भिन्नात्मक-भिन्न-भिन्न सूत्र को समझना

Question

मेरे पास टाइम सीरीज़ है $y_t$और मैं इसे एआरएफआईएमए (उर्फ फारिमा) प्रक्रिया के रूप में मॉडल करना चाहूंगा। अगर$y_t$ (भिन्नात्मक) क्रम से एकीकृत है $d$, मैं इसे स्थिर बनाने के लिए भिन्न-भिन्न करना चाहूंगा।

प्रश्न : भिन्नात्मक-विभेदन को परिभाषित करने वाला निम्नलिखित सूत्र सही है?

$\Delta^d y_t := y_t - d y_{t-1} + \frac{d(d-1)}{2!} y_{t-2} - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!} y_{t-3} + ... +(-1)^{k+1} \frac{d(d-1) \cdot ... \cdot (d-k)}{k!} y_{t-k} + ...$

(यहाँ $\Delta^d$ आदेश के भिन्नात्मक-भिन्नता को दर्शाता है $d$।)

मैं ARFIMA , अध्याय ARFIMA पर इस विकिपीडिया लेख के सूत्र को आधार बनाता हूं ($0,d,0$), लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि अगर मुझे सही ढंग से मिल गया।

Answer 1

हाँ यह सही प्रतीत होता है। भिन्नात्मक फिल्टर द्विपद विस्तार द्वारा परिभाषित किया गया है:

$\Delta^{d}=\left(1-L\right)^{d}=1-dL+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}+\cdots$

ध्यान दें कि $L$ अंतराल ऑपरेटर है और जब यह फ़िल्टर सरल नहीं किया जा सकता है $0<d<1$। अब इस प्रक्रिया पर विचार करें:

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=\varepsilon_{t}$

विस्तार, हमें मिलता है:

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=X_{t}-dLX_{t}+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}X_{t}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}X_{t}+\cdots=\varepsilon_{t}$

जो इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$X_{t}=dX_{t-1}-\frac{d\left(d-1\right)}{2!}X_{t-2}+\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}X_{t-3}-\cdots+\varepsilon_{t}$

स्टीफन जे। टेलर (2007 के संस्करण में पृष्ठ 243) या समय श्रृंखला: एसेट प्राइस डायनेमिक्स, अस्थिरता और भविष्यवाणी देखें । आगे के संदर्भों के लिए ब्रॉकवेल और डेविस द्वारा सिद्धांत और तरीके ।

Comments

मेरी परेशानी फ़िल्टर की सामान्य परिभाषा (जैसा आपके पास है) से किसी विशेष पर फ़िल्टर को लागू करने में हो रही थी $y_t$। मुझे पता है कि यह स्पष्ट होना चाहिए, लेकिन क्या आप शायद यह दिखाने के लिए एक कदम शामिल कर सकते हैं कि अपने सूत्र से मेरा कैसे प्राप्त करें?

— रिचर्ड हार्डी

मेरा संपादित उत्तर देखें।

— प्लेनकेन