माध्य बनाम माध्य अंतर में अंतर

दो स्वतंत्र नमूनों का अध्ययन करते समय, हमें बताया जाता है कि हम "दो साधनों के अंतर" को देख रहे हैं। इसका मतलब है कि हम जनसंख्या 1 से मतलब लेते हैं ( $\bar y_1$ ) और जनसंख्या 2 से इसका मतलब घटाएँ ( $\bar y_2$ )। तो, हमारे "दो साधनों का अंतर" है ( $\bar y_1$ - $\bar y_2$ )।

युग्मित नमूनों का अध्ययन करते समय, हमें बताया जाता है कि हम "माध्य अंतर" देख रहे हैं, $\bar d$ । यह प्रत्येक जोड़ी के बीच के अंतर को ले कर गणना की जाती है, और फिर उन सभी अंतरों का मतलब निकालती है।

मेरा प्रश्न है: क्या हम एक ही हैं ( $\bar y_1$ - $\bar y_2$ ) इसके बनाम $\bar d$ यदि हमने उन्हें डेटा के दो स्तंभों से गणना की, और पहली बार इसे दो स्वतंत्र नमूने माना, और दूसरी बार इसे युग्मित डेटा माना? मैंने डेटा के दो स्तंभों के साथ खेला है, और ऐसा लगता है कि मान समान हैं! उस मामले में, क्या यह कहा जा सकता है कि अलग-अलग नामों का उपयोग सिर्फ गैर-मात्रात्मक कारणों के लिए किया जाता है?

paired-comparisons paired-data mean

— user84756
स्रोत

इसके बारे में इस तरह से सोचें: आप कैसे गणना करेंगे

\bar{d}

$\bar d$ अप्रकाशित डेटा के साथ?

— छायाकार

@ssdecontrol विशेष रूप से अगर नमूना आकार अलग हैं।

— एलेक्सिस

जवाबों:

(मैं मान रहा हूँ कि आप "नमूना" और आपके पहले पैराग्राफ में "जनसंख्या" नहीं हैं।)

तुल्यता गणितीय रूप से दिखाना आसान है। समान आकार के दो नमूनों के साथ शुरू करें, $\{x_1,\dots,x_n\}$ तथा $\{y_1,\dots,y_n\}$ । फिर परिभाषित करें

\begin{aligned} \bar{x} & = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \\ \bar{y} & = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i} \\ \bar{d} & = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} - y_{i} \end{aligned}

$\begin{align} \bar x &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \\ \bar y &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \\ \bar d &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i - y_i \end{align}$

फिर आपके पास है:

\begin{aligned} \bar{x} - \bar{y} & = (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}) - (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i}) \\ = \frac{1}{n} (\sum_{i = 1}^{n} x_{i} - \sum_{i = 1}^{n} y_{i}) \\ = \frac{1}{n} ((x_{1} + \dots + x_{n}) - (y_{1} + \dots + y_{n})) \\ = \frac{1}{n} (x_{1} + \dots + x_{n} - y_{1} - \dots - y_{n}) \\ = \frac{1}{n} (x_{1} - y_{1} + \dots + x_{n} - y_{n}) \\ = \frac{1}{n} ((x_{1} - y_{1}) + \dots + (x_{n} - y_{n})) \\ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} - y_{i} \\ = \bar{d} . \end{aligned}

$\begin{align} \bar x - \bar y &= \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right) - \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^n y_i \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( \left( x_1 + \dots + x_n \right) - \left( y_1 + \dots + y_n \right) \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( x_1 + \dots + x_n - y_1 - \dots - y_n \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( x_1 - y_1 + \dots + x_n - y_n \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( \left( x_1 - y_1 \right) + \dots + \left( x_n - y_n \right) \right) \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n x_i - y_i \\ &= \bar d. \end{align}$

— shadowtalker
स्रोत

लेकिन "साधन के अंतर" और "औसत अंतर" के लिए गणना किए गए दो आत्मविश्वास अंतराल अलग-अलग होंगे, है ना? इसे देखकर पता लगाया जा सकता है

A = [1, 2, 3, 4, 5, . . .]

$A = [1, 2, 3, 4, 5, ...]$ तथा

B = [. . ., 5, 4, 3, 2, 1]

$B = [..., 5, 4, 3, 2, 1]$ । एक जोड़ा "माध्य अंतर" के लिए अलग होगा

A - A

$A - A$ (जो सभी शून्य है) बनाम

A - B

$A - B$ (जो सभी शून्य नहीं है); तत्वों के क्रम से साधनों का अंतर अप्रभावित रहता है।

— BERS

मेरी पिछली पोस्ट को अब संपादित नहीं कर सकता। 3 वाक्य शुरू करना चाहिए "बनती 'मतलब मतभेद' की एक अनुक्रम ..."

— BERS

@ क्या करता है

A - A

$A-A$ इसके साथ क्या करना है?

— छायाकार

मान लीजिये

C = A

$C=A$ । फिर

A - C

$A-C$ तथा

A - B

$A-B$ दो अलग-अलग क्रम हैं। मीन युग्मित अंतर के लिए आत्मविश्वास अंतराल निश्चित रूप से दोनों मामलों में अलग होगा। लेकिन साधनों का अंतर, और इसलिए यह आत्मविश्वास अंतराल है, दोनों के लिए इंडेंटिकल होगा

A - C

$A-C$ तथा

A - B

$A-B$ । या मैं गलत हूँ?

— BERS

@ मुझे लगता है कि आप भ्रमित हैं, लेकिन मैं उलझन में हूं कि आप किस उलझन में हैं।

— छायाकार

माध्य अंतर का वितरण तंग होना चाहिए फिर साधनों के अंतर का वितरण। इसे एक आसान उदाहरण के साथ देखें: नमूना 1 में मतलब: 1 10 100 1000 मतलब नमूना 2 में: 2 11 102 1000 मतलब का अंतर 1 1 2 0 (नमूने खुद के विपरीत) छोटा एसटीडी है।

— Vlad
स्रोत