एक यादृच्छिक चर को "जाली" के रूप में परिभाषित करने के पीछे सहज अर्थ क्या है?

Question

संभाव्यता सिद्धांत में, एक गैर नकारात्मक यादृच्छिक चर $X$ एक कहा जाता है जाली यदि वहां मौजूद $d \geq 0$ ऐसी है कि $\sum_{n=0}^{\infty}P(X=nd) = 1$ ।

क्या इस परिभाषा के लिए ज्यामितीय व्याख्या है कि इस परिभाषा को जाली क्यों कहा जाता है?

Answer 1

इसका मतलब है कि असतत है, और इसके वितरण के लिए कुछ प्रकार की नियमित रिक्ति है; अर्थात्, संभाव्यता द्रव्यमान d , 2 d , 3 d , ... के एक परिमित / गणनीय सेट पर केंद्रित है ।$X$${d, 2d, 3d, \dots}$

ध्यान दें कि सभी असतत वितरण जाली नहीं हैं। उदाहरण के लिए यदि मूल्यों पर ले जा सकते हैं { 1 , ई , π , 5 } , यह एक जाली के बाद से कोई है घ ऐसी है कि सभी मूल्यों के गुणकों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है घ ।$X$$\{1, e, \pi, 5\}$$d$$d$

Answer 2

यह शब्दावली ज्यामितीय समरूपता का अध्ययन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले समूह सिद्धांत की अवधारणाओं के साथ यादृच्छिक चर को जोड़ती है । इसलिए आप अधिक सामान्य कनेक्शन देखने का आनंद ले सकते हैं, जो जाली यादृच्छिक चर के अर्थ और संभावित अनुप्रयोगों को रोशन करेगा।

पृष्ठभूमि

गणित में, एक "जाली" एक टोपोलॉजिकल समूह G का एक असतत उपसमूह है ( जिसे आमतौर पर एक परिमित कोवोल्यूम माना जाता है )।$\mathcal{L}$$G$

• "असतत" का अर्थ है कि प्रत्येक तत्व के आसपास एक खुला सेट है हे जी ⊂ एल केवल युक्त छ ही: हे जी ∪ एल = { छ } । जी में अंकों के "पैटर्न" या "नियमित" व्यवस्था होने के रूप में एल के बारे में सोचना उचित होगा ।$g\in\mathcal{L}$$\mathcal{O}_g\subset\mathcal{L}$$g$$\mathcal{O}_g\cup\mathcal{L}=\{g\}$$\mathcal{L}$$G$

• समूह , L के द्वारा " G के आसपास L में घूमने वाले बिंदुओं" पर कार्य करता है , हर एक से एक कक्षा बनाता है । इस क्रिया के एक मूलभूत डोमेन में प्रत्येक कक्षा में एक बिंदु होता है। जी को एक उपाय से सुसज्जित किया जा सकता है - हार माप - का उपयोग जी के बोरेल मापने योग्य सबसेट के आकार, या वॉल्यूम को मापने के लिए किया जाता है । एक औसत दर्जे का मौलिक डोमेन मिल सकता है। इसका आयतन L का सहसंयोजक है । जब यह परिमित हो जाता है, तो हम इस मूलभूत डोमेन द्वारा जी के बारे में सोच सकते हैं और एल के तत्वों को टाइलों को चारों ओर घुमाते हुए।$G$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$G$$G$$G$$\mathcal{L}$$G$$\mathcal{L}$

इन समुद्री घोड़ों की किसी भी जोड़ी - जहां एक दाईं ओर ऊपर है और दूसरा उल्टा - यूक्लिडियन विमान में नेत्रहीन स्पष्ट जाली के लिए एक मौलिक डोमेन हो सकता है। एमसी एस्चर, सी हॉर्स (नंबर 11) ।

एक "जाली" यादृच्छिक चर ( आर एन , + ) में एक जाली पर समर्थित है । $X$$(\mathbb{R}^n, {+})$ इसका मतलब यह है कि इसकी सभी संभावना जाली के बंद होने में निहित है। क्योंकि एक जाली अलग होता है, इसे बंद कर दिया गया है, इसलिए के मूल्यों जाली पर लगभग निश्चित रूप से कर रहे हैं: पीआर ( एक्स ∈ एल ) = 1 ।$X$$\Pr(X\in\mathcal{L})=1$

आवेदन

प्रश्न द्वारा निहित समूह अपने सामान्य (यूक्लिडियन) टोपोलॉजी के साथ वास्तविक संख्याओं का योजक समूह है। उपसमूह के रूप में, एक जाली एल में 0 शामिल होना चाहिए । वह अकेले पर्याप्त नहीं होगा, क्योंकि भाग 1 (इस 0D मामले में) की मात्रा R / { 0 } में अनंत मात्रा ("वॉल्यूम" = "लंबाई" है)। इस प्रकार वहाँ कम से कम एक अशून्य तत्व है जी ∈ एल । इस तत्व की सभी शक्तियाँ उपसमूह में भी होनी चाहिए। के बाद से ऑपरेशन है इसके अलावा , n वें की शक्ति छ है n $(\mathbb{R}, {+})$$\mathcal{L}$$0$$\mathbb{R}/\{0\}$$g\in\mathcal{L}$$n^\text{th}$$g$$ng$। इसलिए में जी के सभी अभिन्न गुणकों (नकारात्मक वाले सहित) शामिल हैं।$\mathcal{L}$$g$

यदि दो तत्व हैं जो एक दूसरे की शक्तियों नहीं कर रहे हैं, यह आसान दिखाने के लिए (संख्या सिद्धांत का एक छोटा सा प्रयोग करके) कि (1) सभी संयोजनों है n छ + मीटर ज , के लिए n , मी ∈ जेड , ऑर्डर किए गए जोड़े ( एम , एन ) और (2) के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं। ये संयोजन आर में घने हैं , जिसका अर्थ है कि एल असतत नहीं है। इससे यह निष्कर्ष निकालना सीधा है कि L में सभी तत्व एक ही संख्या की शक्तियां हैं$h,g\in\mathcal{L}$$ng+mh$$n,m\in\mathbb{Z}$$(m,n)$$\mathbb{R}$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$ । $g$ यह L काजनरेटरहै।$\mathcal{L}$

(एक अनुरूप तर्क से पता चलता है कि में lattices के पास एन जनरेटर होना चाहिए । Escher वॉटरकलर के लिए जनरेटर, कह सकते हैं, दो इकाइयों का अनुवाद और एक इकाई नीचे और एक इकाई दाईं ओर, लगभग एक अनुवाद। )$(\mathbb{R}^n, {+})$$n$

नतीजतन, किसी भी वास्तविक मूल्य जाली यादृच्छिक चर के लिए इसी पर ( आर , + ) होना चाहिए एक जनरेटर जी ≠ 0 , जिस कारण से$X$$(\mathbb{R}, {+})$$g\ne 0$

$$\sum_{n=0}^\infty \Pr(X=ng) \le \sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(X=ng) = \Pr(X\in\mathcal{L}) = 1.$$

इसलिए प्रश्न में परिभाषा को एक गैर-नकारात्मक जाली चर के रूप में समझा जा सकता है । हम यह भी निर्धारित करना चाहते हैं कि , अन्यथा X को उपसमूह { 0 } पर समर्थित किया जाता है , जिसमें अनंत कोवोल्यूम होते हैं, जो जाली नहीं है।$\Pr(X=0) \lt 1$$X$$\{0\}$

सामान्यकरण

सकारात्मक वास्तविक संख्या एक गुणक समूह बनाती है। इस समूह पर एक जाली L = { g $(\mathbb{R}^{+}, {\times})$ कुछ के लिए जी > 0 । (इस जाली का कोवोल्यूम है | लॉग ( g ) | ) तदनुसार,जिसके लिएकोई भी यादृच्छिक चर$\mathcal{L} = \{g^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$$g \gt 0$$|\log(g)|$$Y$

$$\sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(Y=g^n) = 1$$

इस समूह पर एक जाली चर माना जा सकता है। जाहिर है, एक जाली चर ( R , + ) पर होगा ।$\log(Y)$$(\mathbb{R}, {+})$