जब

Question

मुझे पता है कि निरंतर चर $P[X=x]=0$ ।

लेकिन मैं कल्पना नहीं कर सकता कि यदि , तो संभावित x की अनंत संख्या है । और यह भी कि उनकी संभावनाएँ असीम रूप से छोटी क्यों हैं?$P[X=x]=0$$x$

Comments

निरंतर चर

— शीआन

डुप्लिकेट के रूप में इस प्रश्न को बंद करने के लिए पहले से ही दो वोट हैं। मैं सहमत नहीं हूँ। यह एक बहुत ही मूल विषय है, उनमें से एक जो भविष्य में फिर से दिखाई देगा, इसलिए यह अच्छा होगा यदि इसका प्रत्यक्ष और उच्च गुणवत्ता वाला उत्तर है, इसलिए हम भविष्य में इसका उल्लेख कर सकते हैं। @ शीआन द्वारा दिए गए लिंक को डुप्लिकेट के रूप में धमकी दी जा सकती है लेकिन खोज के माध्यम से खोजने के लिए काफी विशिष्ट और कठिन है। लिंक भी एक संपूर्ण उत्तर प्रदान नहीं करता है, जबकि यह खतरा इस तरह के अभिसरण करता है। मुझे लगता है कि इसे भविष्य के संदर्भ के रूप में खुला छोड़ देना चाहिए।

— टिम

इस स्थिति के विलोम पर विचार करने में मदद मिल सकती है। चलो होना किसी भी यादृच्छिक चर और जाने ε किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या। वहाँ केवल एक परिमित संख्या में हो सकता है ω जिसके लिए पीआर ( एक्स = ω ) ≥ ε संबंध तोड़ना घटनाओं पर इन सभी संभावनाओं को जोड़कर - -, अन्यथा के लिए आप यह निष्कर्ष निकालते हैं कि कुल संभावना है कम से कम ε + ε + ⋯ , जो अंततः 1 से अधिक है । (यह वास्तविक संख्याओं की आर्किमिडीयन संपत्ति है।) यह तर्क केवल तीन स्वयंसिद्ध शब्दों का उपयोग करता है$X$$\epsilon$$\omega$$\Pr(X=\omega)\ge\epsilon$$\epsilon+\epsilon+\cdots$$1$ : असंतुष्ट घटनाओं की संभावनाएं जोड़ते हैं, कुल संभावना , और आर्किमिडीयन स्वयंसिद्ध$1$

— whuber

@Tim धन्यवाद, लेकिन मैं नहीं बल्कि एक जवाब की तुलना में एक टिप्पणी के रूप में इस विचार पोस्ट, यह अधूरा है क्योंकि: मैं समझाने के लिए क्या के रूप में सीमा में होता है एक प्राथमिक तरीका खोज निकाला नहीं किया है । यह अनंत सेट के कार्डिनैलिटी के कुछ ज्ञान की आवश्यकता लगती है। $\epsilon\to 0$

— whuber

@ शीआन मैं सहमत हूं, लेकिन आपके द्वारा प्रस्तावित धागा पर्याप्त रूप से निकट डुप्लिकेट नहीं है। यह खोजना एक कठिन बात है। क्या आप शायद अन्य थ्रेड्स के बारे में जानते हैं जो इस प्रश्न की नकल करते हैं?

— whuber

Answer 1

संभाव्यताएं टिप्पणियों के सापेक्ष आवृत्तियों के लिए मॉडल हैं । एक घटना तो हुई थी मनाया जाता है एन ए पर बार एन परीक्षणों, तो इसकी सापेक्ष आवृत्ति है आपेक्षिक आवृत्ति  ( एक ) = एन $A$$N_A$$N$ और यह आम तौर पर माना जाता है कि उपरोक्त अनुपात का संख्यात्मक मानP(A)का एक निकट सन्निकटन हैजबN"N" है

$$\text{relative frequency of }(A) = \frac{N_A}{N}$$ $P(A)$ $N$ जहां का मतलब पाठक की कल्पना (और विश्वसनीयता) के लिए सबसे अच्छा है। ।

अब, यह देखा गया है कि अगर के हमारे मॉडल एक सतत यादृच्छिक चर का है, तो के नमूने एक्स { x 1 , x 2 , ... , x एन } हैं एन अलग संख्या। इस प्रकार, एक विशिष्ट संख्या x की सापेक्ष आवृत्ति (या, अधिक पैदल, घटना { X = x } ) या तो $X$$X$ $\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$$N$$x$$\{X = x\}$ अगर में से एकxमैंमान होता हैएक्स, या$\frac 1N$$x_i$$x$ यदि सभीxIxसे भिन्न हैं। यदि अधिक संशयवादी पाठक एक अतिरिक्तएननमूनेएकत्र करता है , तो घटना की सापेक्ष आवृत्ति{X=x} या तो$\frac 0N$$x_i$$x$$N$$\{X=x\}$ या मान0का आनंद लेना जारी रखता है$\frac{1}{2N}$ । इस प्रकार, किसी को यह अनुमान लगाने के लिए लुभाया जाता है किपी{एक्स=एक्स}को मान0सौंपा जाना चाहिए$\frac 0N$$P\{X = x\}$$0$ क्योंकि मनाया गया आवृत्ति के लिए एक अच्छा सन्निकटन है।

नोट: उपरोक्त स्पष्टीकरण (आमतौर पर संभावना और सांख्यिकी के आवेदन में रुचि रखने वाले इंजीनियरों और अन्य लोगों के लिए संतोषजनक है) (अर्थात जो लोग मानते हैं कि संभावना के स्वयंसिद्धों को चुना गया था ताकि सिद्धांत को वास्तविकता का एक अच्छा मॉडल बनाया जा सके), लेकिन पूरी तरह से असंतोषजनक कई अन्य लोगों के लिए। अपने प्रश्न को विशुद्ध रूप से गणितीय या सांख्यिकीय दृष्टिकोण से समझना और यह साबित करना संभव है कि का मान 0 होगा जब भी $P\{X = x\}$ $0$$X$ संभावना के स्वयंसिद्धों से तार्किक कटौती के माध्यम से और रिश्तेदार आवृत्ति या भौतिक टिप्पणियों के संदर्भ में किसी भी संदर्भ के बिना एक सतत यादृच्छिक चर है।

Comments

+1 "नोट: उपरोक्त स्पष्टीकरण ... संतोषजनक है ... जो मानते हैं कि संभावना के स्वयंसिद्ध सिद्धांत को वास्तविकता का एक अच्छा मॉडल बनाने के लिए चुना गया था), लेकिन पूरी तरह से असंतोषजनक ...", इंटरनेट के पसंदीदा phrasing, lol।

— गूँग - मोनिका

मुझे समझ नहीं आता तुम क्या मतलब द्वारा करते हैं यह देखा गया है कि यदि निरंतर है, तो है ...$X$ । हम उसका पालन कैसे कर सकते हैं?

— स्टीफन लॉरेंट

@ StéphaneLaurent यह वाक्य थोड़ा जटिल है, इसलिए यह फिर से पढ़ना है। कुछ पैतृक टिप्पणियों से अलग, यह कहता है कि "यह देखा गया है कि ... नमूने ... अलग संख्या हैं।" दूसरे शब्दों में, जब कोई मानता है कि X का निरंतर वितरण है , तो (लगभग निश्चित रूप से) X के किसी भी परिमित iid नमूने में कोई डुप्लिकेट नहीं होगा । यह गणितीय रूप से सिद्ध हो सकता है: यह मात्र अवलोकन नहीं है। $N$$X$$X$

— whuber

@ StéphaneLaurent मुझे लगता है कि दिलीप की टिप्पणी इससे अलग भावना से की जा रही है। यह उत्तर गणितीय रूप से कठोर प्रदर्शन प्रदान करने का प्रयास नहीं है, बल्कि इस तथ्य के लिए कुछ अंतर्ज्ञान और प्रेरणा प्रदान करने के लिए है कि ओपी पहेलियाँ। मैं इस दृष्टिकोण से सहमत हूं क्योंकि इसमें पारंपरिक रूप से शुरुआती लोगों को सिखाया गया असतत प्रायिकता सिद्धांत और माप सिद्धांत पर आधारित संभावना का समृद्ध सामान्य सिद्धांत के बीच अंतर को पाटने की ऐसी क्षमता है।

— whuber

@whuber I understand the spirit, but at first glance I was not convinced that the no-ties property is more intuitive than the zero-probability property. For $N=2$ this is really the same thing: "$x_2 \text{ is never } x_1$" $\iff$ $\Pr(X_2=x_1)=0$.

— Stéphane Laurent

Answer 2

आज्ञा देना अंतर्निहित संभावना स्थान है। हम कहते हैं कि एक औसत दर्जे का समारोह एक्स : Ω → आर एक बिल्कुल निरंतर यादृच्छिक चर है अगर संभावना उपाय μ एक्स से अधिक ( आर , बी ) द्वारा परिभाषित μ एक्स ( बी ) = पी { एक्स ∈ बी } , के वितरण के रूप में जाना एक्स है, इस तरह से हर बोवेल सेट बी के लिए Lebesgue के उपाय λ का वर्चस्व है$(\Omega,\mathscr{F},P)$$X:\Omega\to\mathbb{R}$$\mu_X$$(\mathbb{R},\mathscr{B})$$\mu_X(B)=P\{X\in B\}$$X$$\lambda$$B$ λ ( बी ) , , तो μ X ( B ) = 0 । इस मामले में, रेडॉन-Nikodym प्रमेय हमें बताता है एक औसत दर्जे का है कि वहाँ च एक्स : आर → आर , अप करने के लिए परिभाषित लगभग हर जगह तुल्यता, ऐसी है कि μ एक्स ( बी ) = ∫ बी च ( एक्स $\lambda(B)=0$$\mu_X(B)=0$$f_X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$\mu_X(B)=\int_B f(x)\,d\lambda(x)$. Let $B=\{x_1,x_2,\dots\}$ be a countable subset of $\mathbb{R}$. Since $\lambda$ is countably additive, $\lambda(B)=\lambda\left(\cup_{i\geq 1}\{x_i\}\right)=\sum_{i\geq 1}\lambda(\{x_i\})$. But

$$\lambda(\{x_i\}) = \lambda\left(\cap_{k\geq 1}[x_i,x_i+1/k)\right) \leq \lambda\left([x_i,x_i+1/n)\right) = \frac{1}{n} \, ,\qquad (*)$$ $n\geq 1$$\lambda(\{x_i\})\geq 0$$(*)$$n\geq 1$$\lambda(\{x_i\})=0$, entailing that $\lambda(B)=0$. From the assumed absolute continuity of $X$ it follows that $\mu_X(B)=P\{X\in B\}=0$.

Comments

Continuous random variable doesn't need to be absolutely continuous (it could have no density.)

— Zhanxiong

Baloney. "Continuous random variable" is an informal name for "a random variable which is absolutely continuous with respect to Lebesgue measure". Hence, Radon-Nikodym guarantees that a density exists. A random variable with a singular distribution (e.g. Cantor) is a different thing. You're misleading potential students with your bogus comment.

— Zen

When you criticized someone, please show the citation you referred to. Which probability text book said that "Continuous random variable" is an informal name for "a random variable which is absolutely continuous with respect to Lebesgue measure"? In addition, this problem can be solved without requiring $X$ has a density, see my proof below.

— Zhanxiong

Wikipedia disagrees with you, @Solitary: "A continuous probability distribution is a probability distribution that has a probability density function. Mathematicians also call such a distribution absolutely continuous [...]".

— amoeba

Answer 3

$X$ is a continuous random variable means its distribution function $F$ is continuous. This is the only condition we have but from which we can derive that $P(X = x) = 0$.

In fact, by continuity of $F$, we have $F(x) = F(x-)$ for every $x \in \mathbb{R}^1$, therefore:

$$P(X = x) = P(X \leq x) - P(X < x) = F(x) - F(x-) = 0.$$

Comments

If the distribution of a r.v. $X$ is Cantor, then its distribution function is continuous, but $X$ is a singular random variable; it's not a continuous random variable.

— Zen

My friend, this actually can be a counterexample to your own answer, not mine. Since the existence of such Singular continuous r.v., it is necessary to distinguish absolute continuous r.v. and singular continuous r.v., although their distribution functions are all continuous. To equalize continuous r.v. and absolute continuous r.v. is ambiguous.

— Zhanxiong

It isn't, but you won't hear, my friend.

— Zen

By the way, you're actually "proving" that if $P(X=x)=0$ for every $x$, then $P(X=x)=0$ for every $x$.

— Zen