यदि X / Y का Z के समान वितरण है, तो क्या यह सच है कि X का YZ के समान वितरण है?

Question

बता दें कि X, Y और Z तीन स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं। यदि X / Y का Z के समान वितरण है, तो क्या यह सच है कि X का YZ के समान वितरण है?

Comments

के मामले पर विचार करें $X$ तथा $Y$ मानक सामान्य और $Z$एक मानक कॉची यादृच्छिक चर (प्रश्न के आधार के अनुसार सभी तीन स्वतंत्र होने के साथ)। यह अच्छी तरह से पता हैं कि$X/Y$एक मानक कॉची वितरण ( के समान ) है, लेकिन में मानक सामान्य वितरण नहीं है (चूंकि मौजूद नहीं है)। इसलिए आपको (cf. सिल्वरफ़िश के उत्तर) पर अतिरिक्त प्रतिबंधों की आवश्यकता है उदाहरण के लिए कोई भी उम्मीद की जा सकती है कि इसका परिणाम क्या होगा। $Z$$YZ$$E[YZ]$$X, Y, Z$

— दिलीप सरवटे

@ दिलीप ने मुझे अपने प्रतिरूप के रूप में उपयोग करने पर विचार किया लेकिन इससे दूर भाग गया क्योंकि मैं का संक्षिप्त विवरण क्यों नहीं सोच सकता । यदि आपके पास एक नीरस तर्क है, तो आपको इसे एक उत्तर के रूप में पोस्ट करना चाहिए जो मुझे लगता है। (जैसा कि आप शायद बता सकते हैं, मैंने अपने जवाब में जानबूझकर जीरो और इनफिनिटी को टाला है, इसलिए मैं ऐसी चीज़ से बचने के लिए बहुत उत्सुक था जो अनंत भी नहीं है!)$E[YZ]$

— सिल्वरफ़िश

@Dilip चूंकि Cauchy है, इसलिए मौजूद नहीं है, ऐसा लगता है कि मुझे अनंतिम मुलाकात नहीं मिली है और कथन बारे में कुछ नहीं कहता है । तुलना के लिए: यदि Cauchy है और का पतित वितरण , तो यह मौजूद है (और शून्य के बराबर है) भले ही नहीं है। $Z$$E[Z]$$E[YZ]$$Z$$Y$$P(Y=0)=1$$E[YZ]$$E[Z]$

— सिल्वरफिश

सबसे सरल, और शायद सबसे सहज, संभव प्रतिपक्षों में से एक है $X=1$ तथा $Y$ में नहीं होने के कुछ मौका के साथ किसी भी वितरण हो $\{-1,0,1,\pm\infty\}$ (जबसे $\pm 1$ के निश्चित बिंदु हैं $y\to 1/y$ तथा $0,\infty,$ तथा $-\infty$ की परिभाषा में समस्याग्रस्त हैं $X/Y$किसी कार्यक्रम में)। फिर$YZ$ जबकि स्पष्ट रूप से स्थिर नहीं है $X$है।

— whuber

@Silverfish $E[YZ]$ केवल तभी परिभाषित किया जाता है $E[|YZ|]$परिमित है। परंतु,$E[|YZ|]=E[|Y|\cdot |Z|]=E[|Y|]E[|Z|]$ जबसे $|Y|$ तथा $|Z|$स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं। लेकिन जबसे$E[|Z|]$ परिमित नहीं है और $E[|Y|]>0$, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं $E[|YZ|]$ परिमित नहीं है (के मूल्य के बारे में कोई समस्या नहीं है $0\times\infty$)। इसके फलस्वरूप,$E[YZ]$ परिभाषित नहीं है (या मौजूद नहीं है) जबकि $E[X]$ बहुत निश्चित रूप से मौजूद है और मूल्य है $0$।

— दिलीप सरवटे

Answer 1

यह हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि$X$, $Y$ तथा $Z$स्वतंत्र रेडीमर चर हैं, अर्थात वे समान संभावना के साथ 1 या -1 हो सकते हैं। इस मामले में$X/Y$ रेडिमैचर भी है, इसलिए इसका समान वितरण है $Z$, जबकि $YZ$ रेडमीचर है, इसलिए इसका समान वितरण है $X$।

लेकिन यह सामान्य रूप से नहीं होगा। जब तक साधन मौजूद हैं, तब तक के लिए आवश्यक (लेकिन पर्याप्त नहीं) स्थितियां हैं$X/Y$ उसी के समान वितरण है $Z$, और किसके लिए $YZ$ उसी के समान वितरण है $X$, होने वाला:

$$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(XY^{-1}) = \mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y^{-1})$$ $$\mathbb{E}(X) = \mathbb{E}(YZ) = \mathbb{E}(Y)\mathbb{E}(Z)$$

स्वतंत्रता के बाद दूसरी समानताएँ। स्थानापन्न देता है:

$$\mathbb{E}(Z) = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Z) \mathbb{E}(Y^{-1})$$

अगर $\mathbb{E}(Z) \neq 0$ फिर $1 = \mathbb{E}(Y) \mathbb{E}(Y^{-1})$, या समकक्ष, इतने लंबे समय के रूप में $\mathbb{E}(Y) \neq 0$,

$$\mathbb{E}(Y^{-1}) = \frac{1}{\mathbb{E}(Y)}$$

यह सामान्य रूप से सच नहीं है। उदाहरण के लिए, चलो$Y$एक अनुवादित बर्नौली चर हो जो मान लेता है$1$ या $2$ समान संभावना के साथ, इसलिए $\mathbb{E}(Y)=1.5$। फिर$Y^{-1}$ मान लेता है $1$ या $0.5$ समान संभावना के साथ, इसलिए $\mathbb{E}(Y^{-1})=0.75 \neq 1.5^{-1}$। (मैं इसे पाठक की कल्पना, कैसे नाटकीय असर यह एक का उपयोग करना पड़ता होगा करने के लिए छोड़ अनुवाद नहीं किए बजाय Bernouilli चर, या एक केवल थोड़ा अनुवाद तो यह साथ संभावना एक आधा। नोट बहुत 0 के करीब है Rademacher उदाहरण में नहीं था यहाँ कोई समस्या नहीं है क्योंकि सभी तीन उम्मीदें शून्य थीं, ध्यान दें कि यह स्थिति पर्याप्त नहीं है।)

हम यह कैसे पता लगा सकते हैं $Y$अधिक स्पष्ट प्रतिसाद का निर्माण करके विफल हो जाता है। चीजों को सरल रखने के लिए, मान लीजिए$X$ एक स्केल बर्नौली है और मान लेता है $0$ या $2$समान संभावना के साथ। फिर$X/Y$ या तो $0/1$, $0/2$, $2/1$ या $2/2$समान संभावना के साथ। यह स्पष्ट है कि$P(X/Y=0)=\frac{1}{2}$, $P(X/Y=1)=\frac{1}{4}$ तथा $P(X/Y=2)=\frac{1}{4}$। चलो$Z$एक ही वितरण से तैयार किया गया एक स्वतंत्र चर हो। का वितरण क्या है$YZ$? क्या यह वितरण के समान है$X$? हमें यह देखने की भी पूरी संभावना नहीं है कि यह संभव नहीं है; यह याद करने के लिए पर्याप्त है$X$ केवल शून्य या दो जबकि हो सकता है $YZ$ किसी भी मूल्य को आप गुणा करने से प्राप्त कर सकते हैं $\{1,2\}$ एक के द्वारा $\{0,1,2\}$।

यदि आप इस कहानी के लिए एक नैतिक चाहते हैं, तो स्केल्ड और अनुवादित बर्नौली चर के साथ खेलने का प्रयास करें (जिसमें रैडेमाकर चर भी शामिल है)। वे उदाहरणों का निर्माण करने का एक सरल तरीका हो सकते हैं - और प्रतिकण। यह समर्थन में कम मान रखने में मदद करता है ताकि चर के विभिन्न कार्यों के वितरण को आसानी से हाथ से काम किया जा सके।

और भी अधिक चरम हम पतित चरों पर विचार कर सकते हैं जिनके समर्थन में केवल एक ही मूल्य है। अगर$X$ तथा $Y$ पतित (साथ) हैं $Y\neq 0$) फिर $Z=X/Y$ भी होगा, और इसलिए का वितरण $YZ$ के मान से मेल खाएगा $Z$। मेरे रेडीमर उदाहरण की तरह, यह एक स्थिति है जो आपकी स्थितियों को दिखा सकती है से संतुष्ट सकता है। अगर इसके बजाय, जैसा कि @whuber टिप्पणियों में सुझाव देता है, हम करते हैं$X$ से पतित हो $P(X=1)$, लेकिन अनुमति दें $Y$भिन्न करने के लिए, फिर एक सरल काउंटरेक्सप्लांट का निर्माण करना बहुत आसान है। अगर$Y$ दो परिमित, गैर-शून्य मान ले सकते हैं - $a$ तथा $b$, कहते हैं - सकारात्मक संभावना के साथ, फिर $X/Y$, और इसलिए $Z$, मान ले सकते हैं $a^{-1}$ तथा $b^{-1}$। अभी$YZ$ इसलिए है $ab^{-1} \neq 1$ इसके समर्थन में, इसलिए समान वितरण का पालन नहीं किया जा सकता है $X$। यह मेरे तर्क के समान है, लेकिन मेरे तर्क से यह आसान है कि समर्थन मेरे मूल प्रतिरूप में मेल नहीं खा सकता है।

Comments

$\newcommand\E{\mathbb{E}}$मान लो कि $\Pr(Y > 0) = 1$। उसके बाद से$1/x$ पर उत्तल कार्य है $(0, \infty)$, जेन्सेन की असमानता हमें बताती है कि हालत $\E Y = \E \frac{1}{Y}$ तभी धारण करता है $Y$पतित है। वही सच है अगर$\Pr(Y < 0) = 1$किस स्थिति में 1 / x अवतल है। तो अगर$Y$निश्चित संकेत नहीं है, लेकिन पतित नहीं है, आवश्यक शर्त पकड़ नहीं सकता है।

— डगल

@ डगल इस उल्लेख के लिए धन्यवाद। लिखते समय, मैंने इसके बारे में सोचा, लेकिन लगा कि संकेतों आदि की चर्चा प्रवाह को तोड़ देगी। मैंने केवल यह कहने के बारे में सोचा कि "जेन्सेन की असमानता देखें" और एक विकिपीडिया या इसी तरह की लिंक को जोड़ना, लेकिन फिर फैसला किया कि यह एक अच्छा विचार नहीं था क्योंकि मैं इसे उत्तल परिस्थितियों से नहीं बचा था, जिससे मैं बचने की कोशिश कर रहा था। इसके बजाय, मुझे यह देखने के लिए एक नज़र रखना था कि क्या कहीं (शायद एक सीवी धागा) है जहां एक आरवी के गैर-रैखिक कार्यों की अपेक्षा सामान्य रूप से चर्चा की जाती है, जो स्वाभाविक रूप से जेन्सन के लिए एक जिज्ञासु पाठक का नेतृत्व करेगी, लेकिन मैंने कुछ भी नहीं देखा मुझे अभी तक पसंद है।

— सिल्वरफिश

@ डगल यह उन समयों में से एक है जिसमें खूबसूरती से सरल प्रतिपक्षों के बीच थोड़ी बहुत झड़प होती है - कुछ बहुत आसानी से गणना की जाती है, इसलिए कोई व्यक्ति जो गलतफहमी में है, वह तुरंत देख सकता है यह असंभव या गलत है - और अधिक संपूर्ण, सामान्य उपचार जो वास्तव में मदद करता है कुछ शर्तों के तहत दिखाएँ कि वास्तव में क्या हो सकता है (लेकिन जो कुछ पाठकों के लिए बहुत कठिन हो सकता है, और इसलिए उनके लिए कम आश्वस्त)। पर आर.वी.$\{1,2\}$ एक शुरुआत भी क्यों दिखाता है $E(1/Y)$ के रूप में अच्छी तरह से काम नहीं करता है $E(aY+b)$लेकिन जेन्सेन के बारे में और अधिक क्यों कहते हैं!

— सिल्वरफिश

हां, अच्छी बात है, हालांकि मैं उन स्थितियों के बारे में उत्सुक हूं जब यह (प्रतीत होता है कि स्वाभाविक) संबंध पकड़ सकता है, जो काफी सीमित प्रतीत होता है। ध्यान दें कि ऊपर मेरी टिप्पणी में, मैंने स्थिति को गलत बताया है: यह निश्चित रूप से होना चाहिए$\frac{1}{\E Y} = \E \frac{1}{Y}$।

— डगल

@ डगल मुझे लगता है कि पतित आरवी से परे ऐसे रिश्ते "स्वाभाविक" नहीं हैं, जैसा कि वे पहले दिखाई देते हैं। विचार करें$Z$ के समान वितरण है $X+Y$ तथा $Y$ के समान वितरण है $Z-X$, और तीनों स्वतंत्र हैं ... फिर यह सामान्य रूप से पकड़ में नहीं आता है।

— सिल्वरफिश