"एक संभावना घनत्व समारोह के नीचे कुल क्षेत्र 1 है" - किस के सापेक्ष?

Question

वैचारिक रूप से मैं वाक्यांश का अर्थ समझ लेता हूं "एक पीडीएफ के नीचे का कुल क्षेत्र 1 है"। इसका मतलब यह होना चाहिए कि संभावनाओं के कुल अंतराल में परिणाम की संभावना 100% है।

लेकिन मैं वास्तव में इसे "ज्यामितीय" दृष्टिकोण से नहीं समझ सकता। यदि, उदाहरण के लिए, एक पीडीएफ में एक्स-एक्सस लंबाई का प्रतिनिधित्व करता है, तो क्या वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल बड़ा नहीं होगा यदि एक्स को किमी के बजाय मिमी में मापा गया था?

मैं हमेशा यह देखने की कोशिश करता हूं कि वक्र के नीचे का क्षेत्र कैसा दिखेगा यदि फ़ंक्शन सीधी रेखा में चपटा हो। क्या उस लाइन की ऊँचाई (y- अक्ष पर स्थिति) किसी भी PDF के लिए समान होगी, या उसके पास x- अक्ष पर अंतराल पर एक मान आकस्मिक होगा जिसके लिए फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है?

Comments

आप किमी से मिमी तक $x$ अक्ष का पैमाना बदल सकते हैं लेकिन उस राशि का क्या होगा? आपके पास $x$ अक्ष पर इकाइयों के लिए अभी भी एक ही चित्र और छह और शून्य होंगे । आप चाहें तो ज़ूम इन या ज़ूम आउट कर सकते हैं, लेकिन इससे तस्वीर नहीं बदलेगी। इस बीच, अगर पीडीएफ वक्र एक सीधी क्षैतिज रेखा (जो समान वितरण का तात्पर्य है) है, पर उसकी स्थिति $y$ अक्ष की इकाइयों पर निर्भर नहीं करता $x$ अक्ष लेकिन केवल पर अंतराल की लंबाई पर $x$ अक्ष। यह निश्चित नहीं है कि यह आपके लिए कितना उपयोगी है, लेकिन मेरे लिए ज़ूम इन और आउट करने के विचार को समझना आसान है।

— रिचर्ड हार्डी

यह सच प्रतीत होता है। लेकिन यह एक तरह से (संयुक्त रूप से अजीब) आवर्धक ग्लास का उपयोग है जो क्षैतिज दिशा में 1000 तक बढ़ाता है और एक ही समय में ऊर्ध्वाधर दिशा में आनुपातिक रूप से सिकुड़ता है। लेकिन तस्वीर का सार बदल नहीं जाएगा यदि आप केवल पैमाने बदलते हैं।

— रिचर्ड हार्डी

यह प्रश्न मुझे उसी के समान प्रतीत होता है, जो किसी ने (एक अलग तरीके से) पूछा था और आँकड़े.स्टैकएक्सचेंज . com / questions / 4220/… पर जवाब दिया था ।

— whuber

@amoeba, हाँ, जबकि कई लोग इसमें लगाए गए प्रयासों की मान्यता में लंबे समय तक जवाब देने के लिए मजबूर महसूस कर सकते हैं (जो मैंने भी किया था, btw), अक्षल ने मेरे प्रश्न का उत्तर अधिक स्पष्ट और संक्षिप्त रूप से दिया। निष्पक्ष होने के लिए मैं कहूंगा कि सिल्वरफ़िश के उत्तर ने भी मदद की और एक दूसरे नंबर पर आएगा।

— TheChymera

@amoeba उत्तर की एक पूरी तरह से अलग दिशा इस तथ्य पर ध्यान केंद्रित करने के लिए हो सकती है कि पीडीएफ सीडीएफ के डेरिवेटिव हैं, इसलिए पीडीएफ के तहत क्षेत्र केवल सीडीएफ का सीमित मूल्य है - जो स्पष्ट रूप से एक है, भले ही इस्तेमाल की गई इकाइयों की परवाह किए बिना। मुझे इस पर एक छोटा खंड शामिल करने के लिए लुभाया गया, लेकिन लगा कि मेरा उत्तर पहले से ही काफी लंबा था (और इसके अलावा, ओपी के मुद्दे की कुंजी इकाइयों का मुद्दा था, जो सीडीएफ दृष्टिकोण के बजाय स्कर्ट के आसपास था)।

— सिल्वरफिश

Answer 1

आपके x- अक्ष के माप की प्रति इकाई प्रतिशतता में प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन को मापा जाता है। चलो का कहना है कि किसी भी बिंदु पर $x_0$ अपने पीडीएफ 1000 के बराबर इसका मतलब यह है कि की संभावना $x_0<x<x_0+dx$ है $1000\,dx$ जहाँ$dx$ मीटर में है। यदि आप इकाइयों को सेंटीमीटर में बदलते हैं, तो संभावना एक ही अंतराल के लिए नहीं बदलनी चाहिए, लेकिन एक ही अंतराल में मीटर से 100 सेंटीमीटर अधिक है, इसलिए$1000\,dx=PDF'(x_0')\cdot100\,dx'$ और हम मिल सुलझाने$PDF'(x_0')=\frac{PDF(x_0)}{100}$ । प्रति मीटर की तुलना में 100 सेंटीमीटर कम संभावनाएं (प्रतिशत) प्रति सेंटीमीटर हैं।

Answer 2

यह आपको यह महसूस करने में मदद कर सकता है कि ऊर्ध्वाधर अक्ष को संभाव्यता घनत्व के रूप में मापा जाता है । इसलिए यदि क्षैतिज अक्ष को किमी में मापा जाता है, तो ऊर्ध्वाधर अक्ष को "प्रति किमी" संभावना घनत्व के रूप में मापा जाता है। मान लीजिए कि हम ऐसे ग्रिड पर एक आयताकार तत्व खींचते हैं, जो 5 "किमी" चौड़ा और 0.1 "प्रति किमी" ऊंचा है (जिसे आप "किमी - 1 " के रूप में लिखना पसंद कर सकते हैं )। इस आयत का क्षेत्रफल 5 किमी x 0.1 किमी - 1 = 0.5 है। इकाइयाँ रद्द हो जाती हैं और हम केवल एक आधे की संभावना के साथ रह जाते हैं।$^{-1}$$^{-1}$

यदि आपने क्षैतिज इकाइयों को "मीटर" में बदल दिया है, तो आपको ऊर्ध्वाधर इकाइयों को "प्रति मीटर" में बदलना होगा। आयत अब 5000 मीटर चौड़ा होगा, और इसका घनत्व (ऊंचाई) 0.0001 प्रति मीटर होगा। आप अभी भी एक आधे की संभावना के साथ बचे हैं। आप इस बात से हैरान हो सकते हैं कि ये दोनों ग्राफ़ एक दूसरे की तुलना में पृष्ठ पर कितने अजीब दिखेंगे (किसी को एक दूसरे की तुलना में बहुत व्यापक और छोटा नहीं होना चाहिए?), लेकिन जब आप शारीरिक रूप से उन भूखंडों को खींच रहे हैं जो आप उपयोग कर सकते हैं जो भी हो? आपको पसंद है। देखने के लिए नीचे देखें कि किस तरह से कम विचित्रता की आवश्यकता है।

संभावना घनत्व घटता पर आगे बढ़ने से पहले आपको हिस्टोग्राम पर विचार करना उपयोगी हो सकता है। कई मायनों में वे अनुरूप हैं। हिस्टोग्राम की ऊर्ध्वाधर अक्ष आवृत्ति घनत्व है [प्रति इकाई]$x$ और क्षेत्र बार-बार आवृत्तियों का प्रतिनिधित्व करते हैं, क्योंकि क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर इकाइयां गुणा पर रद्द हो जाती हैं। पीडीएफ वक्र एक हिस्टोग्राम के निरंतर संस्करण का एक प्रकार है, जिसमें कुल आवृत्ति एक के बराबर है।

सम समरूप सादृश्य एक सापेक्ष आवृत्ति हिस्टोग्राम है - हम कहते हैं कि इस तरह के हिस्टोग्राम को "सामान्यीकृत" किया गया है, जिससे कि क्षेत्र तत्व अब कच्चे आवृत्तियों के बजाय आपके मूल डेटा सेट के अनुपात का प्रतिनिधित्व करते हैं , और सभी सलाखों का कुल क्षेत्र एक है। ऊंचाइयों अब कर रहे हैं सापेक्ष आवृत्ति घनत्व [प्रति इकाई]$x$ । यदि एक रिश्तेदार आवृत्ति हिस्टोग्राम में एक पट्टी होती है जो x के साथ चलती है$x$मान 20 किमी से 25 किमी तक (इसलिए बार की चौड़ाई 5 किमी है) और 0.1 किमी प्रति किमी के सापेक्ष आवृत्ति घनत्व है, तो उस बार में डेटा का 0.5 अनुपात होता है। यह इस विचार से बिल्कुल मेल खाता है कि आपके डेटा सेट से एक बेतरतीब ढंग से चुनी गई वस्तु में उस पट्टी में झूठ बोलने की 50% संभावना है। इकाइयों में परिवर्तनों के प्रभाव के बारे में पिछला तर्क अभी भी लागू होता है: इन दो भूखंडों के लिए 20,000 किमी से 25,000 मीटर की दूरी पर 20 किमी में 25 किमी बार में पड़े आंकड़ों के अनुपात की तुलना करें। आप अंकगणितीय रूप से यह भी पुष्टि कर सकते हैं कि सभी पट्टियों के क्षेत्र दोनों मामलों में एक के बराबर हैं।

मेरे दावे से मेरा क्या मतलब हो सकता है कि पीडीएफ "हिस्टोग्राम के निरंतर संस्करण का एक प्रकार है"? के, एक प्रायिकता घनत्व वक्र के तहत एक छोटी सी पट्टी ले साथ चलो अंतराल में मूल्यों [ एक्स , एक्स + δ x ] , इसलिए पट्टी है δ एक्स विस्तृत, और वक्र की ऊंचाई लगभग स्थिर है च ( एक्स ) । हम उस ऊंचाई की पट्टी खींच सकते हैं, जिसका क्षेत्रफल f ( x $x$$[x, x + \delta x]$$\delta x$$f(x)$ उस पट्टी में झूठ बोलने की अनुमानित संभावना का प्रतिनिधित्व करता है।$f(x) \, \delta x$

और x = b के बीच की वक्र के नीचे का क्षेत्र हमें कैसे मिल सकता है ? हम छोटे अंतरालों में उस अंतराल को घटा सकते हैं और सलाखों के क्षेत्रों का योग ले सकते हैं, ( f ( x $x=a$$x=b$ , जो अंतराल [ ए , बी ] में झूठ बोलने की अनुमानित संभावना के अनुरूप होगा। हम देखते हैं कि वक्र और बार ठीक से संरेखित नहीं होते हैं, इसलिए हमारे सन्निकटन में एक त्रुटि है। करके δ एक्स छोटे और प्रत्येक बार के लिए छोटे, हम अधिक से संकरा सलाखों, जिसका साथ अंतराल को भरने Σ च ( एक्स $\sum f(x) \, \delta x$$[a,b]$$\delta x$ क्षेत्र का एक बेहतर अनुमान प्रदान करता है।$\sum f(x) \, \delta x$

बल्कि यह सोचते हैं की तुलना में ठीक क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, प्रत्येक पट्टी, हम अभिन्न मूल्यांकन भर में लगातार था ∫ ख एक च ( एक्स ) घ एक्स , और अंतराल में झूठ बोल की सच्ची संभावना को यह मेल खाती है [ एक , ख ] । पूरे वक्र पर एकीकरण एक कुल क्षेत्र (यानी कुल संभावना) को एक ही देता है, उसी कारण से जो एक रिश्तेदार आवृत्ति हिस्टोग्राम के सभी बार के क्षेत्रों को समेटता है, एक के कुल क्षेत्र (यानी कुल अनुपात) देता है। एकीकरण स्वयं एक राशि लेने के निरंतर संस्करण का एक प्रकार है।$f(x)$$\int_a^b f(x) dx$$[a,b]$

भूखंडों के लिए आर कोड

require(ggplot2)
require(scales)
require(gridExtra)
# Code for the PDF plots with bars underneath could be easily readapted

# Relative frequency histograms
x.df <- data.frame(km=c(rep(12.5, 1), rep(17.5, 2), rep(22.5, 5), rep(27.5, 2)))
x.df$metres <- x.df$km * 1000

km.plot <- ggplot(x.df, aes(x=km, y=..density..)) +
  stat_bin(origin=10, binwidth=5, fill="steelblue", colour="black") +
  xlab("Distance in km") + ylab("Relative frequency density per km") +
  scale_y_continuous(minor_breaks = seq(0, 0.1, by=0.005))

metres.plot <- ggplot(x.df, aes(x=metres, y=..density..)) +
  stat_bin(origin=10000, binwidth=5000, fill="steelblue", colour="black") +
  xlab("Distance in metres") + ylab("Relative frequency density per metre") +
  scale_x_continuous(labels = comma) +
  scale_y_continuous(minor_breaks = seq(0, 0.0001, by=0.000005), labels=comma)

grid.arrange(km.plot, metres.plot, ncol=2)
x11()

# Probability density functions
x.df <- data.frame(x=seq(0, 1, by=0.001))
cutoffs <- seq(0.2, 0.5, by=0.1) # for bars
barHeights <- c(0, dbeta(cutoffs[1:(length(cutoffs)-1)], 2, 2), 0) # uses left of bar

x.df$pdf <- dbeta(x.df$x, 2, 2)
x.df$bar <-  findInterval(x.df$x, cutoffs) + 1 # start at 1, first plotted bar is 2
x.df$barHeight <- barHeights[x.df$bar]

x.df$lastBar <- ifelse(x.df$bar == max(x.df$bar)-1, 1, 0) # last plotted bar only
x.df$lastBarHeight <- ifelse(x.df$lastBar == 1, x.df$barHeight, 0)
x.df$integral <- ifelse(x.df$bar %in% 2:(max(x.df$bar)-1), 1, 0) # all plotted bars
x.df$integralHeight <- ifelse(x.df$integral == 1, x.df$pdf, 0)

cutoffsNarrow <- seq(0.2, 0.5, by=0.025) # for the narrow bars
barHeightsNarrow <- c(0, dbeta(cutoffsNarrow[1:(length(cutoffsNarrow)-1)], 2, 2), 0) # uses left of bar
x.df$barNarrow <-  findInterval(x.df$x, cutoffsNarrow) + 1 # start at 1, first plotted bar is 2
x.df$barHeightNarrow <- barHeightsNarrow[x.df$barNarrow]

pdf.plot <- ggplot(x.df, aes(x=x, y=pdf)) +
  geom_area(fill="lightsteelblue", colour="black", size=.8) +
  ylab("probability density") +
  theme(panel.grid = element_blank(),
  axis.text.x = element_text(colour="black", size=16))

pdf.lastBar.plot <- pdf.plot +
  scale_x_continuous(breaks=tail(cutoffs, 2), labels=expression(x, x+delta*x)) +
  geom_area(aes(x=x, y=lastBarHeight, group=lastBar), fill="steelblue", colour="black", size=.8) +
  annotate("text", x=0.73, y=0.22, size=6, label=paste("P(paste(x<=X)<=x+delta*x)%~~%f(x)*delta*x"), parse=TRUE)

pdf.bars.plot <- pdf.plot +
  scale_x_continuous(breaks=cutoffs[c(1, length(cutoffs))], labels=c("a", "b")) +
  geom_area(aes(x=x, y=barHeight, group=bar), fill="steelblue", colour="black", size=.8) +
  annotate("text", x=0.73, y=0.22, size=6, label=paste("P(paste(a<=X)<=b)%~~%sum(f(x)*delta*x)"), parse=TRUE)

pdf.barsNarrow.plot <- pdf.plot +
  scale_x_continuous(breaks=cutoffsNarrow[c(1, length(cutoffsNarrow))], labels=c("a", "b")) +
  geom_area(aes(x=x, y=barHeightNarrow, group=barNarrow), fill="steelblue", colour="black", size=.8) +
  annotate("text", x=0.73, y=0.22, size=6, label=paste("P(paste(a<=X)<=b)%~~%sum(f(x)*delta*x)"), parse=TRUE)

pdf.integral.plot <- pdf.plot +
  scale_x_continuous(breaks=cutoffs[c(1, length(cutoffs))], labels=c("a", "b")) +
  geom_area(aes(x=x, y=integralHeight, group=integral), fill="steelblue", colour="black", size=.8) +
  annotate("text", x=0.73, y=0.22, size=6, label=paste("P(paste(a<=X)<=b)==integral(f(x)*dx,a,b)"), parse=TRUE)

grid.arrange(pdf.lastBar.plot, pdf.bars.plot, pdf.barsNarrow.plot, pdf.integral.plot, ncol=2)

Comments

आपने इसे पहली दो पंक्तियों के साथ जोड़ा है, लेकिन बाकी सब उतना ही अच्छा है।

— पैट्रिक टीटी

@PatrickT धन्यवाद - शिक्षण का अनुभव बताता है कि कभी-कभी आपको पेनी ड्रॉप होने से पहले कुछ चीजों की कोशिश करनी होती है, क्योंकि विभिन्न शिक्षार्थी (या पाठक) ज्ञान के विभिन्न स्तरों के साथ आते हैं। पहली दो पंक्तियों को किसी भी पाठक को समझाना चाहिए जो आयामी विश्लेषण जानता है (उदाहरण के लिए यदि अध्ययन किए गए भौतिक विज्ञान या इंजीनियरिंग के लिए), लेकिन मुझे उम्मीद है कि प्लॉट बाकी को छाँट लेंगे! मेरे अनुभव में हिस्टोग्राम दृष्टिकोण उन छात्रों के लिए अच्छी तरह से काम करता है जो इससे पहले आए हैं; "सापेक्ष आवृत्ति घनत्व" और "प्रायिकता घनत्व" के बीच की खाई से पुल के लिए आसान है । $f(x)=F'(x)$

— सिल्वरफिश

@Silverfish: यह पहली बार है जब मैंने किसी को अंग्रेजी में "पेनी ड्रॉप्स" शब्द का प्रयोग करते देखा है!

— मेहरदाद

पहला चार्ट ऐसा लग रहा है जैसे कोई पक्षी

— उड़ रहा है

@ अक्षल ओओफ़। मैंने उस पर ध्यान नहीं दिया। याद रखें कि कुछ उदाहरणों के बिना कक्षा में उस उदाहरण का उपयोग न करें। (इसी तर्ज पर, जब बोर्ड पर हल करने के लिए कोई समस्या आती है, तो कुछ निश्चित संख्याएं होती हैं जैसे 69 मैं दिखने से बचने की कोशिश करता हूं। अनुभव कड़ी मेहनत से जीता है।)

— सिल्वरफिश

Answer 3

सिल्वरफ़िश द्वारा एक उत्कृष्ट एक के साथ, आपको पहले से ही दो उत्तर मिल गए थे , हालांकि मुझे लगता है कि एक चित्रण यहाँ उपयोगी हो सकता है क्योंकि आपने ज्यामिति के बारे में पूछा था और उन कार्यों को "कल्पना" कर रहे थे।

बर्नौली वितरण के एक सरल उदाहरण से शुरू करते हैं :

$$f(x) = \begin{cases} p & \text{if }x=1, \\[6pt] 1-p & \text {if }x=0.\end{cases}$$

चूंकि मान असतत हैं इसलिए कोई "वक्र" नहीं है, लेकिन केवल दो बिंदु हैं, हालांकि विचार समान है: यदि आप कुल संभावना (वक्र के नीचे का क्षेत्र) जानना चाहते हैं, तो आपको दोनों संभावित परिणामों की संभावनाओं को योग करना होगा:

$$p + (1 - p) = 1$$

$p$$1-p$

$x$$x$$f(x)$$x_1$$x_1$$1$$\sum \#\{x_i\}=N$$\sum \#\{x_i\}/N=1$$N$

$x$$x$। इसलिए यदि ऐसे बिंदु होते हैं तो आप उन्हें देख नहीं सकते हैं कि आप "ज़ूम इन" कितना अधिक करेंगे, क्योंकि किसी भी दिए गए बिंदुओं के बीच हमेशा कुछ छोटे बिंदुओं की अनंत संख्या हो सकती है। उसके कारण यहां वास्तव में हमारे पास एक वक्र है - आप कल्पना कर सकते हैं कि यह असीम रूप से कई "बिंदुओं" से बना है। आप खुद से पूछ सकते हैं: अनंत संख्या की संभावनाओं की गणना कैसे करें ..? लाल वक्र के नीचे के भूखंड पर एक सामान्य पीडीएफ है और ब्लैक बॉक्स वितरण से खींचे गए कुछ मूल्यों का हिस्टोग्राम है। इसलिए हिस्टोग्राम प्लॉट ने हमारे वितरण को एक निश्चित चौड़ाई के साथ "बक्से" की परिमित संख्या में सरल कर दिया हैऔर यदि आप बक्से की ऊंचाइयों को उनकी चौड़ाई से गुणा करते हैं, तो आप वक्र के नीचे एक क्षेत्र - या सभी बक्से के क्षेत्र के साथ समाप्त हो जाएंगे। हम यहाँ के बजाय बिंदुओं के क्षेत्र का उपयोग करते हैं क्योंकि प्रत्येक बॉक्स "अंक" की एक अनंत संख्या का सारांश है जिसे बॉक्स में पैक किया गया था।

इसलिए कुल क्षेत्रफल पाने के लिए हम ऊंचाइयां लेते हैं (यानी $f(x)$$-2.5 - -3 = 0.5$

0.010 0.028 0.094 0.198 0.260 0.400 0.404 0.292 0.166 0.092 0.044 0.010 0.002

$0.5$$1$$1$

$1$$1$$f(x)$।

$a$$b$$-3$$3$

$$\int_a^b \! f(x)\,dx$$

$f(x)$$dx$$\int$$\sum$

आपने "फ्लैट" (समान) वितरण के बारे में भी पूछा :

$-\infty < a < b < \infty$, इसलिए को एकीकृत करने के लिए $1$। यदि आप इसके बारे में सोचते हैं, तो यह निरंतर है और चूंकि यह समतल है, यह किसी प्रकार का एक बॉक्स है जिसमें से चौड़ाई है$-\infty$ सेवा $\infty$। यदि आप ऐसे बॉक्स के क्षेत्र की गणना करना चाहते हैं, तो आप ऊंचाई को चौड़ाई से गुणा करेंगे। दुर्भाग्य से, जबकि चौड़ाई असीम रूप से विस्तृत है, इसके लिए एकीकृत करने के लिए$1$ ऊँचाई कुछ होनी चाहिए $\varepsilon$यह बहुत छोटा है ... इसलिए यह एक जटिल मामला है और आप इसे अमूर्त शब्दों में सोच सकते हैं। ध्यान दें कि, जैसा कि इल्मरी करोनन ने टिप्पणी में देखा, यह एक अमूर्त विचार है जो वास्तव में व्यवहार में संभव नहीं है (नीचे टिप्पणी देखें)। यदि पूर्व में इस तरह के वितरण का उपयोग किया जाता है, तो यह पहले से अनुचित होगा ।

ध्यान दें कि निरंतर स्थिति में संभावना घनत्व फ़ंक्शन आपको घनत्व का अनुमान लगाता है, बल्कि संभावनाएं, इसलिए ऊंचाइयां (या उनकी राशि) अधिक हो सकती हैं $1$( अधिक के लिए यहां देखें )।

Comments

एक अनंत रेखा पर फ्लैट (यानी वर्दी ) वितरण के लिए, "जटिल" वास्तव में "असंभव" का अर्थ है: अनंत माप के सेट पर एक समान वितरण एक वैध संभावना वितरण नहीं है, ठीक है क्योंकि इसे एकीकृत करने के लिए स्केल नहीं किया जा सकता है$1$। यह कभी-कभी यह दिखावा करने के लिए उपयोगी है कि यह एक है, लेकिन इसे बहुत दूर ले जाने से विरोधाभास होता है। (उदा$X$ तथा $Y$ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित किया जाए $(-\infty,\infty)$; क्या संभावना है कि$|X|<|Y|$?)

— इल्मरी करोनें

आप सही हैं, "जटिल" बहुत अनौपचारिक है। मैं बाद में सुधार करूँगा।

— टिम

Answer 4

निम्नलिखित मुख्य विचार एक टिप्पणी में उल्लेख किया गया था, लेकिन मौजूदा उत्तर में नहीं ...

एक पीडीएफ के गुणों के बारे में विचार करने का एक तरीका यह है कि पीडीएफ और सीडीएफ एकीकरण (कलन) से संबंधित हैं - और सीडीएफ में एक मोनोटोनिक आउटपुट है जो 0 और 1 के बीच संभाव्यता मान का प्रतिनिधित्व करता है।

Unitless एकीकृत पीडीएफ वक्र के अंतर्गत कुल क्षेत्रफल X- अक्ष इकाइयों से प्रभावित नहीं है।

सीधे शब्दों में...

Area = Width x Height

यदि इकाइयों में परिवर्तन के कारण, एक्स-एक्सिस बड़ा हो जाता है, संख्यात्मक रूप से, तो वाई-अक्ष एक संबंधित रैखिक कारक से छोटा होना चाहिए ।