लगभग निश्चित रूप से अभिसरण पूर्ण अभिसरण नहीं करता है

Question

हम कहते हैं कि पूरी तरह से परिवर्तित हो जाता है यदि हर ।$X_1, X_2, \ldots$$X$$\epsilon>0$ $\sum_{n=1}^\infty \text{P}\left(|X_n-X|>\epsilon\right) <\infty$

बोरेल केंटेली के लेम्मा के साथ यह साबित करने के लिए सीधे आगे है कि पूर्ण अभिसरण का अर्थ है निश्चित रूप से अभिसरण।

मैं एक उदाहरण के लिए देख रहा हूँ यकीन है कि अभिसरण Borel Cantelli के साथ साबित नहीं किया जा सकता है। यह यादृच्छिक चर का एक क्रम है जो लगभग निश्चित रूप से परिवर्तित होता है लेकिन पूरी तरह से नहीं।

Answer 1

आज्ञा देना बोरेल सिग्मा-बीजगणित और वर्दी माप । परिभाषित करें$\Omega=(0,1)$$\mathfrak{F}$$\mu$

$$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$$

और अन्यथा। जाहिर संभावना अंतरिक्ष पर मापे नहीं ।$X_n(\omega)=0$$X_n$$(\Omega, \mathfrak{F}, \mu)$

किसी भी और सभी यह मामला है कि । इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार, अनुक्रम परिवर्तित होता है (न कि लगभग निश्चित रूप से!)।$\omega\in\Omega$$N \gt 1/\omega$$X_n(\omega)=0$$(X_n)$$0$

हालाँकि, जब भी , ,$0 \lt \epsilon \lt 1$$\Pr(X_n\gt \epsilon) = \Pr(X_n \ne 0) = 1/n$

$$\sum_{n=1}^\infty \Pr(X_n \gt \epsilon) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},$$

जो को विचलित करता है ।$\infty$

Comments

बहुत बहुत धन्यवाद!। दो टिप्पणियां, क्या बजाय को परिभाषित करने का एक कारण है? ? दूसरा, क्या यह ? $$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$$ $$X_n(\omega) = 1 \text{ when } \omega \le 1/n$$ $\sum\text{Pr}\left(X_n > \epsilon\right)$

— मैनुअल

1. कोई अच्छा कारण नहीं। जब मैं इसके माध्यम से सोच रहा था, मैंने एक अनुस्मारक के रूप में शब्द का उपयोग किया था कि ऐसे बिंदुओं पर अभिसरण नहीं हो सकता है। 2. मैंने टाइपो तय किया , धन्यवाद। $\pm 1$$\lt$

— whuber

क्या स्वतंत्र हैं? वे मुझे प्रतीत हो रहे हैं, जो कि दूसरे बोरेल कैंटेली लेम्मा द्वारा अभिप्रेरित करना लगभग सुनिश्चित नहीं है। $X_n$

— राद्र

@Rrrr तब आपको कोई परेशानी नहीं होनी चाहिए कि प्रदर्शन स्वतंत्र न हो। $X_n$

— whuber