एक ओएलएस एकाधिक प्रतिगमन के लिए भविष्यवाणी अंतराल की गणना कैसे करें?

एकाधिक प्रतिगमन के लिए पूर्वानुमान अंतराल की गणना करने के लिए बीजीय संकेतन क्या है?

यह मूर्खतापूर्ण लगता है, लेकिन मुझे इसका स्पष्ट बीजगणितीय अंकन खोजने में परेशानी हो रही है।

multiple-regression least-squares prediction-interval

अवलोकनों और regressors के साथ एक प्रतिगमन मॉडल लें : $N$ $k$

y = X β + u

$\mathbf{y=X\beta+u} \newcommand{\Var}{\rm Var}$

एक वेक्टर को देखते हुए , उस अवलोकन के लिए अनुमानित मूल्य इस भविष्यवाणी के विचरण का एक सुसंगत आकलनकर्ता है जहां एक विशेष के लिए पूर्वानुमान त्रुटि है और बीच शून्य सह- का अर्थ है कि और उस का एक सुसंगत अनुमानक है $\mathbf{x_0}$

E [y | x_{0}] = {\hat{y}}_{0} = x_{0} \hat{β} .

$E[y \vert \mathbf{x_0}]=\hat y_0 = \mathbf{x_0} \hat \beta.$

{\hat{V}}_{p} = s^{2} \cdot x_{0} \cdot (X^{'} X)^{- 1} x_{0}^{'},

$\hat V_p=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0},$

s^{2} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} {\hat{u}}_{i}^{2}}{N - k} .

$s^2=\frac{\Sigma_{i=1}^{N} \hat u_i^2}{N-k}.$

y_{0}

$y_0$

\hat{e} = y_{0} - {\hat{y}}_{0} = x_{0} β + u_{0} - {\hat{y}}_{0} .

$\hat e=y_0-\hat y_0=\mathbf{x_0}\beta+u_0-\hat y_0.$

u_{0}

$u_0$

\hat{β}

$\hat \beta$

V a r [\hat{e}] = V a r [{\hat{y}}_{0}] + V a r [u_{0}],

$\Var[\hat e]=\Var[\hat y_0]+\Var[u_0],$

{\hat{V}}_{f} = s^{2} \cdot x_{0} \cdot (X^{'} X)^{- 1} x_{0}^{'} + s^{2} .

$\hat V_f=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0} + s^2.$

$1-\alpha$ $\rm confidence$ अंतराल हो जाएगा:

y_{0} \pm t_{1 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{p}} .

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{p}}.$

1 - α

$1-\alpha$

p r e d i c t i o n

$\rm prediction$ अंतराल व्यापक हो जाएगा:

y_{0} \pm t_{1 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{f}} .

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{f}}.$

— दिमित्री वी। मास्टरोव
स्रोत

उपरोक्त उत्तर बहुत अच्छी तरह से किया गया है, लेकिन मुझे लगता है कि यह स्रोत प्रश्न को कुछ संदर्भ प्रदान करने में मदद करता है।

— जून स्कीटर

@Dimitriy मेरा मानना है कि अपने दूसरे eqn एक गाजर / टोपी, '^' होना चाहिए, पर ।

β

$\beta$

— डॉन स्लोविक

क्या अवशिष्ट त्रुटि अवशिष्ट नहीं है: ?

\hat{e} = \hat{u}

$\hat{e}=\hat{u}$

— डॉन स्लोविक