्र प्रदान करना चाहिए। योग काफी आसान है।

n!

$n!$

1, 2, \dots, n

$1, 2, \dots, n$

X_{i}

$X_i$

n \geq 2

$n \geq 2$

n - 1

$n-1$

n - 1

$n-1$

1 / 2

$1/2$

1 / 3

$1/3$

1 / 8

$1/8$

— सिल्वरफिश

(और यदि आप उस श्रृंखला के परिणाम का अनुमान नहीं लगा सकते हैं, जिसका मतलब खोजने के लिए आप करेंगे, तो शायद आपको इसका अनुकरण चलाना चाहिए। आप दशमलव स्थानों के पहले जोड़े को पहचानेंगे।)

— सिल्वरफ़िश

आज मैंने जो परीक्षा दी, उससे यह समस्या है। संकेत के लिए धन्यवाद, अब मुझे पता चला कि इसे कैसे हल किया जाए।

— हाओ गोभी

2

आँकड़े.स्टैकएक्सचेंज . com/questions/51429/… अनिवार्य रूप से एक डुप्लिकेट है। यद्यपि यह केवल एक समान वितरण की चिंता करता है, लेकिन यह दो सवालों के बराबर दिखाने के लिए लगभग तुच्छ है। : (एक तरह से लागू संभावना अभिन्न को बदलने ।)

X_{i}

$X_i$

— whuber

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यदि यादृच्छिक चर और का एक विनिमेय अनुक्रम है तो यदि और ony यदि । इसलिए, समरूपता द्वारा। इसलिए, । $\{X_i\}_{i\geq 1}$

एन = मिनट {n : {एक्स}_{n - 1} > {एक्स}_{n}},

$N=\min\,\{n:X_{n-1}>X_n\},$

N \geq n

$N\geq n$

X_{1} \leq X_{2} \leq \dots \leq X_{n - 1}

$X_1\leq X_2\leq\dots\leq X_{n-1}$

Pr (N \geq n) = Pr (X_{1} \leq X_{2} \leq \dots \leq X_{n - 1}) = \frac{1}{(n - 1)!}, (*)

$\Pr(N\geq n) = \Pr(X_1\leq X_2\leq\dots\leq X_{n-1})=\frac{1}{(n-1)!}, \qquad (*)$

E [N] = \sum_{n = 1}^{\infty} Pr (N \geq n) = e \approx 2.71828 \dots

$\mathrm{E}[N]=\sum_{n=1}^\infty \Pr(N\geq n)=e\approx 2.71828\dots$

पीएस लोगों ने के प्रमाण के बारे में पूछा । चूंकि अनुक्रम विनिमेय है, इसलिए यह होना चाहिए कि, किसी भी क्रमचय , हमारे पास चूँकि हमारे पाससंभव क्रमपरिवर्तन, परिणाम इस प्रकार है। $(*)$ $\pi:\{1,\dots,n-1\}\to\{1,\dots,n-1\}$

Pr (X_{1} \leq X_{2} \leq \dots \leq X_{n - 1}) = Pr (X_{π (1)} \leq X_{π (2)} \leq \dots \leq X_{π (n - 1)}) .

$\Pr(X_1\leq X_2\leq\dots\leq X_{n-1}) = \Pr(X_{\pi(1)}\leq X_{\pi(2)}\leq\dots\leq X_{\pi(n-1)}).$

(n - 1)!

$(n-1)!$

— जेन
स्रोत

2

मुझे यह पसंद है - यह एक अनुस्मारक है जिसे हमें अक्सर का मतलब खोजने के लिए अलग-अलग को खोजने की आवश्यकता नहीं होती है और इसके बजाय सीधे लिए जाना अधिक सहायक हो सकता है ।

Pr (Y = y)

$\Pr(Y=y)$

Pr (Y \geq y)

$\Pr(Y \geq y)$

— सिल्वरफिश

+1 - लेकिन यह वास्तव में उस प्रश्न का उत्तर नहीं देता है, जो किसी दिए गए परिमित संख्या को । फिर भी तकनीक एक स्पष्ट तरीके से परिमित मामले पर लागू होती है।

X_{i}

$X_i$

— whuber

1

थोड़ा भ्रामक, है ना? ओपी एक "अनुक्रम" का उल्लेख करता है। लेकिन तुम सही हो। वैसे, क्या यह आपके लिए सहज है कि परिणाम "सार्वभौमिक" (जैसा है) होना चाहिए, इस अर्थ में कि यह (समान वितरण) के वितरण पर निर्भर नहीं करता है ?

X_{i}

$X_i$

— ज़ेन

1

दरअसल, आजादी की जरूरत नहीं है। विनिमेयता पर्याप्त है। परिणाम मजबूत है। मैं इसे अपने उत्तर में जोड़ूंगा।

— ज़ेन

3

यह सहज है कि यह निरंतर चर के लिए सार्वभौमिक है । यह स्पष्ट करने का एक तरीका यह है कि यह पहचानने की संभावना अपरिवर्तनीय परिवर्तन को लागू करने पर घटना अपरिवर्तित बनी हुई है, जो इसे उस मामले में कम कर देता है जहां चर का एक समान वितरण होता है।

— whuber

8

जैसा कि सिल्वरफ़िश द्वारा सुझाया गया है, मैं नीचे समाधान पोस्ट कर रहा हूं। और

\begin{aligned} P [N = i] & = P [X_{1} \leq X_{2} \dots \leq X_{i - 1} > X_{i}] \\ = P [X_{1} \leq X_{2} \dots \leq X_{i - 1}] - P [X_{1} \leq X_{2} \dots \leq X_{i - 1} \leq X_{i}] \\ = \frac{1}{(i - 1)!} - \frac{1}{i!} \end{aligned}

$\begin{align*} P[N = i] & = P[X_1 \leq X_2 \dotsc \leq X_{i-1} > X_i] \\ & = P[X_1 \leq X_2 \dotsc \leq X_{i-1}] - P[X_1 \leq X_2 \dotsc \leq X_{i-1} \leq X_i] \\ & = \frac{1}{(i-1)!} - \frac{1}{i!} \end{align*}$

\begin{aligned} P [N \geq i] & = 1 - P [N < i] \\ = 1 - (1 - \frac{1}{2!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{(i - 2)!} - \frac{1}{(i - 1)!}) \\ = \frac{1}{(i - 1)!} \end{aligned}

$\begin{align*} P[N \geq i] & = 1 - P[N < i] \\ & = 1 - \left(1 -\frac{1}{2!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots +\frac{1}{(i-2)!} - \frac{1}{(i-1)!}\right)\\ & = \frac{1}{(i-1)!} \\ \end{align*}$

इस प्रकार । $E[N] = \sum_{i = 1}^{\infty}P[N \geq i] = \sum_{i = 1}^{\infty}\frac{1}{(i-1)!} = e$

— हाओ गोभी
स्रोत

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एक वैकल्पिक तर्क: का केवल एक आदेश है जो बढ़ रहा है, बाहर हैके संभावित क्रमपरिवर्तन । हम ऐसे आदेशों में रुचि रखते हैं, जो कि दंडात्मक स्थिति तक बढ़ जाते हैं, और फिर घटते हैं: इसके लिए अधिकतम स्थिति आवश्यकता होती है , और अन्य में से एक को अंतिम स्थिति में होना चाहिए। चूंकि हमारे आदेशित अनुक्रम में पहले शब्दों में से एक को चुनने के लिए तरीके हैं और इसे अंतिम स्थिति में ले जाते हैं, तो संभावना है: $X_i$ $n!$ $X_1, \dots, X_n$ $n-1$ $n-1$ $X_i$ $n-1$ $n-1$

Pr (N = n) = \frac{n - 1}{n!}

$\Pr(N=n) = \frac{n-1}{n!}$

नोट , और अतः यह एकीकरण द्वारा प्राप्त परिणामों के अनुरूप है। $\Pr(N=2) = \frac{2-1}{2!} = \frac{1}{2}$ $\Pr(N=3) = \frac{3-1}{3!} = \frac{1}{3}$ $\Pr(N=4) = \frac{4-1}{4!} = \frac{1}{8}$

का अपेक्षित मान हम उपयोग कर सकते हैं: $N$

इ (एन) = Σ_{n = 2}^{\infty} n पीआर (एन = n) = Σ_{n = 2}^{\infty} \frac{n (n - 1)}{n!} = Σ_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{(n - 2)!} = Σ_{क = 0}^{\infty} \frac{1}{क!} = इ

$\mathbb{E}(N) = \sum_{n=2}^{\infty} n \Pr(N=n) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n(n-1)}{n!} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!}= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e$

(इस योग को और स्पष्ट करने के लिए मैंने उपयोग किया है ; इस राशि से अपरिचित पाठकों के लिए, टेलर श्रृंखला और स्थानापन्न ) $k=n-2$ $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ $x=1$

हम सिमुलेशन द्वारा परिणाम की जांच कर सकते हैं, आर में कुछ कोड है:

firstDecrease <- function(x) {
    counter <- 2
    a <- runif(1)
    b <- runif(1)
    while(a < b){
        counter <- counter + 1
        a <- b
        b <- runif(1)
    }
    return(counter)
}

mean(mapply(firstDecrease, 1:1e7))

यह मुझे संतुष्ट 2.718347करने के 2.71828लिए पर्याप्त वापस आ गया ।

— silverfish
स्रोत

-1

संपादित करें: मेरा उत्तर गलत है। मैं इसे एक उदाहरण के रूप में छोड़ रहा हूं कि इस तरह का आसान सा आसान सवाल कितना गलत है।

मुझे नहीं लगता कि आपका गणित के मामले के लिए सही है । हम इसे एक साधारण सिमुलेशन के माध्यम से देख सकते हैं: $P[N=4]$

n=50000
flag <- rep(NA, n)
order <- 3
for (i in 1:n) {
  x<-rnorm(100)
  flag[i] <- all(x[order] < x[1:(order-1)])==T
}
sum(flag)/n

हमें देता है:

> sum(flag)/n
[1] 0.33326

order4 को शब्द बदलने से हमें मिलता है:

> sum(flag)/n
[1] 0.25208

और 5:

> sum(flag)/n
[1] 0.2023

इसलिए यदि हम अपने सिमुलेशन परिणामों पर भरोसा करते हैं, तो ऐसा लगता है कि पैटर्न है कि । लेकिन यह भी समझ में आता है, क्योंकि आप जो पूछ रहे हैं वह वास्तव में क्या संभावना है कि आपके सभी टिप्पणियों के सबसेट में कोई भी अवलोकन न्यूनतम अवलोकन है (यदि हम iid मान रहे हैं तो हम विनिमेय मान रहे हैं और इसलिए आदेश मध्यस्थता है) )। उनमें से एक न्यूनतम होना है, और इसलिए वास्तव में सवाल यह है कि क्या संभावना है कि यादृच्छिक पर चयनित कोई भी अवलोकन न्यूनतम है। यह सिर्फ एक सरल द्विपद प्रक्रिया है। $P[N = X] = \frac{1}{x}$

— डाल्टन हांस
स्रोत

1

आपने प्रश्न का थोड़ा गलत अर्थ , यदि मेरा पढ़ना सही है - हमें अंतिम को कुछ भी होने की आवश्यकता है लेकिन अधिकतम (जरूरी नहीं कि न्यूनतम) जबकि का पहला बढ़ते क्रम में होना चाहिए, इसलिए स्थिति से एक अधिकतम है।

X_{n}

$X_n$

n - 1

$n-1$

X_{i}

$X_i$

n - 1

$n-1$

— सिल्वरफिश

मुझे लगता है कि थोड़ी गलत व्याख्या से कुछ अधिक है। आप सही हैं, कि मैं गलत हूं।

— डाल्टन हेंस