क्या माध्य "माध्य" के कुछ सामान्यीकरण के लिए माध्य का एक प्रकार है?

Question

"माध्य" की अवधारणा पारंपरिक अंकगणित माध्य की तुलना में दूर तक घूमती है; क्या यह इतनी दूर है कि मंझला शामिल है? समानता से,

$$\text{raw data} \overset{\text{id}}{\longrightarrow} \text{raw data} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{raw mean} \overset{\text{id}^{-1}}{\longrightarrow} \text{arithmetic mean} \\ \text{raw data} \overset{\text{recip}}{\longrightarrow} \text{reciprocals} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean reciprocal} \overset{\text{recip}^{-1}}{\longrightarrow} \text{harmonic mean} \\ \text{raw data} \overset{\text{log}}{\longrightarrow} \text{logs} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean log} \overset{\text{log}^{-1}}{\longrightarrow} \text{geometric mean} \\ \text{raw data} \overset{\text{square}}{\longrightarrow} \text{squares} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean square} \overset{\text{square}^{-1}}{\longrightarrow} \text{root mean square} \\ \text{raw data} \overset{\text{rank}}{\longrightarrow} \text{ranks} \overset{\text{mean}}{\longrightarrow} \text{mean rank} \overset{\text{rank}^{-1}}{\longrightarrow} \text{median}$$

मैं जिस सादृश्य का चित्रण कर रहा हूँ, वह अर्ध-अंकगणितीय माध्य से है:

$$M_f(x_1,\dots,x_n)=f^{-1}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(x_i) \right)$$

तुलना के लिए, जब हम कहते हैं कि पांच-आइटम डेटासेट का माध्य तीसरे आइटम के बराबर है, तो हम देख सकते हैं कि डेटा को एक से पांच तक रैंकिंग के बराबर है (जिसे हम फ़ंक्शन द्वारा निरूपित कर सकते हैं ); रूपांतरित डेटा का अर्थ लेना (जो तीन है); और डेटा के उस आइटम का मान वापस पढ़ना जिसकी रैंक तीन थी (एक प्रकार का )।$f$$f^{-1}$

ज्यामितीय माध्य, हार्मोनिक माध्य और RMS के उदाहरणों में, एक निश्चित कार्य था जिसे किसी भी संख्या में अलगाव में लागू किया जा सकता है। इसके विपरीत, या तो एक रैंक आवंटित करने के लिए, या रैंक से मूल डेटा पर वापस काम करने के लिए (जहां आवश्यक हो) पूरे डेटा सेट के ज्ञान की आवश्यकता होती है। इसके अलावा परिभाषाओं में मैंने अर्ध-अंकगणितीय माध्य के बारे में पढ़ा है, च को निरंतर होना आवश्यक है। क्या माध्यिका को कभी अर्ध-अंकगणितीय माध्य के विशेष मामले के रूप में माना जाता है, और यदि ऐसा है तो f को कैसे परिभाषित किया गया है? या माध्य को कभी "माध्य" की कुछ अन्य व्यापक धारणा के उदाहरण के रूप में वर्णित किया गया है? अर्ध-अंकगणितीय माध्य निश्चित रूप से केवल सामान्यीकरण उपलब्ध नहीं है।$f$$f$$f$

मुद्दे का हिस्सा पारिभाषिक है (वैसे भी "मध्यमान" का क्या अर्थ है, विशेष रूप से "केंद्रीय प्रवृत्ति" या "औसत" के विपरीत?)। उदाहरण के लिए, फ़ज़ी कंट्रोल सिस्टम के लिए साहित्य में , एक एकत्रीकरण फ़ंक्शन F: [a, b] \ टाइम्स [a, b] \ से [a, b] F (a, a) = a और F के$F:[a,b] \times [a,b] \to [a,b]$ साथ एक बढ़ता हुआ कार्य है (बी, बी) = बी ; एक एकत्रीकरण समारोह जिसके लिए \ मिनट (एक्स, वाई) \ एफ (एक्स, वाई) Leq \ Leq \ अधिकतम (एक्स, वाई) सभी के लिए एक्स, वाई \ में [क, ख] एक "मतलब है" (एक में कहा जाता है सामान्य समझ)। इस तरह की परिभाषा, कहने की ज़रूरत नहीं है, अविश्वसनीय रूप से व्यापक! और इस संदर्भ में माध्यिका को वास्तव में एक प्रकार का माध्य कहा जाता है। ^ {[1]}$F(a,a)=a$$F(b,b)=b$$\min(x,y) \leq F(x,y) \leq \max(x,y)$$x,y \in [a,b]$$^{[1]}$लेकिन मुझे इस बात की उत्सुकता है कि क्या माध्य की कम विस्तृत विशेषताओं को अभी भी मंझला को घेरने के लिए पर्याप्त विस्तारित किया जा सकता है - तथाकथित सामान्यीकृत माध्य (जिसे "पावर मीन" के रूप में वर्णित किया जा सकता है) और लेहमर का अर्थ नहीं है, लेकिन अन्य हो सकते हैं । इसके लायक होने के लिए, विकिपीडिया में "माध्यिका" को "अन्य साधनों" की अपनी सूची में शामिल किया गया है , लेकिन आगे की टिप्पणी या उद्धरण के बिना।

$[1]$ : माध्य की इतनी व्यापक परिभाषा, दो से अधिक इनपुटों के लिए उपयुक्त रूप से विस्तारित, फजी नियंत्रण के क्षेत्र में मानक लगती है और मध्ययुगीन के रूप में वर्णित किए जा रहे माध्य के उदाहरणों के लिए इंटरनेट खोजों के दौरान कई बार क्रॉप किया गया; मैं उदाहरण के तौर पर Fodor, JC, & Rudas, IJ (2009), " एग्लिगेशन फ़ंक्शंस के कुछ वर्ग जो माइग्रेटिव हैं ", IFSA / EUSFLAT Conf का हवाला दूंगा। (पीपी। 653-656)। संयोग से, इस पत्र लिखते हैं कि शब्द "मतलब है" (के जल्द से जल्द उन में से एक Moyenne ) था कॉची , में Cours d 'विश्लेषण डे ल इकोले Royale पॉलीटेक्निक, 1ère partie; एलेब्रीक (1821) का विश्लेषण करें । बाद में Aczél , Chisini का योगदान ,और डी Finetti कॉची की तुलना में "मतलब है" के और अधिक सामान्य अवधारणाओं को विकसित करने में, फोडोर, जे, और Roubens, एम (1995) में स्वीकार कर रहे हैं " का मतलब है की सार्थकता पर ", कम्प्यूटेशनल और अनुप्रयुक्त गणित के जर्नल , 64 (1), 103-115।

Comments

मुझे लगता है कि अंकगणितीय औसत, माध्यिका और मोड अयस्क को अक्सर सामान्य रूप में "माध्य" कहा जाता है और शब्द को कभी-कभी अस्पष्ट तरीके से उपयोग किया जाता है। सांख्यिकी के साथ कैसे झूठ बोलना है इसे आंकड़ों के साथ "झूठ" के उदाहरण के रूप में उपयोग किया जाता है। (मैं समझता हूँ कि आपके सवाल का अधिक सामान्य तो एक टिप्पणी के रूप में पोस्ट है।)

— टिम

@ मेरे पास अवैज्ञानिक धारणा है कि "मोड" को "मीन" के रूप में देखने के लिए दुर्लभ है। लेकिन "औसत" (जो कभी-कभी "अंकगणितीय माध्य" के पर्याय के रूप में उपयोग किया जाता है) के आस-पास निश्चित रूप से भ्रम का एक बहुत बड़ा जाल है और अन्य समय में केंद्रीय प्रवृत्ति के उपाय शामिल हैं जो बिल्कुल नहीं हैं) और "माध्य" (जो तकनीकी अर्थों के बजाय सामान्य उपयोग, ज्यादातर है लेकिन विशेष रूप से "अंकगणितीय माध्य" के लिए उपयोग नहीं किया जाता है)। संयोग से यह "खोज" के अन्य अर्थों के कारण इंटरनेट खोजों के लिए भी एक कठिन विषय है !

— सिल्वरफिश

साधन (अंकगणित, ज्यामितीय, हार्मोनिक, संचालित, घातीय, दहनशील, आदि) "विश्लेषणात्मक औसत" हैं। मेडियन, क्वांटाइल्स, टैंटाइल्स "स्थितिगत औसत" हैं। रैंकिंग लॉग, स्क्वायर आदि से काफी अलग है क्योंकि यह किसी भी वैरिएबल का एकसमान परिवर्तन है और एकरूपता के लिए कोई रास्ता नहीं है।

— ttnphns

Btw शब्द "सामान्यीकृत माध्य" को पहले से ही बताया गया है

— ।wikipedia.org/

यदि आप गणना में वज़न की अनुमति देते हैं , तो माध्यिका को आसानी से एक तरह का माध्य माना जा सकता है। इसी तरह, लेकिन पहचान नहीं है, छंटनी की अवधारणा में निश्चित रूप से एक सीमित या शिष्टाचार विशेष मामले के रूप में मध्यस्थ शामिल हैं। stata-journal.com/article.html?article=st0313 एक हालिया समीक्षा है। $\sum_i w_i x_i, \sum_i w_i = 1$

— निक कॉक्स

Answer 1

यहाँ एक तरीका यह है कि आप एक मध्ययुगीन व्यक्ति को "सामान्य प्रकार के" के रूप में मान सकते हैं - पहला, ऑर्डर आँकड़ों के संदर्भ में अपने साधारण अंकगणितीय माध्य को ध्यान से परिभाषित करें:

$$\bar{x} = \sum_i w_i x_{(i)},\qquad w_i=\frac{_1}{^n}\,.$$

फिर कुछ अन्य वजन फ़ंक्शन के साथ उस सामान्य औसत ऑर्डर आंकड़े की जगह, हमें "सामान्यीकृत माध्य" की धारणा मिलती है जो ऑर्डर के लिए खाते हैं।

उस स्थिति में, केंद्र के संभावित उपायों के एक मेजबान "सामान्यीकृत प्रकार के साधन" बन जाते हैं। माध्यिका के मामले में, विषम , और अन्य सभी 0 हैं, और सम , ।$n$$w_{(n+1)/2}=1$$n$$w_{\frac{n}{2}}=w_{\frac{n}{2}+1}=\frac{1}{2}$

इसी तरह, यदि हम M- आकलन को देखें , तो स्थान अनुमानों को अंकगणित माध्य के सामान्यीकरण के रूप में भी सोचा जा सकता है (जहां माध्य के लिए, द्विघात है, रैखिक है, या भार-कार्य सपाट है), और माध्यिका सामान्यीकरण के इस वर्ग में भी आती है। यह पिछले एक की तुलना में कुछ अलग सामान्यीकरण है।$\rho$$\psi$

ऐसे कई तरीके हैं जिनसे हम 'माध्य' की धारणा को आगे बढ़ा सकते हैं, जिसमें मंझला भी शामिल हो सकता है।

Comments

यह बहुत अच्छा है। इस उत्तर से संबंधित, और जो प्रश्न में उद्धृत पत्रों में चर्चा की गई है: आदेशित भारित औसत, या OWA

— सिल्वरफ़िश

Answer 2

यदि आप माध्य को द्विघात हानि फ़ंक्शन SSE को कम करने वाले बिंदु के रूप में सोचते हैं, तो माध्य रैखिक हानि फ़ंक्शन MAD को न्यूनतम करने वाला बिंदु है, और मोड कुछ 0-1 हानि फ़ंक्शन को न्यूनतम करने वाला बिंदु है। कोई परिवर्तन की आवश्यकता है।

तो माध्य एक Fréchet माध्य का एक उदाहरण है ।

Comments

@ माइक एंडरसन: ठीक है, यह दिखाता है कि मीडिया एक फ्रीचेट माध्य है (विकिपीडिया लेख देखें): en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean

— kjetil halvorsen

@Kjetil बहुत बढ़िया! तथ्य यह है कि माध्य एक फ्रैचेट माध्य का एक उदाहरण है, मेरे प्रश्न का ठीक उत्तर है "क्या माध्यक को" अर्थ "के कुछ अन्य व्यापक धारणा के उदाहरण के रूप में वर्णित किया गया है?" और माइक एंडरसन को +1। मुझे उम्मीद है कि इस जानकारी को उत्तर में संपादित किया गया है।

— सिल्वरफिश

मैंने उत्तर में @ Kjetil की टिप्पणी जोड़ी है ताकि यह "Frechet माध्य" के लिए एक साइट खोज में दिखाई दे। आप दोनों को धन्यवाद।

— सिल्वरफिश

Answer 3

एक आसान लेकिन उपयोगी सामान्यीकरण करने के लिए है भारित साधन , जहां Σ n मैं = 1 डब्ल्यू मैं = 1 । जाहिर है आम या बगीचे मतलब बराबर वजन के साथ सरल विशेष मामला है डब्ल्यू मैं = 1 / n ।$\sum_{i=1}^n w_i x_i / \sum_{i=1}^n w_i,$$\sum_{i=1}^n w_i = 1$$w_i = 1/n$

वज़न को कम करना परिमाण में मूल्यों के क्रम पर निर्भर करता है, सबसे छोटे से सबसे बड़े तक, विभिन्न अन्य विशेष मामलों को इंगित करता है, विशेष रूप से एक छंटनी का मतलब है , जिसे अन्य नामों से भी जाना जाता है।

अंकन के अत्यधिक उपयोग से बचने के लिए जहां इसकी आवश्यकता नहीं है या विशेष रूप से उपयोगी है, उदाहरण के लिए कल्पना करें कि सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों की अनदेखी करें और दूसरों के लिए (समान रूप से भारित) अर्थ लें। या दो सबसे छोटे और दो सबसे बड़े को अनदेखा करने और दूसरों का मतलब लेने की कल्पना करें; इत्यादि। सबसे जोरदार ट्रिमिंग सभी लेकिन एक या दो मध्य मूल्यों को अनदेखा करेगा, यह इस बात पर निर्भर करता है कि मूल्यों की संख्या विषम थी या यहां तक ​​कि, जो स्वाभाविक रूप से सिर्फ परिचित मंझला है । ट्रिमिंग के विचार में कुछ भी नहीं है कि आप नमूने के प्रत्येक पूंछ में समान संख्याओं की अनदेखी करते हैं, लेकिन असममित ट्रिमिंग के बारे में अधिक कहने से हमें इस विचार में मुख्य विचार से दूर ले जाएगा।

संक्षेप में, साधन (अयोग्य) और मंझले (सममित) छंटनी वाले साधनों के परिवार के अत्यधिक सीमित मामले हैं। समग्र विचार डेटा में सभी जानकारी का उपयोग करने के एक आदर्श और अत्यधिक डेटा बिंदुओं से खुद को बचाने के एक और आदर्श के बीच समझौता करने की अनुमति देना है, जो कि अविश्वसनीय आउटलेर हो सकता है।

एक हालिया समीक्षा के लिए यहां संदर्भ देखें ।

Answer 4

प्रश्न हमें व्यापक अर्थों में "माध्य" की अवधारणा को सभी सामान्य साधनों को शामिल करने के लिए पर्याप्त रूप से आमंत्रित करने के लिए आमंत्रित करता है - शक्ति का अर्थ है, अर्थ है, मंझला, छंटनी का मतलब है - लेकिन इतना व्यापक रूप से नहीं कि यह डेटा के लिए लगभग बेकार हो जाता है । इस उत्तर में कुछ स्वयंसिद्ध गुणों की चर्चा है जो किसी भी "अर्थ" की उपयोगी परिभाषा होनी चाहिए।$L^p$

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मूल भाव

डेटा विश्लेषण के प्रयोजन के लिए की "मतलब" एक उपयोगी व्यापक परिभाषा अच्छी तरह से परिभाषित, नियतात्मक कार्यों के किसी भी क्रम होगा के लिए एक ⊂ आर और n = 1 , 2 , ... ऐसा है कि$f_n:A^n\to A$$A\subset\mathbb{R}$$n=1, 2, \ldots$

(1) सभी के लिए एक्स = ( एक्स 1 , x 2 , ... , x n ) ∈ ए एन , (चरम सीमाओं के बीच एक मतलब झूठ)$\newcommand{\x}{\mathrm{x}} \newcommand{\min}{\text{min}}\min (\x)\le f_n(\x)\le \max(\x)$$\x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\in A^n$

(2) अपने तर्कों के क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है (इसका मतलब डेटा के आदेश की परवाह नहीं है), और$f_n$

(3) प्रत्येक अपने प्रत्येक तर्क में निरर्थक है (संख्या बढ़ने पर, उनका अर्थ घट नहीं सकता है)।$f_n$

हमें ए के लिए वास्तविक संख्याओं (जैसे सभी सकारात्मक संख्याओं) का एक उचित उपसमूह होने की अनुमति देनी चाहिए क्योंकि बहुत सारे साधन, जैसे कि ज्यामितीय साधन, केवल ऐसे उपसमुच्चय पर परिभाषित होते हैं।$A$

हम यह भी जोड़ना चाह सकते हैं

(1 ') वहां मौजूद कुछ कम से कम है जिसके लिए मिनट ( एक्स ) ≠ च n ( x ) ≠ अधिकतम ( x ) (साधन चरम नहीं हैं)। (हम अपेक्षा करते हैं नहीं कर सकते कि यह हमेशा पकड़ो। उदाहरण के लिए, की औसत ( 0 , 0 , ... , 0 , 1 ) के बराबर होती है 0 है, जो कम से कम है।)$\x\in A$$\min(\x)\ne f_n(\x)\ne \max(\x)$$(0,0,\ldots,0,1)$$0$

ये गुण एक "मतलब" के पीछे के विचार को कैप्चर करने के लिए प्रतीत होते हैं, जो (अनियंत्रित) डेटा के एक सेट का "मध्यम मूल्य" है।

संगति स्वयंसिद्ध

मैं इसके बजाय कम स्पष्ट स्थिरता मानदंड को पूरा करने के लिए लुभा रहा हूं

(4.) की श्रेणी के रूप में टी अंतराल के दौरान बदलता रहता है [ मिनट ( एक्स ) , अधिकतम ( x ) ] शामिल च n ( x ) । दूसरे शब्दों में, उचित मान t से सटे हुए अर्थ को अपरिवर्तित करना हमेशा संभव होता है$f_{n+1}(t, x_1, x_2, \ldots, x_n)$$t$$[\min(\x), \max(\x)]$$f_n(\x)$$t$एक डाटासेट के लिए। (3) के संयोजन में, यह तात्पर्य है कि किसी मान को चरम मान से जोड़कर उन चरम की ओर माध्य खींच लिया जाएगा।

यदि हम किसी वितरण या "अनंत आबादी" के लिए माध्य की अवधारणा को लागू करना चाहते हैं , तो एक तरीका यह होगा कि इसे मनमाने ढंग से बड़े यादृच्छिक नमूनों की सीमा में प्राप्त किया जा सके। बेशक सीमा हमेशा मौजूद नहीं हो सकती है (यह अंकगणित माध्य के लिए मौजूद नहीं है जब वितरण की कोई उम्मीद नहीं है, उदाहरण के लिए)। इसलिए मैं ऐसी सीमाओं के अस्तित्व की गारंटी के लिए किसी भी अतिरिक्त स्वयंसिद्धता को लागू नहीं करना चाहता, लेकिन निम्नलिखित स्वाभाविक और उपयोगी लगता है:

(4.) जब भी की सीमा होती है और एक्स एन ए पर समर्थित वितरण एफ से नमूनों का एक क्रम होता है , तो एफ एन ( एक्स एन ) की सीमा लगभग निश्चित रूप से मौजूद होती है। यह रोकता है हमेशा के भीतर "चारों ओर उछल" से मतलब एक नमूना आकार में अधिकाधिक पाने के रूप में भी।$A$$\x_n$$F$$A$$f_n(\x_n)$$A$

समान पंक्तियों के साथ, हम एक माध्य के विचार को आगे बढ़ाने के लिए कह सकते हैं कि यह "स्थान" का एक बेहतर अनुमानक बन सकता है जैसे कि अन्य आकार:

(4.c) जब भी घिरा है, तो के नमूने वितरण के विचरण च n ( एक्स ( एन ) ) एक यादृच्छिक नमूने के लिए एक्स ( एन ) = ( एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स एन ) के एफ है में nondecreasing एन ।$A$$f_n(X^{(n)})$$X^{(n)} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$$F$$n$

निरंतरता स्वयंसिद्ध

हम डेटा के साथ "अच्छी तरह से" अलग-अलग तरीकों से पूछने पर विचार कर सकते हैं:

(5) प्रत्येक तर्क में अलग-अलग निरंतर होता है (डेटा मानों में एक छोटा परिवर्तन उनके अर्थ में अचानक छलांग नहीं लगाना चाहिए)।$f_n$

यह आवश्यकता कुछ अजीब सामान्यीकरणों को समाप्त कर सकती है, लेकिन यह किसी भी प्रसिद्ध अर्थ को खारिज नहीं करती है। यह कुछ एकत्रीकरण कार्यों को नियंत्रित करेगा।

एक आक्रमणकारी स्वयंसिद्ध

हम या तो अंतराल या अनुपात डेटा (स्टीवंस की अच्छी तरह से ज्ञात अर्थ में) को लागू करने के माध्यम से गर्भ धारण कर सकते हैं । हम मांग नहीं कर सकते कि वे स्थान की पाली (ज्यामितीय माध्य नहीं है) के तहत अपरिवर्तनीय हों, लेकिन हमें आवश्यकता हो सकती है

(6) के लिए सभी एक्स ∈ ए एन और सभी λ > 0 , जिसके लिए λ एक्स ∈ ए एन । यह केवल यह कहता है कि हम माप की किसी भी इकाई का उपयोग करके f n की गणना करने के लिए स्वतंत्र हैं जो हमें पसंद है।$f_n(\lambda \x) = \lambda f_n(\x)$$\x \in A^n$$\lambda \gt 0$$\lambda \x \in A^n$$f_n$

प्रश्न में वर्णित सभी साधन कुछ एकत्रीकरण कार्यों को छोड़कर इस स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करते हैं।

---

विचार-विमर्श

सामान्य एकत्रीकरण कार्य , जैसा कि प्रश्न में वर्णित है, जरूरी नहीं कि स्वयंसिद्धों (1 '), (2), (3), (5), या (6) को संतुष्ट करें। चाहे वे किसी भी सुसंगतता के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करते हों, यह इस बात पर निर्भर करता है कि उन्हें n > 2 तक कैसे बढ़ाया जाए ।$f_2$$n\gt 2$

सामान्य नमूना माध्य इन सभी स्वयंसिद्ध गुणों का आनंद लेता है।

हम शामिल करने के लिए स्थिरता स्वयंसिद्धों को बढ़ा सकते हैं

(4.d) के लिए सभी एक्स ∈ ए एन$f_{2n}(\x;\x) = f_n(\x)$$\x \in A^n.$

इसका तात्पर्य यह है कि जब किसी डेटासेट के सभी तत्वों को समान रूप से दोहराया जाता है, तो इसका मतलब नहीं बदलता है। यह बहुत मजबूत हो सकता है, हालांकि: विनसॉर्बेड का मतलब यह संपत्ति (asymptotically को छोड़कर) नहीं है। स्तर पर Winsorizing का उद्देश्य या तो चरम पर डेटा के कम से कम 100 α % में परिवर्तन के खिलाफ प्रतिरोध प्रदान करना है । उदाहरण के लिए, 10% की मतलब Winsorized ( 1 , 2 , 3 , 6 ) का समांतर माध्य है ( 2 , 2 , 3 , 3 $100\alpha\%$ $100\alpha\%$$(1,2,3,6)$$(2,2,3,3)$, के बराबर , लेकिन 10% की मतलब Winsorized ( 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 6 , 6 ) है 3.5 ।$2.5$$(1,1,2,2,3,3,6,6)$$3.5$

मुझे नहीं पता कि कौन सा संगति स्वयंसिद्ध (4. ए), (4. बी), या (4. सी) सबसे वांछनीय या उपयोगी होगा। वे स्वतंत्र प्रतीत होते हैं: मुझे नहीं लगता कि उनमें से कोई भी तीसरे का मतलब है।

Comments

(+1) मुझे लगता है (1 '), "मतलब चरम सीमा नहीं है", एक दिलचस्प बिंदु है। औसत की कई अन्यथा प्राकृतिक परिभाषाएँ विशेष और सीमित मामलों के रूप में न्यूनतम और अधिकतम शामिल करने के लिए होती हैं: यह बिजली के साधनों के बारे में सच है , लेहमर का मतलब है , फ्रैचेट का मतलब है , चिसीनी का मतलब है और स्टोर्स्की का मतलब है । हालांकि उन्हें "औसत" के रूप में संदर्भित करना थोड़ा अजीब लगता है!

— सिल्वरफिश

हां, मामलों को सीमित करना अपरिहार्य है। लेकिन परिमित डेटासेट के लिए हम इस बात पर जोर देना चाहते हैं कि न तो अधिकतम और न ही मिनट के रूप में अर्हता प्राप्त होती है।

— whuber

दूसरी ओर, न केवल यह सच है कि "सामान्य नमूना मंझला इन सभी स्वयंसिद्ध गुणों का आनंद लेता है", लेकिन इसलिए सामान्य नमूना मात्रात्मक करें (जब तक कि मैंने कुछ याद नहीं किया है)। ऊपरी चतुर्थांश को "माध्य" के रूप में संदर्भित करने के लिए यह भी थोड़ा अजीब लगता है (हालांकि मैंने देखा है कि इसे बहुत तिरछी डेटा पर केंद्रीय प्रवृत्ति के उपाय के रूप में उपयोग किया जाता है)। यदि हम अन्य सभी मात्राओं को स्वीकार करते हैं, तो यह अब मिनिमा और मैक्सिमा को स्वीकार करने के लिए बहुत विकृत नहीं लगता है। लेकिन मैं निश्चित रूप से यह देख सकता हूं कि उन्हें बाहर करने के अधिकार को कम से कम बरकरार रखना वांछनीय हो सकता है।

— सिल्वरफिश

मैं मात्रा के साधनों में मात्राओं के प्रवेश से हैरान नहीं हूँ। आखिरकार, वितरण के दिए गए परिवारों के लिए, कुछ गैर-मध्ययुगीन मात्रात्मक अंकगणित साधनों के साथ मेल खाएंगे, इसलिए यदि आप इस संभावना को स्वैच्छिक रूप से खत्म करने की कोशिश करते हैं तो आप मुश्किल में पड़ सकते हैं। (उदाहरण के लिए, निरंतर ज्यामितीय SD के लॉगानॉर्मल वितरण के एक परिवार पर विचार करें।) यदि अंकगणित माध्य एक माध्य के रूप में अर्हता प्राप्त नहीं कर सकता है, तो सभी खो गया है!

— whuber

मैंने उस दृष्टिकोण पर विचार किया है और इसे अस्वीकार कर दिया है, जैसा कि मेरे उत्तर में समझाया गया है: यदि आप लिए इस तरह के मानदंड को लागू करते हैं , तो आप औसत के रूप में माध्य को खत्म करते हैं! $n \gt 2$

— whuber

Answer 5

मुझे लगता है कि माध्यिका को अंकगणितीय माध्य के सामान्यीकरण का एक प्रकार माना जा सकता है। विशेष रूप से, अंकगणितीय माध्य और माध्यिका (अन्य के बीच) को चिसिनी माध्य के विशेष मामलों के रूप में एकीकृत किया जा सकता है।। यदि आप मानों के एक सेट पर कुछ ऑपरेशन करने जा रहे हैं, तो चिसनी माध्य एक संख्या है जिसे आप सेट में सभी मूल मानों के लिए स्थानापन्न कर सकते हैं और फिर भी समान परिणाम प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप अपने मूल्यों को योग करना चाहते हैं, तो अंकगणितीय माध्य के साथ सभी मानों को प्रतिस्थापित करने से समान योग प्राप्त होगा। विचार यह है कि एक निश्चित मान उन संख्याओं पर एक निश्चित ऑपरेशन के संदर्भ में सेट में संख्याओं का प्रतिनिधि है। (इस तरह से सोचने का एक दिलचस्प निहितार्थ यह है कि किसी दिए गए मूल्य- अंकगणितीय माध्य- को केवल इस धारणा के तहत प्रतिनिधि माना जा सकता है कि आप उन संख्याओं के साथ कुछ चीजें कर रहे हैं।)

यह माध्यिका के लिए कम स्पष्ट है (और मैं ध्यान देता हूं कि माध्य को वुल्फराम या विकिपीडिया पर चिसिनी साधनों में से एक के रूप में सूचीबद्ध नहीं किया गया है ), लेकिन यदि आप रैंकों पर संचालन की अनुमति देते हैं, तो माध्यिका एक ही विचार के भीतर फिट हो सकती है।

Comments

$M$$f(M,M,...,M)=f(x_1,x_2,...,x_n)$

यह एक अच्छा सवाल है, @Silverfish, मैं इसके बारे में सोच रहा हूं; ;-) मेरी सोच और अधिक है, आपके Q & टिप्पणियों में चर्चा में, वैचारिक रूपरेखा यह प्रतीत होती है कि माध्य कैसे प्राप्त करें और माध्य से डेटा कैसे प्राप्त करें; OTOH, मेरा फ्रेमिंग वह है जिसके लिए हम माध्य का उपयोग करते हैं: डेटा w / न्यूनतम सूचना हानि के संकुचित प्रतिनिधित्व के रूप में।

— गूँग - मोनिका

$f$

@Silverfish, मुझे लगता है कि मेरी स्थिति में कुछ हद तक समस्याग्रस्त छेद जैसा प्रतीत होता है।

— गूँग - मोनिका

While the insight from Chisini's set-up is that, for example, the arithmetic mean preserves the sum, while the geometric mean preserves the product, it's still true (just less interesting) that the arithmetic mean of $(\bar{x}, \bar{x}, ..., \bar{x})$ is also $\bar{x}$ and so on. So I'm not convinced it's a fatal blow.

— Silverfish

Answer 6

The question is not well defined. If we agree on the common "street" definition of mean as the sum of n numbers divided by n then we have a stake in the ground. Further If we would look at measures of central tendency we could say both Mean and Median are generealization but not of each other. Part of my background is in non parametrics so I like the median and the robustness it provides, invariance to monotonic transformation and more. but each measure has it's place depending on objective.

Comments

Welcome to our site, Bob. I believe that if you read to the end of the question--especially the long penultimate paragraph--you will discover that it is precise and well-defined. (If not, it would be a good idea to explain what you mean by "not well defined.) Your comments don't really seem to address what is being asked.

— whuber

I actually sympathise with Bob's feeling that the question is not terribly well-defined, in the sense that the concept of "mean" does not have a single definition, but I have tried my best to make things as clear as possible. I hope my most recent edit helps clarify things.

— Silverfish

The reason I feel the question has some value other than mere terminology (what does mean mean anyway, and is there a definition we can stretch as far as to include the median?) is that it may be instructive to see the median as just one member of a family of generalizations of the mean; Nick Cox's example of the median as a limiting case of the trimmed mean is particularly nice - it ties in neatly with the "robustness" property you like. In the family of trimmed means, the "street" arithmetic mean and the median lie at opposite ends with a spectrum between them.

— Silverfish