सकारात्मक निर्धारक के समान रूप से यादृच्छिक ऑर्थोगोनल मेट्रिक्स कैसे उत्पन्न करें?

Question

मुझे शायद एक मूर्खतापूर्ण प्रश्न मिल गया है, जिसके बारे में मुझे स्वीकार करना चाहिए, मैं भ्रमित हूं। कुछ आकार के के समान रूप से वितरित यादृच्छिक ऑर्थोगोनल (ऑर्थोनॉर्मल) मैट्रिक्स के बार-बार उत्पन्न होने की कल्पना करें । कभी-कभी उत्पन्न मैट्रिक्स में निर्धारक और कभी-कभी इसमें निर्धारक । (केवल दो संभावित मान हैं। ऑर्थोगोनल रोटेशन के दृष्टिकोण से इसका मतलब है कि रोटेशन के अलावा एक अतिरिक्त प्रतिबिंब भी है।)$p$$1$$-1$$\det=-1$

हम किसी भी एक (या, आमतौर पर, किसी भी विषम संख्या के) कॉलम के संकेत को बदलकर शून्य से एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के $\det$ का संकेत बदल सकते हैं ।

मेरा प्रश्न है: यह देखते हुए कि हम बार-बार इस तरह के यादृच्छिक मेट्रिक्स उत्पन्न करते हैं, क्या हम उनके समान यादृच्छिक प्रकृति में कुछ पूर्वाग्रह पेश करेंगे यदि हर बार हम केवल विशिष्ट कॉलम के संकेत को वापस लेने का चयन करें (जैसे, हमेशा 1 या हमेशा अंतिम)? या क्या हम चाहिए है आदेश मैट्रिक्स रखने के लिए प्रतिनिधित्व करते हैं यादृच्छिक समान रूप से वितरित संग्रह में बेतरतीब ढंग से स्तंभ लेने के लिए?

Answer 1

कॉलम का चुनाव कोई मायने नहीं रखता है: विशेष ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस, SO (n) पर परिणामी वितरण $SO(n)$, अभी भी एक समान है।

मैं समूहों के तत्वों की समान पीढ़ी के बारे में कई संबंधित प्रश्नों के लिए, एक स्पष्ट तरीके से, एक तर्क का उपयोग करके इसे समझाऊंगा। इस तर्क का प्रत्येक चरण तुच्छ है, जिसमें उपयुक्त परिभाषाओं या एक साधारण गणना (जैसे कि मैट्रिक्स \ mathbb {I} _1 के रूप में ध्यान देने योग्य है) के संदर्भ में और कुछ नहीं की आवश्यकता होती है $\mathbb{I}_1$।

तर्क एक परिचित स्थिति का सामान्यीकरण है। एक निर्दिष्ट निरंतर वितरण अनुसार सकारात्मक वास्तविक संख्या खींचने के कार्य पर विचार करें । यह एक निरंतर वितरण से किसी भी वास्तविक संख्या को आरेखित करके किया जा सकता है और यदि आवश्यक हो तो परिणाम की उपेक्षा करके, सकारात्मक मूल्य की गारंटी देने के लिए (लगभग निश्चित रूप से)। इस प्रक्रिया के लिए वितरण , पास वह संपत्ति होनी चाहिए जो है$F$$G$$F$$G$

$$G(x) - G(-x) = F(x).$$

इसे पूरा करने का सबसे सरल तरीका है जब आस-पास सममित हो ताकि , entailing : सभी सकारात्मक संभावना घनत्वों को केवल दोगुना कर दिया जाता है और सभी नकारात्मक परिणामों को समाप्त कर दिया जाता है। अर्ध-सामान्य वितरण ( ) और सामान्य वितरण ( ) के बीच का परिचित संबंध इस प्रकार का है।$G$$0$$G(x) - 1/2 = 1/2 - G(-x)$$F(x) = 2G(x) - 1$$F$$G$

निम्नलिखित में, समूह गैर-शून्य वास्तविक संख्या (एक गुणक समूह के रूप में माना जाता है की भूमिका निभाता है और इसका उपसमूह सकारात्मक वास्तविक संख्या की भूमिका निभाता है । Haar उपाय नकारात्मक के तहत अपरिवर्तनीय है, इसलिए जब इसे से से "फोल्ड" किया जाता है, तो सकारात्मक मानों का वितरण नहीं बदलता है । (यह उपाय, दुर्भाग्य से, एक संभावना माप के लिए सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता है - लेकिन यह एकमात्र तरीका है जिसमें सादृश्य टूट जाता है।)$O(n)$$SO(n)$$\mathbb{R}_{+}$$dx/x$$\mathbb{R}-\{0\}$$\mathbb{R}_{+}$

एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स (जब इसका निर्धारक ऋणात्मक होता है) के एक विशिष्ट स्तंभ की उपेक्षा करना, नकारात्मक उप संख्या को सकारात्मक उपसमूह में मोड़ने की उपेक्षा करने का एनालॉग है। आम तौर पर, आप किसी भी ओर्थोगोनल मैट्रिक्स को नकारात्मक नियतांक के रूप में चुन सकते हैं और इसका उपयोग बजाय कर सकते हैं : परिणाम समान होंगे।$\mathbb{J}$$\mathbb{I}_1$

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यद्यपि यह प्रश्न यादृच्छिक चर उत्पन्न करने के संदर्भ में दर्शाया गया है, यह वास्तव में मैट्रिक्स समूहों और पर संभाव्यता वितरण के बारे में पूछता है। । इन समूहों के बीच का संबंध ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के संदर्भ में वर्णित है$O(n, \mathbb{R}) = O(n)$$SO(n, \mathbb{R}) = SO(n)$

$$\mathbb{I}_1 = \pmatrix{-1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1}$$

क्योंकि एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के पहले कॉलम को नकारने का अर्थ है द्वारा राइट-गुणा करना । ध्यान दें कि और असंतुष्ट संघ है$\mathbb X$$\mathbb{X}$$\mathbb{I}_1$$SO(n)\subset O(n)$$O(n)$

$$O(n) = SO(n) \cup SO(n)\,\mathbb{I}_1^{-1}.$$

एक संभावना अंतरिक्ष को देखते हुए पर परिभाषित , प्रक्रिया प्रश्न में वर्णित एक नक्शे को परिभाषित करता है$(O(n), \mathfrak{S}, \mathbb{P})$$O(n)$

$$f:O(n)\to SO(n)$$

व्यवस्थित करके

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}$$

जब और$\mathbb{X}\in SO(n)$

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}\mathbb{I}_1$$

के लिए ।$\mathbb{X}\in SO(n)\,{\mathbb{I}_1}^{-1}$

प्रश्न यादृच्छिक तत्वों प्राप्त करने से में यादृच्छिक तत्वों को उत्पन्न करने के बारे में चिंतित है : अर्थात, माध्यम से का उत्पादन करने के लिए "उन्हें आगे बढ़ाकर"। । Pushforward एक संभावना अंतरिक्ष बनाता है के साथ$SO(n)$$\omega\in O(n)$$f$$f_{*}\omega = f(\omega)\in SO(n)$$(SO(n), \mathfrak{S}^\prime, \mathbb{P}^\prime)$

$$\mathfrak{S}^\prime = f_{*}\mathfrak{S} = \{f(E)\,|\,E\subset\mathfrak{S}\}$$

तथा

$$\mathbb{P}^\prime(E) = (f_{*}\mathbb{P})(E) = \mathbb{P}(f^{-1}(E)) = \mathbb{P}(E \cup E\,\mathbb{I}_1)$$

सभी ।$E \subset \mathfrak{S}^\prime$

द्वारा सही गुणन मान लेना , माप-संरक्षण है, और यह ध्यान रखना कि किसी भी घटना में , यह तुरंत ही उन सभी ,$\mathbb{I}_1$$E \cap E\,\mathbb{I}_1 = \emptyset$$E\in\mathfrak{S}^\prime$

$$\mathbb{P}^\prime(E) = \mathbb{P}(E\cup E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = 2\mathbb{P}(E).$$

विशेष रूप से, जब में राइट-गुणन के तहत अपरिवर्तनीय होता है (जो कि "वर्दी" का आमतौर पर मतलब होता है), तो स्पष्ट तथ्य यह है कि और इसका व्युत्क्रम (जो बराबर से होता है) ही) दोनों orthogonal का अर्थ है पूर्वगामी धारण करना, यह दर्शाता है कि एक समान है। इस प्रकार यह नकार के लिए एक यादृच्छिक कॉलम का चयन करने के लिए अनावश्यक है।$\mathbb{P}$$O(n)$$\mathbb{I}_1$$\mathbb{I}_1$$\mathbb{P}^\prime$

Comments

+1। यह एक बहुत अच्छा लेखन है, इस उत्तर को पोस्ट करने के लिए धन्यवाद।

— अमीबा

एक भयानक जवाब। लेकिन The question is concerned about generatingमुझे शुरू करने से यह मुश्किल हो गया कि प्रतीक के माध्यम से मुझे आगे बढ़ाया जाए। क्या आप शब्दों में तर्क को संक्षेप में बता सकते हैं , जल्द ही एक आम आदमी के लिए, कृपया?

— ttnphns