एक प्रतिधारण साबित या प्रदान करें:

यदि $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ , तो $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$

मेरा प्रयास :

गलत: मान लीजिए $X$ केवल नकारात्मक मूल्यों पर ले जा सकते हैं, और लगता है कि $X_n \equiv X$ $\forall$ $n$

तो $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ , यहां तक कि के लिए हालांकि $n$ , $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ सख्ती से नकारात्मक नहीं है। इसके बजाय, यह नकारात्मक को सकारात्मक और नकारात्मक बनाता है। इसलिए, $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ नहीं करने के लिए लगभग निश्चित रूप से अभिसरण करता है $X$ ।

क्या यह उचित जवाब है ?? यदि नहीं, तो मैं अपने उत्तर को कैसे सुधार सकता हूँ?

self-study convergence geometric-mean

— Lewkrr
स्रोत

सार्थक होने के लिए

को सख्ती से सकारात्मक होना चाहिए।

X_{i}

$X_i$

— user765195

बेशक, आप की जरूरत है

के रूप में परिभाषित करने के लिए

ठीक से। पहले साबित करें कि

वास्तविक विश्लेषण में

(Google "सेसारो माध्य" के रूप में परिवर्तित होता है ) और तर्क को अनुकूलित करें। फिर,

विचार करें ।

X_{i} > 0

$X_i>0$

G_{n} = (\prod_{i = 1}^{n} X_{i})^{1 / n}

$G_n=(\prod_{i=1}^n X_i)^{1/n}$

A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n} / n

$A_n=\sum_{i=1}^n X_n/n$

X

$X$

L_{n} = \log G_{n}

$L_n=\log G_n$

— ज़ेन

x_{n} \to L

$x_n\to L$

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n \to L

$\sum_{i=1}^n x_i/n\to L$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

n_{0} \geq 1

$n_0\geq 1$

| x_{n} - L | < ϵ / 2

$|x_n-L|<\epsilon/2$

n \geq n_{0}

$n\geq n_0$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | \leq \sum_{i = 1}^{n_{0}} | x_{i} - L | / n + \sum_{i = n_{0} + 1}^{n} | x_{i} - L | / n < n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / n + ϵ / 2

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|\leq \sum_{i=1}^{n_0}|x_i-L|/n+\sum_{i=n_0+1}^{n}|x_i-L|/n<n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/n + \epsilon/2$

n_{1} > 2 n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / ϵ

$n_1>2\,n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/\epsilon$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | < ϵ

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|<\epsilon$

n \geq n_{1}

$n\geq n_1$

अंतर्ज्ञान यह है कि आप अधिक से अधिक साथ औसत की गणना कर रहे हैं जो करीब और करीब हैं , और वे परिणाम को हावी कर रहे हैं।

x_{i}

$x_i$

L

$L$

— ज़ेन

जवाबों:

रुचि के कुछ साबित करने से पहले, ध्यान दें कि लगभग निश्चित रूप से सभी के लिए दोनों कथनों को समझने के लिए एक आवश्यक शर्त नहीं है, जो नियतात्मक अनुक्रम दिखाता है। $X_i >0$ $i$ $(-1, -1, 1, 1, 1, \dots)$

इसके अलावा, कथन वास्तव में सामान्य रूप से गलत है, क्योंकि निम्नलिखित निर्धारक अनुक्रम साबित होता है: । $(0, 1, 1, \dots)$

अब, मान लीजिए कि निश्चित रूप से सभी , तो कथन निम्नलिखित तर्क से सत्य है: $X_i >0$ $i$

परिभाषित करेंकी contuity तक , लगभग निश्चित रूप से। इस प्रकार, लगभग निश्चित रूप से से के लिए एक परिणाम के Cesàro का मतलब भी ऊपर टिप्पणी में साबित। इस प्रकार, की निरंतरता से , लगभग निश्चित रूप से।

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \log (X_{i}) .

$S_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\log(X_i).$

x \mapsto \log (x)

$x\mapsto \log(x)$

\log (X_{n}) \to \log (X)

$\log(X_n)\to\log(X)$

S_{n} \to \log (X)

$S_n \to\log(X)$

x \mapsto \exp (x)

$x\mapsto \exp(x)$

{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n} \to X,

$\left(\prod_{i=1}^nX_i\right)^{1/n}\to X,$

— ekvall
स्रोत

यह दावा झूठा है। मैं एक पलटवार प्रदान करके सबूत देता हूं।

मान लीजिए कि यादृच्छिक अनुक्रम को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: $X_i$

\begin{aligned} Z_{i} & \sim N (0, 1 / i), i i d, \forall i \in N \\ X_{i} & = 1_{{i \neq 1}} + 1_{{i \neq 1}} Z_{i}, i \in N \end{aligned}

$\begin{align} Z_i &\sim N(0,1/i), iid, \; \forall i \in \mathbb{N} \\ X_i &= 1_{\{i \neq 1\}} + 1_{\{i \neq 1\}}Z_i, \; i \in \mathbb{N} \end{align}$

स्पष्ट रूप से, है (1) पतित और (2) बड़ी संख्याओं के चेबीशेव के मजबूत कानून द्वारा रूप में लगभग को निश्चित रूप से परिवर्तित करता है । (इसे देखने के लिए, को लिए पुनः ।) $X_i$ $X=1$ $i \longrightarrow \infty$ $Z_i = i^{-0.5}Z$ $Z \sim N(0,1)$

हालाँकि, चूंकि , । नतीजतन, , इसलिए यह सीमा में तुच्छ रूप से परिवर्तित हो जाएगा , यह । $X_1 = 0$ $\Pi_{i=1}^nX_i = 0, \; \forall n \in \mathbb{N}$ $(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0, \forall n \in \mathbb{N}$ $0$ $lim_{n\longrightarrow \infty}(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0$ $\square$

— जेरेमीस के
स्रोत

आप प्रतिपादक को भूल गए हैं ।

1 / n

$1/n$

— whuber

धन्यवाद whuber, मैंने इसे ठीक किया :) मुझे वास्तव में चीजों को और अधिक ध्यान से पढ़ने पर काम करना चाहिए ... मैंने पहली बार यह भी साबित किया कि यह कथन क्योंकि मैं ठीक से नहीं पढ़ा।

Π_{i = 1}^{n} X_{i}^{1 / i}

$\Pi_{i=1}^nX_i^{1/i}$

— जेरेमीस के

धन्यवाद। ये सभी गणना एक सरल विचार को अस्पष्ट करती हैं: यदि है तो आप की किसी भी परिमित संख्या को बदलकर सीमा नहीं बदलेंगे , लेकिन इससे उत्पाद शून्य हो जाएगा और आपको विरोधाभास मिलेगा। काफी उचित। हालाँकि, जब तक हमें अन्यथा नहीं बताया जाता है, तब तक अनंत उत्पादों के बारे में बयानों को लघुगणकों के अनंत योगों के रूप में समझा जाना चाहिए। विशेष रूप से, इस सवाल में रुचि उस मामले पर केंद्रित है जहां हर लगभग निश्चित रूप से सख्ती से सकारात्मक है ।

X

$X$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

— whuber

@ आखिरी टिप्पणी जो दिलचस्प है। क्या यह वास्तव में मामला है कि उत्पादों की सीमाएं सम्मेलन द्वारा हैं, या शायद परिभाषा (?) द्वारा, लघुगणक के संदर्भ में समझा गया है? यदि हां, तो मैं अपने उत्तर के शब्दों को भी बदल दूंगा। विशेष रूप से, निरंतरता के लिए अंतिम अपील सतही होगी।

— ekvall

@Student आपके उत्तर में तर्क ठीक है। सांख्यिकीय अनुप्रयोगों में यह दुर्लभ है कि कोई भी ज्यामितीय साधनों की ऐसी सीमा को देख रहा होगा जब तक कि वे पहले से ही लघुगणक के संदर्भ में नहीं सोच रहे थे।

— whuber