एक MANOVA की अशक्त परिकल्पना क्या है?

पृष्ठभूमि

विभिन्न समूहों (एक श्रेणीगत चर द्वारा दिए गए) के बीच कुछ निरंतर चर में अंतर का विश्लेषण करने के लिए, कोई एक-तरफ़ा एनोवा प्रदर्शन कर सकता है। यदि कई व्याख्यात्मक (श्रेणीबद्ध) चर हैं, तो कोई व्यक्ति एनोवा को प्रदर्शित कर सकता है। यदि कोई कई सतत चर (यानी, कई प्रतिक्रिया चर) में समूहों के बीच अंतर का विश्लेषण करना चाहता है, तो एक बहुभिन्न एनोवा (MANOVA) का प्रदर्शन करना होगा।

सवाल

मैं शायद ही समझ पाऊं कि कोई व्यक्ति कई प्रतिक्रिया चर पर और अधिक महत्वपूर्ण रूप से ANOVA जैसी परीक्षा कैसे कर सकता है, मुझे समझ नहीं आता कि अशक्त परिकल्पना क्या हो सकती है। अशक्त परिकल्पना है:

"प्रत्येक प्रतिक्रिया चर के लिए, सभी समूहों के साधन समान हैं",

या यह है

"कम से कम एक प्रतिक्रिया चर के लिए, सभी समूहों के साधन समान हैं"

या $H_0$ कुछ और है?

hypothesis-testing anova manova

— Remi.b
स्रोत

मैं नहीं बता सकता, क्या आप यह भी पूछ रहे हैं कि एनोवा कैसे काम करती है? एक मानक त्रुटि क्या है, इस पर चर्चा करने के संदर्भ में, मैं अनिवार्य रूप से एक एनोवा के पीछे मूल विचार की व्याख्या करता हूं: मानक त्रुटि कैसे काम करती है?

— गूँग - मोनिका

न ही आपके दो बयानों में से। H0MANOVA यह है कि बहुभिन्नरूपी अंतरिक्ष में कोई अंतर नहीं है । बहुभिन्नरूपी मामला काफी हद तक एकतरफा की तुलना में अधिक जटिल है क्योंकि हमें कोविरियन से निपटना है, न कि केवल भिन्नताओं से। H0-H1MANOVA में परिकल्पना तैयार करने के कई तरीके मौजूद हैं । विकिपीडिया पढ़ें।

— ttnphns 21

@ttnphns: क्यों नहीं?

एनोवा की है कि सभी समूहों के माध्यम बराबर हो रहा है।

Manova की है कि सभी समूहों की मल्टीवेरिएट साधन बराबर हो रहा है। यह ओपी में बिल्कुल वैकल्पिक 1 है। सहप्रसरण आदि में प्रवेश मान्यताओं और संगणना Manova, नहीं शून्य परिकल्पना की।

H_{0}

$H_0$

H_{0}

$H_0$

— अमीबा

@amoeba, मुझे पसंद नहीं आया For each response variable। मेरे लिए ऐसा लगता है (या मैं इसे पढ़ता हूं) "परीक्षण प्रत्येक पर एकरूपता से किया जाता है" (और फिर किसी तरह संयुक्त)।

— ttnphns 21

जवाबों:

एक-तरफ़ा एनोवा की शून्य परिकल्पना यह है कि सभी समूहों के साधन समान हैं: एक-तरफ़ा MANOVA की अशक्त परिकल्पना यह है कि [बहुखंडीय] सभी समूहों के साधन समान हैं:यह कहने के बराबर है कि प्रत्येक प्रतिक्रिया चर के लिए साधन समान हैं, अर्थात आपका पहला विकल्प सही है । $H_0$

H_{0} : μ_{1} = μ_{2} = . . . = μ_{k} .

$H_0: \mu_1 = \mu_2 = ... = \mu_k.$

H_{0}

$H_0$

H_{0} : μ_{1} = μ_{2} = . . . = μ_{k} .

$H_0: \boldsymbol \mu_1 = \boldsymbol \mu_2 = ... = \boldsymbol \mu_k.$

दोनों ही मामलों में वैकल्पिक परिकल्पना शून्य की है। दोनों ही स्थितियों में समूह के भीतर (ए) गौसियन समूह के वितरण, और (बी) बराबर भिन्न (एनोवा के लिए) / कोवरियन मैट्रिसेस (मैनोवा के लिए) हैं। $H_1$

MANOVA और ANOVAs के बीच अंतर

यह थोड़ा भ्रमित करने वाला प्रतीत हो सकता है: MANOVA की अशक्त परिकल्पना ठीक उसी प्रकार है जैसे अनलिविएटेड ANOVAs के संग्रह के लिए null परिकल्पनाओं का संयोजन है, लेकिन साथ ही हम जानते हैं कि MANOVA करना अविभाज्य ANOVAs करने के बराबर नहीं है और फिर किसी तरह " परिणामों का संयोजन (एक संयोजन के विभिन्न तरीकों के साथ आ सकता है)। क्यों नहीं?

इसका उत्तर यह है कि सभी अविभाज्य ANOVAs चल रहे हैं, भले ही एक ही शून्य परिकल्पना का परीक्षण करेंगे, कम शक्ति होगी। एक दृष्टांत के लिए मेरा जवाब यहां देखें: जब कोई भी अनिवारी महत्व तक नहीं पहुंचता है तो मैनोवा कैसे एक महत्वपूर्ण अंतर की सूचना दे सकता है? "संयोजन" की Naive विधि (वैश्विक अशक्त को अस्वीकार करें यदि कम से कम एक एनोवा नाले को अस्वीकार करता है) भी टाइप I त्रुटि दर की एक बड़ी मुद्रास्फीति को जन्म देगा; लेकिन फिर भी अगर कोई सही त्रुटि दर बनाए रखने के लिए "संयोजन" के कुछ स्मार्ट तरीके का चयन करता है, तो कोई सत्ता में खो जाएगा।

परीक्षण कैसे काम करता है

एनोवा कुल योग के- वर्गों विघटित हो जाता है के बीच-समूह-के-योग वर्गों में और भीतर-समूह-के-योग वर्गों , ताकि । यह तब के अनुपात की गणना करता है । अशक्त परिकल्पना के तहत, यह अनुपात छोटा होना चाहिए (लगभग ); एक शून्य परिकल्पना के तहत अपेक्षित इस अनुपात का सटीक वितरण कर सकता है (यह और समूहों की संख्या पर निर्भर करेगा )। इस वितरण के साथ देखे गए मान तुलना करने से P- मान प्राप्त होता है। $T$ $B$ $W$ $T=B+W$ $B/W$ $1$ $n$ $B/W$

Manova कुल बिखराव मैट्रिक्स विघटित हो जाता है में बीच-समूह बिखराव मैट्रिक्स और भीतर-समूह बिखराव मैट्रिक्स , ताकि । यह तब मैट्रिक्स गणना करता है । अशक्त परिकल्पना के तहत, यह मैट्रिक्स "छोटा" (लगभग ) होना चाहिए ; लेकिन यह कैसे "छोटा" है? MANOVA इस मैट्रिक्स के eigenvalues को है (वे सभी सकारात्मक हैं)। फिर से, शून्य परिकल्पना के तहत, ये प्रतिध्वनि "छोटे" (लगभग सभी) होनी चाहिए $\mathbf T$ $\mathbf B$ $\mathbf W$ $\mathbf T = \mathbf B + \mathbf W$ $\mathbf W^{-1} \mathbf B$ $\mathbf{I}$ $\lambda_i$ $1$ )। लेकिन एक पी-मूल्य की गणना करने के लिए, हमें एक संख्या की आवश्यकता होती है (जिसे "सांख्यिकीय" कहा जाता है) ताकि नल के तहत इसके अपेक्षित वितरण के साथ तुलना करने में सक्षम हो। इसे करने के कई तरीके हैं: सभी eigenvalues ; अधिक से अधिक eigenvalue , आदि लें। प्रत्येक मामले में, यह संख्या शून्य के तहत अपेक्षित इस मात्रा के वितरण के साथ तुलना की जाती है, जिसके परिणामस्वरूप एक पी-मूल्य होता है। $\sum \lambda_i$ $\max\{\lambda_i\}$

परीक्षण सांख्यिकीय के विभिन्न विकल्प थोड़ा अलग-अलग मानों की ओर ले जाते हैं, लेकिन यह महसूस करना महत्वपूर्ण है कि प्रत्येक मामले में एक ही शून्य परिकल्पना का परीक्षण किया जा रहा है।

— एक सलि का जन्तु
स्रोत

इसके अलावा, यदि आप कई परीक्षणों के लिए सही नहीं हैं, तो सभी-यूनीवेट-एनओएवीएएस दृष्टिकोण के साथ टाइप I त्रुटि मुद्रास्फीति भी पैदा करेंगे।

— गुंग - को पुनः स्थापित मोनिका

@ गुंग: हाँ, यह सच है। हालाँकि, कोई भी "संयोजन" में होशियार हो सकता है, क्योंकि यह अशक्त को अस्वीकार करने के बजाय कम से कम एक एनओएलए को अस्वीकार करता है। मेरा कहना यह था कि हालांकि, स्मार्ट "संयोजन" में होने की कोशिश करता है, फिर भी मैनोवा की तुलना में एक शक्ति में खो जाएगा (भले ही कोई त्रुटि दर को बढ़ाए बिना परीक्षण के आकार को बनाए रखने का प्रबंधन करता है)।

— अमीबा

लेकिन क्या अब वह "शक्ति" सीधे तौर पर कोविर्सन की धारणा से संबंधित नहीं है? नैतिक यह है कि एक (श्रृंखला) अविभाज्य परीक्षण के साथ हम केवल सीमांत प्रभाव के लिए परीक्षण करते हैं जो SSdifference/SSerrorअदिश है। MANOVA में बहुभिन्नरूपी प्रभाव SSCPerror^(-1)SSCPdifferenceमैट्रिक्स ( कुलियों और कुल समूहों में होता है) के लिए जिम्मेदार है। लेकिन चूंकि इसमें कई स्वदेशी हैं जो एक परीक्षण सांख्यिकीय में एक ही तरीके से "संयुक्त" नहीं हो सकते हैं, कई संभावित वैकल्पिक परिकल्पनाएं मौजूद हैं। अधिक शक्ति - अधिक सैद्धांतिक जटिलता।

— ttnphns 7

@ttnphns, हाँ, यह सब सही है, लेकिन मुझे लगता है कि इस तथ्य को नहीं बदलता है कि अशक्त परिकल्पना वही है जो मैंने लिखी है (और यही वह प्रश्न था जिसके बारे में)। जो भी परीक्षण सांख्यिकी का उपयोग किया जाता है (विल्क्स / रॉय / पिल्लई-बार्टलेट / लॉली-हॉटेलिंग), वे एक ही शून्य परिकल्पना का परीक्षण करने की कोशिश कर रहे हैं। मैं इस बारे में अधिक विस्तार से चर्चा करने के लिए बाद में अपने उत्तर का विस्तार कर सकता हूं।

— अमीबा

@gung ने मुझे इसमें झंकार करने के लिए कहा (मुझे यकीन नहीं है ... मैंने कुछ 7 साल पहले MANOVA पढ़ाया था, और इसे कभी लागू नहीं किया) - मैं कहूंगा कि अमीबा यह कहने में सही है कि शून्य का पूर्ण निषेध है।

H_{1}

$H_1$

H_{0} : μ_{group 1} = \dots = μ_{group k}

$H_0: \mu_{\mbox{group }1} = \ldots = \mu_{\mbox{group }k}$ , जो मापदंडों के डायनामिक स्पेस में एक -dimensional हाइपरस्पेस है (यदि ऐसा आयाम है जो अब तक परिभाषित किसी को परेशान नहीं करता है) । और यह ओपी द्वारा दिया गया विकल्प 1 है। विकल्प 2 का परीक्षण करना अधिक कठिन है।

p

$p$

k p

$kp$

p

$p$

— StasK

यह पूर्व है।

हालांकि, जिस तरह से यह वास्तव में बारी बारी से प्रत्येक मूल चर के साधनों की तुलना करने के लिए नहीं है। इसके बजाय प्रतिक्रिया चर को रैखिक तरीके से रूपांतरित किया जाता है जो प्रमुख घटक विश्लेषण के समान है । (यहाँ पीसीए पर एक उत्कृष्ट सूत्र है: प्रमुख घटक विश्लेषण, eigenvectors और eigenvalues की समझ बनाना ।) अंतर यह है कि PCA आपके अक्ष को पार करता है ताकि अधिकतम भिन्नता की दिशाओं के साथ संरेखित हो, जबकि MANOV दिशा में अपने अक्षों को घुमाएगी अपने समूहों के पृथक्करण को अधिकतम करें।

हालांकि स्पष्ट होने के लिए, एक MANOVA से जुड़े कोई भी परीक्षण प्रत्यक्ष अर्थों में या तो मूल अर्थ में या रूपांतरित स्थान में एक के बाद एक सभी साधनों का परीक्षण कर रहे हैं। कई अलग-अलग परीक्षण आँकड़े हैं जो प्रत्येक अलग-अलग तरीके से काम करते हैं, फिर भी वे अंतरिक्ष को बदलने वाले अपघटन के आइगेनवेल्स पर काम करते हैं। लेकिन जहाँ तक शून्य परिकल्पना की प्रकृति है, यह है कि सभी समूहों के सभी साधन प्रत्येक प्रतिक्रिया चर पर समान हैं, न कि वे कुछ चर पर भिन्न हो सकते हैं लेकिन कम से कम एक पर समान हैं।

— गुंग - को पुनः स्थापित मोनिका
स्रोत

ऊह ... तो मनोवा एक रेखीय विभेदक विश्लेषण करता है (समूहों के बीच की दूरी को अधिकतम करने के लिए) और फिर, यह प्रतिक्रिया चर के रूप में पहली धुरी का उपयोग करते हुए एक मानक एनोवा चलाता है? तो, "" का मतलब है - पीसी 1 की अवधि में - सभी समूहों के समान हैं "। क्या वह सही है?

H o

$Ho$

— रेमी। बी।

कई अलग-अलग संभावित परीक्षण हैं। केवल 1 अक्ष का परीक्षण अनिवार्य रूप से आपके परीक्षण के रूप में रॉय की सबसे बड़ी जड़ का उपयोग कर रहा है। यह अक्सर सबसे शक्तिशाली परीक्षण होगा, लेकिन यह भी अधिक सीमित है। मैं वहां पर चर्चा कर रहा हूं कि कौन सा परीक्षण 'सर्वश्रेष्ठ' है।

— गूँग - मोनिका

मुझे लगता है कि हम कई परीक्षण मुद्दों से बचने के लिए कई ANOVAs के बजाय MANOVA का उपयोग करते हैं। लेकिन अगर, एक MANOVA करके हम सिर्फ LDR के PC1 पर एक ANOVA बनाते हैं , तो हमारे पास Pvalue को देखते हुए विचार करने के लिए एक बहु परीक्षण मुद्दा है। क्या यह सही है? (आशा है कि अधिक समझ में आता है। मैंने अपनी पिछली अस्पष्ट टिप्पणी को हटा दिया है)

— रेमी.बी

यह एक व्यावहारिक बिंदु है, लेकिन दो मुद्दे हैं: 1) कुल्हाड़ी अब ऑर्थोगोनल हैं, और जो मुद्दों को w / कई परीक्षण बदल सकते हैं; 2) MANOVA परीक्षण के आँकड़ों का नमूना वितरण कई अक्षों को ध्यान में रखता है।

— गूँग - मोनिका

@ रेमी.बी: ये अच्छे प्रश्न हैं, लेकिन सिर्फ स्पष्ट होने के लिए: एलडीए के पहले विभेदक धुरी पर एनोवा के बराबर नहीं है ! MANOVA और LDA के बीच संबंध के लिए यहां देखें: MANOVA का संबंध LDA से कैसे है?

— अमीबा