परिपत्र आँकड़ों में उच्च क्षणों के लिए अंतर्ज्ञान

Question

परिपत्र के आंकड़ों में, एक यादृच्छिक चर की उम्मीद के मूल्य सर्कल पर मूल्यों के साथ एस के रूप में परिभाषित किया गया है मी 1 ( जेड ) = ∫ एस जेड पी जेड ( θ ) घ θ (देखें विकिपीडिया )। यह एक बहुत ही प्राकृतिक परिभाषा है, जैसा कि विचरण की परिभाषा V a r ( Z ) = 1 - | एम 1 ( जेड ) | । इसलिए हमें विचरण को परिभाषित करने के लिए दूसरे क्षण की आवश्यकता नहीं थी!$Z$$S$

$$m_1(Z)=\int_S z P^Z(\theta)\textrm{d}\theta$$ $$\mathrm{Var}(Z)=1-|m_1(Z)|.$$

फिर भी, हम परिभाषित उच्च क्षणों मैं मानता हूं कि यह पहली नजर में स्वाभाविक और स्वाभाविक है, और रैखिक आंकड़ों में परिभाषा के समान है। लेकिन फिर भी मैं थोड़ा असहज महसूस करता हूं, और निम्नलिखित है

$$m_n(Z)=\int_S z^n P^Z(\theta)\textrm{d}\theta.$$

प्रशन:

1. ऊपर परिभाषित (सहज रूप से) उच्चतर क्षणों को क्या मापा जाता है ? वितरण के कौन से गुण उनके क्षणों की विशेषता हो सकते हैं?

2. उच्च क्षणों की गणना में हम जटिल संख्याओं के गुणन का उपयोग करते हैं, हालांकि हम अपने यादृच्छिक चर के मूल्यों को केवल विमान या कोण के रूप में समझते हैं। मुझे पता है कि जटिल गुणा अनिवार्य रूप से इस मामले में कोणों के अतिरिक्त है, लेकिन फिर भी: क्यों जटिल गुणा परिपत्र डेटा के लिए एक सार्थक संचालन है?

Answer 1

$P^Z$$Z$$1$$Z$$[0,2\pi)$

आपके दूसरे प्रश्न के रूप में, मुझे लगता है कि आपने पहले ही जवाब दे दिया था: "इस मामले में जटिल गुणा अनिवार्य रूप से कोण के अतिरिक्त है"।

Comments

धन्यवाद, यह वास्तव में मददगार है। (मेरी तरफ शर्म की बात है कि फ़ॉयर सीरीज़ को पहचानने के लिए भी नहीं, जब तक कि उसकी ओर चोट न की जाए ...)

— रासमस

क्या इसका मतलब यह है कि एक परिपत्र वितरण के क्षणों की तुलना उसके क्षणों के बजाय एक रैखिक वितरण की विशेषता फ़ंक्शन से की जानी चाहिए?

— रासमस

@ रासमस: मुझे लगता है कि आप सूचना के साथ क्या करना चाहते हैं, इस पर निर्भर करता है, लेकिन सामान्य तौर पर मैं हां कहूंगा।

— मार्क मेकज़