निरंतर चर की सशर्त संभावना

मान लीजिए कि यादृच्छिक चर $U$ मानकों 0 और 10 के साथ एक सतत वर्दी वितरण इस प्रकार (यानी $U \sim \rm{U}(0,10)$ )

अब आइए A को उस घटना को निरूपित करते हैं, जो $U$ = 5 और B की घटना है, जो $U$ या तो $5$ या 6 के बराबर है। मेरी समझ के अनुसार, दोनों घटनाओं के शून्य होने की संभावना है।

अब, अगर हम गणना करने के लिए विचार $P(A|B)$ , हम सशर्त कानून का उपयोग नहीं कर $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}$ , क्योंकिशून्य के बराबर है। हालाँकि, मेरा अंतर्ज्ञान मुझे बताता है कि। $P(B)$ $P(A|B) = 1/2$

conditional-probability continuous-data uniform

— अनाडी
स्रोत

क्या अपने अंतर्ज्ञान आपको बताती हैं कि होगा था असमान घनत्व ?

U

$U$

0.02 u, u \in (0, 10)

$0.02u, u \in (0,10)$

— दिलीप सरवटे

@DipipSarwate मेरी अंतर्ज्ञान मुझे बताएगी कि उत्तर संख्या 0.5 से थोड़ा कम है

— Noob

जवाबों:

"एक पृथक परिकल्पना के संबंध में एक सशर्त संभाव्यता की अवधारणा, जिसकी संभावना 0 के बराबर है, अप्राप्य है।" ए। कोलमोगोरोव

सतत यादृच्छिक चर के लिए, और कहते हैं, सशर्त वितरण को संपत्ति द्वारा परिभाषित किया जाता है कि वे मूल संभाव्यता माप को पुनर्प्राप्त करते हैं, अर्थात, सभी औसत दर्जे के सेट के लिए , , यह तात्पर्य है कि माप शून्य के सेट पर या अन्य शब्दों पर, सशर्त घनत्व को मनमाने ढंग से परिभाषित किया जाता है, कि सशर्त घनत्व लगभग हर जगह परिभाषित किया गया है । चूँकि सेट लेब्सगेग माप के विरुद्ध माप शून्य है, इसका मतलब यह है कि आप दोनों को परिभाषित कर सकते हैं $X$ $Y$ $A\in\mathcal{B}(\mathbf{X})$ $B\in\mathcal{B}(\mathbf{Y})$

P (X \in A, Y \in B) = \int_{B} d P_{Y} (y) \int_{B} d P_{X | Y} (x | y)

$\mathbb{P}(X\in A,Y\in B)=\int_B \text{d}P_Y(y) \int_B \text{d}P_{X|Y}(x|y)$

p_{X | Y} (x | y)

$p_{X|Y}(x|y)$

{5, 6}

$\{5,6\}$

p (5)

$p(5)$ और बिल्कुल मनमाने तरीके से और इसलिए कि प्रायिकता कोई भी मूल्य ले सकता है।

p (6)

$p(6)$

P (U = 5 | U \in {5, 6})

$\mathbb{P}(U=5|U\in\{5,6\})$

इसका मतलब यह नहीं है कि आप अनुपात सूत्र द्वारा एक सशर्त घनत्व को परिभाषित नहीं कर सकते हैं जैसा कि द्विभाजित सामान्य मामले में है लेकिन केवल इतना है कि घनत्व केवल लगभग हर जगह परिभाषित किया गया है और दोनों के लिए ।

f (y | x) = f (x, y) / f (x)

$f(y|x)=f(x,y)\big/f(x)$

x

$x$

y

$y$

"बहुत से व्यर्थ के तर्क दिए गए हैं - अन्यथा सक्षम संभाव्यवादियों के बीच - इनमें से कौन सा परिणाम 'सही' है।" ईटी जयन्स

यह तथ्य कि उपरोक्त उत्तर में सीमित तर्क (जब शून्य हो जाता है) एक स्वाभाविक और सहज जवाब देने के लिए लगता है जो बोरेल के विरोधाभास से संबंधित है । सीमा के मामलों में पैरामीरिसिएशन का विकल्प, जैसा कि निम्न उदाहरण द्वारा दिखाया गया है, मैं अपने अंडरग्रेजुएट कक्षाओं में उपयोग करता हूं। $\epsilon$

द्विचर सामान्य लो की सशर्त घनत्व क्या है यह देखते हुए कि ?

X, Y \overset{i.i.d.}{\sim} N (0, 1)

$X,Y\stackrel{\text{i.i.d.}}{\sim}\mathcal{N}(0,1)$ $X$ $X=Y$

यदि कोई संयुक्त घनत्व से शुरू होता है , तो "सहज" उत्तर [ लिए आनुपातिक है] । यह परिवर्तनशील चर पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है जहाँ का घनत्व । इसलिए और हालांकि , यदि कोई बदले के चर को मानता है का सीमांत घनत्व कॉची घनत्व है $\varphi(x)\varphi(y)$ $\varphi(x)^2$

(x, t) = (x, y - x) \sim φ (x) φ (t + x)

$(x,t)=(x,y-x) \sim \varphi(x)\varphi(t+x)$

T = Y - X

$T=Y-X$

φ (t / \sqrt{2}) / \sqrt{2}

$\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}$

f (x | t) = \frac{φ (x) φ (t + x)}{φ (t / \sqrt{2}) / \sqrt{2}}

$f(x|t)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(t+x)}{\varphi(t/\sqrt{2})/\sqrt{2}}$

f (x | t = 0) = \frac{φ (x) φ (x)}{φ (0 / \sqrt{2}) / \sqrt{2}} = φ (x)^{2} \sqrt{2}

$f(x|t=0)=\dfrac{\varphi(x)\varphi(x)}{\varphi(0/\sqrt{2})/\sqrt{2}}=\varphi(x)^2\sqrt{2}$

(x, r) = (x, y / x) \sim φ (x) φ (r x) | x |

$(x,r)=(x,y/x) \sim \varphi(x)\varphi(rx)|x|$

R = Y / X

$R=Y/X$

ψ (r) = 1 / π {1 + r^{2}}

$\psi(r)=1/\pi\{1+r^2\}$ और दिया गया का सशर्त घनत्व इसलिए, और यहां "विरोधाभास" निहित है: घटनाओं और के समान हैं , लेकिन वे पर विभिन्न सशर्त घनत्वों का नेतृत्व करते हैं ।

X

$X$

R

$R$

f (x | r) = φ (x) φ (r x) | x | \times π {1 + r^{2}}

$f(x|r)=\varphi(x)\varphi(rx)|x| \times \pi \{1+r^2\}$

f (x | r = 1) = π φ (x)^{2} | x | / 2 .

$f(x|r=1)= \pi\varphi(x)^2|x|/2\,.$

R = 1

$R=1$

T = 0

$T=0$

X = Y

$X=Y$

X

$X$

— शीआन
स्रोत

यह सीधे तौर पर गलत है। आप संभाव्यता सिद्धांत में एक कठोर पाठ्यक्रम ले, तो आप उपाय शून्य की घटनाओं पर कि कंडीशनिंग देखेंगे है संभव है, और व्यावहारिक। एक बिटिविएट गौसियन पर विचार करें। हर कोई जानता है कि आप मूल्य शून्य लेने वाले पहले चर पर शर्त लगा सकते हैं, हालांकि इस घटना में शून्य संभावना है। विकिपीडिया देखें en.wikipedia.org/wiki/…

— यार डॉन

यहां विवादास्पद जवाब दिया गया है:

शीआन सही है कि आप शून्य संभावना वाले घटनाओं पर शर्त नहीं लगा सकते। हालाँकि, यार यह भी सही है कि एक बार जब आप एक सीमित प्रक्रिया पर निर्णय लेते हैं , तो आप एक संभावना का मूल्यांकन कर सकते हैं। समस्या यह है कि वांछित स्थिति में आने वाली कई सीमित प्रक्रियाएं हैं।

$(1, 11)$ $p$ $1-p$

ध्यान दें कि कई सांख्यिकीविद् उदासीनता के सिद्धांत को स्वीकार नहीं करते हैं। मुझे यह पसंद है क्योंकि यह मेरे अंतर्ज्ञान को दर्शाता है। हालांकि मुझे हमेशा यकीन नहीं है कि इसे कैसे लागू किया जाए, शायद 50 वर्षों में यह अधिक मुख्यधारा होगी?

— नील जी
स्रोत

[0, 10]

$[0,10]$

5

$5$

0

$0$

6

$6$

\sqrt{1 - \frac{2}{\sqrt{5}}}

$\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{5}}}$

जब तक आप इसके मोड के आसपास फ़्लिप नहीं करते, तब तक फ़्लिपिंग तर्क कॉची वितरण के लिए काम नहीं करेगा।

— नील जी

यह सुनिश्चित करता है: दो मूल्यों को स्वैप करने वाले एक निरंतर वितरण को दूसरे में बदलने के बहुत सारे तरीके हैं। दरअसल, आपका "फ़्लिपिंग" मूल वितरण को संरक्षित नहीं करता था। (इसने अपना समर्थन पूरी तरह से बदल दिया।) इसलिए ऐसा प्रतीत होता है कि आप जो कर रहे हैं वह एक वितरण को दूसरे द्वारा प्रतिस्थापित कर रहा है। यहाँ किसी भी सिद्धांत का संचालन नहीं लगता है।

— whuber

@ व्हाइटर: इसने एक वितरण को दूसरे के साथ बदल दिया, जिससे 5 और 6 के आस-पास के समान क्षेत्र अपरिवर्तित थे - उसी तरह मुझे लगता है कि ज़ूम आउट करने से बर्ट्रेंड पेरोनॉक्स में मूल घेरे में अपरिवर्तित घनत्व को छोड़ने की कोशिश की जाती है ।

— नील जी

@ शुभकर्ता: आप सही कह रहे हैं। मुझे अपने एक प्रश्न का आलू का जवाब बहुत पसंद आया । मैं व्यक्तिगत रूप से सोचता हूं कि यदि सिद्धांत और अंतर्ज्ञान के बीच विसंगति है, तो हमें नए, अधिक पूर्ण सिद्धांतों की तलाश करनी चाहिए। हो सकता है कि "उदासीनता का सिद्धांत" बहुत सही नहीं है, या आम तौर पर व्यावहारिक नहीं है, लेकिन मुझे उन सवालों का जवाब देने के लिए संभाव्यता सिद्धांत की स्वाभाविक इच्छा है, जिनके लिए हमारे पास सहज ज्ञान है। हो सकता है कि लेब्सेग ने रीमैन एकीकरण के बारे में उसी तरह का गुस्सा था जब उसने अपना अभिन्न अंग बनाया था?

— नील जी

$A = [5 - \frac{\epsilon}{2} , 5 + \frac{\epsilon}{2}]$ $B = [5 - \frac{\epsilon}{4} , 5 + \frac{\epsilon}{4}] \cup [6 - \frac{\epsilon}{4} , 6 + \frac{\epsilon}{4}]$ $\epsilon \to 0$

$(X_1, X_2) \sim \mathcal{N}(0, \Sigma)$ $X_1$ $X_2 = 0$ $P(\xi = a) = 0$

तो, हाँ, आप माप शून्य की घटनाओं पर कंडीशनिंग को अर्थ दे सकते हैं।

— यार दॉन
स्रोत

U \sim U [0, 10]

$U\sim \text{U}[0,10]$

0

$0$

10

$10$

A = {0}

$A=\{0\}$

B = {0, 6}

$B=\{0,6\}$

P (A | B) = 1 / 2

$P(A|B)=1/2$

[0, 10]

$[0,10]$

1 / 3

$1/3$

5

$5$

0

$0$

0

$0$

ε

$\varepsilon$

P (A | B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = \frac{\int_{5 - \frac{ε}{4}}^{5 + \frac{ε}{4}} f (u) d u}{\int_{5 - \frac{ε}{4}}^{5 + \frac{ε}{4}} f (u) d u + \int_{6 - \frac{ε}{4}}^{6 + \frac{ε}{4}} f (u) d u} = \frac{\frac{ε}{2}}{\frac{ε}{2} + \frac{ε}{2}} = 0.5

$P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\int\limits_{5 - \frac{\varepsilon }{4}}^{5 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} }}{{\int\limits_{5 - \frac{\varepsilon }{4}}^{5 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} + \int\limits_{6 - \frac{\varepsilon }{4}}^{6 + \frac{\varepsilon }{4}} {f\left( u \right)du} }} = \frac{{\frac{\varepsilon }{2}}}{{\frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2}}} = 0.5$

[5 - \frac{ε}{8}, 5 + \frac{ε}{8}]

$\left[ {5 - \frac{\varepsilon }{8},5 + \frac{\varepsilon }{8}} \right]$

\frac{1}{8}

${\frac{1}{8}}$

यह दिखाने के लिए अंतर्ज्ञान के लिए उत्कृष्ट है कि कोई अनूठा जवाब नहीं है: वह कोलमोगोरोव के बयान का आधार है जो शीआन द्वारा उद्धृत किया गया है। तथ्य यह है कि चीजों को बनाने के लिए आपको अपनी प्रक्रिया को बदलना होगा जैसा कि आपने सोचा था कि उन्हें इस दृष्टिकोण के साथ समस्याओं के प्रति सचेत करना चाहिए।

— whuber

X_{2}

$X_2$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

X_{1} = 0

$X_1=0$