क्या इस वितरण का कोई नाम है? या एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया क्या है जो इसे उत्पन्न कर सकती है?

बड़े पैमाने पर समारोह के साथ एक असतत वितरण

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)}, x = 1, 2, \dots

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)},\quad x = 1,2,\ldots$

इस पत्र के पृष्ठ ९ पर आता है ।

के लिए यह एक है यूल-साइमन वितरण के साथ , लेकिन मैं किसी भी अन्य उदाहरण नहीं मिली है। $k=1$ $\rho=1$

इसका कोई नाम है? क्या यह किसी अन्य संदर्भ में दिखाई देता है? क्या एक साधारण स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जो इसे उत्पन्न कर सकती है?

distributions

— साइमन बायरन
स्रोत

यह एक असतत शक्ति कानून है।

(यह एक वर्णन है - जिसका अर्थ नीचे दिया जाएगा - एक तकनीकी शब्द के बजाय सटीक। वाक्यांश "असतत बिजली कानून" का थोड़ा अलग तकनीकी अर्थ है, जैसा कि इस उत्तर में टिप्पणियों में @ कार्डिनल द्वारा इंगित किया गया है।)

इसे देखने के लिए, देखें कि आंशिक अंश विघटन लिखा जा सकता है

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)} = \frac{1}{1 + (x - 1) / k} - \frac{1}{1 + x / k} .

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)} = \frac{1}{1 + (x-1)/k} - \frac{1}{1 + x/k}.$

CDF टेलीस्कोप एक बंद रूप में:

\begin{aligned} CDF (i) = \sum_{x = 1}^{i} p (x; k) \\ = & [\frac{1}{1 + 0 / k} - \frac{1}{1 + 1 / k}] + [\frac{1}{1 + 1 / k} - \frac{1}{1 + 2 / k}] + \dots + [\frac{1}{1 + (i - 1) / k} - \frac{1}{1 + i / k}] \\ = & \frac{1}{1 + 0 / k} + [- \frac{1}{1 + 1 / k} + \frac{1}{1 + 1 / k}] + [- \frac{1}{1 + 2 / k} + \dots + \frac{1}{1 + (i - 1) / k}] - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & 1 + 0 + \dots + 0 - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & \frac{i}{i + k} . \end{aligned}

$\eqalign{ &\text{CDF}(i) = \sum_{x=1}^i p(x;k) \\ = &[\frac{1}{1 + 0/k} - \frac{1}{1 + 1/k}] + [\frac{1}{1 + 1/k} - \frac{1}{1 + 2/k}] + \cdots + [\frac{1}{1 + (i-1)/k} - \frac{1}{1 + i/k}] \\ = &\frac{1}{1 + 0/k} + [- \frac{1}{1 + 1/k} + \frac{1}{1 + 1/k}] + [ - \frac{1}{1 + 2/k} + \cdots + \frac{1}{1 + (i-1)/k}] - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &1 + 0 + \cdots + 0 - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &\frac{i}{i+k}. }$

(संयोग से, क्योंकि यह आसानी से उलटा है, यह तुरंत इस वितरण से यादृच्छिक चर उत्पन्न करने का एक कुशल तरीका प्रदान करता है: बस जहां समान रूप से वितरित किया जाता है ।) $\lceil \frac{k u}{1 - u} \rceil$ $u$ $(0,1)$

के संबंध में इस अभिव्यक्ति फर्क कैसे पता चलता है CDF एक अभिन्न रूप में लिखा जा सकता है, $i$

CDF (i) = \frac{i}{i + k} = \int_{0}^{i} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} = \sum_{x = 1}^{i} \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}},

$\text{CDF}(i) = \frac{i}{i+k} = \int_0^i \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2} = \sum_{x=1}^i \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2},$

जहां से

p (x; k) = \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} .

$p(x;k) = \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2}.$

इसे लिखने का यह रूप दर्शाती पैमाने पैरामीटर के रूप में (निरंतर) वितरण के परिवार के लिए घनत्व द्वारा निर्धारित $k$

f (ξ) d ξ = (1 + ξ)^{- 2} d ξ

$f(\xi)d\xi = (1 + \xi)^{-2}\, d\xi$

और शो कैसे , discretized का संस्करण है (द्वारा बढ़ाया ) से अंतराल पर निरंतर संभावना को एकीकृत करके प्राप्त के लिए । यह स्पष्ट रूप से प्रतिपादक साथ एक शक्ति कानून है । यह अवलोकन आपको शक्ति कानूनों पर व्यापक साहित्य में प्रवेश देता है और वे विज्ञान, इंजीनियरिंग और सांख्यिकी में उत्पन्न होते हैं, जो आपके अंतिम दो प्रश्नों के कई उत्तर सुझा सकते हैं। $p(x;k)$ $f$ $k$ $x-1$ $x$ $-2$

— व्हीबर
स्रोत

(+1) संभावना बड़े पैमाने पर समारोह से, यह स्पष्ट है कि के रूप में , जो समाप्त करने के लिए है कि यह एक शक्ति जी वितरण के लिए पर्याप्त हो रहा है। वास्तव में, को ।

p (x; k) \sim k x^{- 2}

$p(x; k) \sim k x^{-2}$

x \to \infty

$x \to \infty$

p (x; k) x^{2} / k ↑ 1

$p(x;k) x^2 / k \uparrow 1$

x \to \infty

$x \to \infty$

— कार्डिनल

आप रहे हों तो सही @cardinal, लेकिन वहाँ इस तर्क के लिए एक सीमा है: यह केवल शो है कि है asymptotically एक बिजली कानून। गणनाओं से पता चलता है कि यह वास्तव में एक शक्ति कानून का विवेकाधीन संस्करण है।

p

$p$

— whuber

मैं उस अंतर के बारे में निश्चित नहीं हूं जो आप खींचने की कोशिश कर रहे हैं। दुर्भाग्य से, मुझे इसके बारे में ध्यान से सोचने का मौका नहीं मिला है, लेकिन ऐसा प्रतीत होता है कि आप एक असतत बिजली कानून वितरण को परिभाषित कर रहे हैं जो कि एक निरंतर बिजली कानून वितरण का एक विवेकाधीन संस्करण है। क्या मैं आपकी टिप्पणी की सही व्याख्या कर रहा हूँ? किसी भी दर पर, जब मैं साहित्य में शक्ति कानूनों को असतत करने के लिए संदर्भ देखता हूं, तो सामान्य परिभाषा कमजोर (यानी, स्पर्शोन्मुख) लगती है, जिसका मैंने उपयोग किया है। (cont।)

— कार्डिनल

(कंट।) दूसरी ओर, एक ज़िप वितरण एक असतत बिजली कानून के रूप में संभव के रूप में शुद्ध प्रतीत होगा, फिर भी मुझे विश्वास नहीं है कि यह निरंतर बिजली कानून के विवेक के रूप में उत्पन्न हो सकता है। क्या मैंने आपके इरादे को गलत समझा है? (वैसे, ऊपर आपका विकास काफी अच्छा है। सीएफडी के लिए टेलीस्कोपिंग योग की मान्यता बहुत अच्छी है, जैसा कि एक आसान नमूना योजना की मान्यता है।)

— कार्डिनल

ठीक है, थोड़ी और जांच के बाद, मुझे कुछ और जानकारी मिली।

यह एक बीटा के साथ ज्यामितीय वितरण के निरंतर मिश्रण का एक विशेष मामला है, इसलिए इसे बीटा-ज्यामितीय वितरण कहा जा सकता है । विशेष रूप से, यदि: और: तो के सीमांत वितरण में यह वितरण है। जैसे, यह बीटा-नकारात्मक द्विपद वितरण का एक विशेष मामला है ।

P \sim B e t a (1, k)

$P \sim \mathrm{Beta}(1,k)$

X | P \sim G e o m e t r i c (P)

$X|P \sim \mathrm{Geometric}(P)$

Y = X + 1

$Y = X+1$

इसमें कुछ अन्य रोचक गुण हैं:

इसका एक अनंत मतलब है
यह अपने स्वयं के पूंछ वितरण का वर्णन करता है: यदि का पैरामीटर साथ यह वितरण है , तो में पैरामीटर । $X$ $k$ $X-t | X>t$ $t+k$

— साइमन बायरन
स्रोत