वास्तव में क्या क्षण हैं? वे कैसे व्युत्पन्न हैं?

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जब तक हम जनसंख्या के सभी मापदंडों का अनुमान नहीं लगाते हैं, तब तक हम आम तौर पर क्षणों के अनुमानकों को "उनके नमूना समकक्ष के लिए जनसंख्या के क्षणों की बराबरी" द्वारा पेश करते हैं; इसलिए, एक सामान्य वितरण के मामले में, हमें केवल पहले और दूसरे क्षण की आवश्यकता होगी क्योंकि वे इस वितरण का पूरी तरह से वर्णन करते हैं।

$E(X) = \mu \implies \sum_{i=1}^n X_i/n = \bar{X}$

$E(X^2) = \mu^2 + \sigma^2 \implies \sum_{i=1}^n X_i^2/n$

और हम सैद्धांतिक रूप से अतिरिक्त क्षणों तक गणना कर सकते हैं : $n$

$E(X^r) \implies \sum_{i=1}^nX_i^r /n$

मैं वास्तव में किस क्षण के लिए अंतर्ज्ञान का निर्माण कर सकता हूं? मुझे पता है कि वे भौतिकी और गणित में एक अवधारणा के रूप में मौजूद हैं, लेकिन मुझे न तो सीधे लागू होता है, खासकर क्योंकि मैं नहीं जानता कि बड़े पैमाने पर अवधारणा से डेटा बिंदु तक अमूर्त कैसे बनाया जाए। यह शब्द एक विशिष्ट तरीके से सांख्यिकी में उपयोग किया जाता है, जो अन्य विषयों में उपयोग से भिन्न होता है।

मेरे डेटा की विशेषता यह निर्धारित करती है कि कुल कितने ( ) क्षण हैं? $r$

— Constantin
स्रोत

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शब्द का मतलब भौतिकी में वही होता है, जब संभावना वितरण पर लागू होता है। यहाँ देखें , जिसमें समीकरण , " जहाँ घनत्व, द्रव्यमान, या जो भी मात्रा में माना जा रहा है, के घनत्व का वितरण है "। जब "चीज़ पर विचार किया जा रहा है" संभावना घनत्व है, तो आपके पास संभावना में इसी क्षण होता है। वे कच्चे क्षण हैं (उत्पत्ति के बारे में क्षण)। तुलना करके ... (ctd)

μ_{n} = \int r^{n} ρ (r) d r

$\mu_n=\int r^n\,\rho(r)\,dr$ $\rho$

— Glen_b -Reinstate मोनिका

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मोमेंट्स क्वांटाइल्स की तरह रैंडम वैरिएबल के वितरण के पैरामीट्रिज्ड फीचर्स हैं। क्षणों को प्राकृतिक संख्याओं द्वारा परिमाणित किया जाता है, और वितरण को पूरी तरह से चिह्नित करता है (देखें पल उत्पन्न कार्य )। यह इस बात से इंकार नहीं करता है कि कुछ वितरणों के लिए क्षणों के बीच सही कार्यात्मक निर्भरता हो सकती है, इसलिए सभी क्षणों को हमेशा वितरण को चिह्नित करने की आवश्यकता नहीं होती है। (1/2)

— tchakravarty

मोमेंट्स सामान्य वितरण के लिए पहले दो पर निर्भर हैं, इसलिए पहले दो वितरण वितरण को चिह्नित करने के लिए पर्याप्त हैं, जिसमें माध्य और विचरण शामिल हैं। (२/२)

\geq 3

$\geq 3$

— १art

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(ctd) ... गणित के क्षण समान होते हैं ( ), सिवाय बजाय 0 के। (यानी भौतिकी का एक सामान्यीकृत रूप है - लेकिन चूंकि वे मूल परिवर्तन के साथ समान हैं, एक भौतिक विज्ञानी ठीक ही कहेंगे "यह कैसे अलग है?")। ये प्रायिकता के समान हैं , जब एक घनत्व है। मेरे लिए, तीनों एक ही चीज के बारे में बात कर रहे हैं जब वे अलग-अलग चीजों को नहीं, 'क्षण' कहते हैं।

μ_{n} = \int_{- \infty}^{\infty} (x - c)^{n} f (x) d x

$\mu_n=\int_{-\infty}^\infty (x - c)^n\,f(x)\,dx$

c

$c$

f

$f$

— Glen_b -Reinstate Monica

3

मुझे यकीन है कि आप कई थ्रेड्स में उत्तर पा सकते हैं जिन्हें क्षणों और अंतर्ज्ञान के बारे में पोस्ट किया गया है । सांख्यिकी में क्षण का उपयोग करता है वास्तव में एक ही तरह से वे भौतिकी और गणित में किया जाता है - यह सब तीन क्षेत्रों में एक ही परिभाषा के साथ एक ही अवधारणा है।

— whuber

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मुझे भौतिकी कक्षा लेते हुए काफी समय हो गया है, इसलिए मुझे बताएं कि क्या इनमें से कोई भी गलत है।

भौतिक एनालॉग्स के साथ क्षणों का सामान्य विवरण

एक यादृच्छिक चर, । चारों ओर का -थ क्षण है: यह बिल्कुल एक पल के भौतिक अर्थ से मेल खाता है। कल्पना करें कि पीडीएफ द्वारा दिए गए घनत्व के साथ वास्तविक रेखा के साथ बिंदुओं का एक संग्रह। पर इस लाइन के तहत एक फुलक्रम रखें और उस फुलक्रम के सापेक्ष क्षणों की गणना शुरू करें, और गणना बिल्कुल सांख्यिकीय क्षणों के अनुरूप होगी। $X$ $n$ $X$ $c$

म_{n} (सी) = इ [(एक्स - सी)^{n}]

$m_n(c)=E[(X-c)^n]$

X

$X$

c

$c$

अधिकांश समय, के मई के पल के आसपास 0 पल (क्षणों जहां आधार 0 पर रखा गया है) को संदर्भित करता है: वें केंद्रीय के क्षण $n$ $X$

म_{n} = इ [{एक्स}^{n}]

$m_n=E[X^n]$

n

$n$

X

$X$

{\hat{म}}_{n} = म_{n} (म_{1}) = इ [(एक्स - म_{1})^{n}]

$\hat m_n=m_n(m_1) =E[(X-m_1)^n]$ यह उन क्षणों से मेल खाती है जहां फुलक्रम को द्रव्यमान के केंद्र में रखा जाता है, इसलिए वितरण संतुलित है। यह क्षणों को अधिक आसानी से व्याख्या करने की अनुमति देता है, जैसा कि हम नीचे देखेंगे। पहला केंद्रीय क्षण हमेशा शून्य होगा, क्योंकि वितरण संतुलित है।

वें मानकीकृत के क्षण है: $n$ $X$ फिर से, यह वितरण के प्रसार के क्षणों को बढ़ाता है, विशेष रूप से कर्टोसिस की आसान व्याख्या की अनुमति देता है। पहला मानकीकृत क्षण हमेशा शून्य होगा, दूसरा हमेशा एक होगा। यह एक चर के मानक स्कोर (जेड-स्कोर) के क्षण से मेल खाती है। मेरे पास इस अवधारणा के लिए एक महान भौतिक एनालॉग नहीं है।

{\tilde{म}}_{n} = \frac{{\hat{म}}_{n}}{{(\sqrt{{\hat{म}}_{2}})}^{n}} = \frac{इ [(एक्स - म_{1})^{n}]}{{(\sqrt{इ [(एक्स - म_{1})^{2}]})}^{n}}

$\tilde m_n = \dfrac{\hat m_n}{\left(\sqrt{\hat m_2}\right)^n}=\dfrac{E[(X-m_1)^n]} {\left(\sqrt{E[(X-m_1)^2]}\right)^n}$

सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले क्षण

किसी भी वितरण के लिए संभावित रूप से कई अनंत क्षण होते हैं। पर्याप्त क्षण लगभग हमेशा पूरी तरह से विशेषता और वितरण होंगे (यह निश्चित होने के लिए आवश्यक शर्तों को प्राप्त करना क्षण की समस्या का एक हिस्सा है )। चार क्षणों में आमतौर पर आंकड़ों के बारे में बात की जाती है:

मीन - पहला पल (शून्य के आसपास केंद्रित)। यह वितरण के द्रव्यमान का केंद्र है, या वैकल्पिक रूप से यह 0 से एक पूर्णांक के सापेक्ष वितरण के टोक़ के क्षण के आनुपातिक है।
$X$
तिरछापन - तीसरा केंद्रीय क्षण (कभी-कभी मानकीकृत)। एक दिशा या किसी अन्य में वितरण के तिरछा का एक उपाय। एक सामान्य वितरण के सापेक्ष (जिसमें कोई तिरछा नहीं है), सकारात्मक रूप से तिरछे वितरण में अत्यधिक उच्च परिणामों की कम संभावना है, नकारात्मक रूप से तिरछे वितरणों में बहुत कम परिणामों की एक छोटी संभावना है। भौतिक एनालॉग मुश्किल हैं, लेकिन शिथिल रूप से यह वितरण की विषमता को मापता है। एक उदाहरण के रूप में, नीचे का आंकड़ा विकिपीडिया से लिया गया है ।
$X$

हम शायद ही कभी कर्टोसिस से परे के क्षणों के बारे में बात करते हैं, ठीक है क्योंकि उनके लिए बहुत कम अंतर्ज्ञान है। यह दूसरे क्षण के बाद रुकने वाले भौतिकविदों के समान है।

— jayk
स्रोत

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यह एक पुराने धागे का एक सा है, लेकिन मैं Fg Nu की टिप्पणी में एक गलत कथन को ठीक करना चाहता हूं जिसने लिखा था "क्षणों को प्राकृतिक संख्याओं द्वारा परिचालित किया जाता है, और पूरी तरह से वितरण की विशेषता है"।

क्षण एक वितरण को पूरी तरह से चिह्नित नहीं करते हैं। विशेष रूप से, सभी अनंत क्षणों का ज्ञान, भले ही वे मौजूद हों, जरूरी नहीं कि वितरण को विशिष्ट रूप से निर्धारित करें।

मेरी पसंदीदा प्रायिकता पुस्तक के अनुसार, फेलर "एन इंट्रोडक्शन टू प्रोबेबिलिटी थ्योरी एंड इट्स एप्लिकेशंस वॉल्यूम II" ( आम वितरण के वास्तविक जीवन के उदाहरणों पर मेरा उत्तर देखें ), खंड VII.3 उदाहरण पीपी 227-228 पर, Lognormal निर्धारित नहीं है। इसके क्षणों से तात्पर्य यह है कि अन्य सभी वितरण अनंत क्षणों के समान ही होने वाले अन्य वितरण हैं, लेकिन विभिन्न वितरण कार्य। जैसा कि व्यापक रूप से जाना जाता है, मोमेंट जनरेटिंग फंक्शन लोगनॉर्मल के लिए मौजूद नहीं है, न ही यह इन अन्य वितरणों के लिए समान क्षणों के लिए हो सकता है।

$X$

Σ_{n = 1}^{\infty} (इ [{एक्स}^{2 n}])^{- 1 / (2 n)}

$\sum_{n=1}^{\infty} (\mathbb{E}[X^{2n}])^{-1/(2n)}$

diverges। ध्यान दें कि यह एक if और if if नहीं है। यह स्थिति Lognormal के लिए धारण नहीं करती है, और वास्तव में यह इसके क्षणों से निर्धारित नहीं होती है।

दूसरी ओर, वितरण (यादृच्छिक चर) जो सभी अनंत क्षणों को साझा करते हैं, केवल असमानताओं के कारण बहुत भिन्न हो सकते हैं, जो उनके क्षणों से प्राप्त हो सकते हैं।

— मार्क एल। स्टोन
स्रोत

जब वितरण को बाध्य किया जाता है, तो यह काफी सरल होता है, जिस स्थिति में पल हमेशा वितरण को पूरी तरह से (विशिष्ट रूप से) निर्धारित करते हैं।

— एलेक्स आर।

@ एलेक्स यह फेलर में उद्धृत परिणाम का एक तात्कालिक परिणाम है।

— whuber

यह कहना पूरी तरह से सही नहीं है कि लॉग जनन के लिए क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य मौजूद नहीं है। एमजीएफ के बारे में सबसे उपयोगी प्रमेय यह मानते हैं कि यह एक खुले अंतराल में शून्य से मौजूद है, और सख्त अर्थ में इसका अस्तित्व नहीं है। लेकिन यह शून्य से निकलने वाली किरण में मौजूद है!, और यह उपयोगी जानकारी भी देती है।

— kjetil b halvorsen

@ kjetil b halvorsen, क्या आप शून्य से निकलने वाली किरण पर lognormal के MGF के अस्तित्व से आपको प्राप्त होने वाली उपयोगी जानकारी (कुछ) का वर्णन कर सकते हैं? वह कौन सी किरण होगी?

— मार्क एल। स्टोन

@Kjetil b halvorsen .. के सवाल के रूप में उपरोक्त टिप्पणी की टक्कर ..

— मार्क एल। स्टोन

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ग्लेन_ब की टिप्पणी के लिए एक कोरोलरी यह है कि पहला पल, मतलब भौतिक वस्तु के लिए गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से मेल खाता है, और दूसरे पल का मतलब के आसपास, विचरण, जड़ता के अपने पल से मेल खाता है। उसके बाद, आप अपने दम पर हैं।

— माइक एंडरसन
स्रोत

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E [x^{2}] = \int x^{2} f (x) d x

$E[x^2] = \int x^2f(x)dx$

v a r [x] = E [(x - E [x])^{2}] = \int (x - E [x])^{2} f (x) d x

$var[x]=E[(x-E[x])^2] = \int (x-E[x])^2f(x)dx$

0

एक द्विपद वृक्ष की दो शाखाएँ होती हैं, जिनमें संभवतः 0.5 होती हैं। दरअसल, पी = 0.5, और क्यू = 1-0.5 = 0.5। यह समान रूप से वितरित संभावना जन के साथ एक सामान्य वितरण उत्पन्न करता है।

दरअसल, हमें यह मानकर चलना होगा कि पेड़ का प्रत्येक टियर पूरा हो चुका है। जब हम डेटा को डिब्बे में तोड़ते हैं, तो हमें विभाजन से एक वास्तविक संख्या मिलती है, लेकिन हम गोल हो जाते हैं। ठीक है, यह एक स्तरीय है जो अधूरा है, इसलिए हम सामान्य रूप से अनुमान लगाने वाले हिस्टोग्राम के साथ समाप्त नहीं होते हैं।

शाखाओं में बंटी संभावनाओं को बदलकर p = 0.9999 और q = 0.0001 कर दिया जाए और यह हमें सामान्य तिरछा हो जाता है। संभावना जन स्थानांतरित कर दिया। यह तिरछापन का हिसाब है।

2 ^ n से कम अधूरा टीयर या डिब्बे होने से उन क्षेत्रों के साथ द्विपद वृक्ष उत्पन्न होते हैं जिनमें कोई संभाव्यता द्रव्यमान नहीं होता है। इससे हमें कुरूपता होती है।

टिप्पणी करने के लिए प्रतिक्रिया:

जब मैं डिब्बे की संख्या निर्धारित करने के बारे में बात कर रहा था, तो अगले पूर्णांक तक गोल करें।

Quincunx मशीनें गेंदों को छोड़ती हैं जो अंततः द्विपद के माध्यम से सामान्य वितरण का अनुमान लगाती हैं। इस तरह की मशीन द्वारा कई धारणाएं बनाई जाती हैं: 1) डिब्बे की संख्या परिमित है, 2) अंतर्निहित पेड़ द्विआधारी है, और 3) संभावनाएं तय की जाती हैं। न्यूयॉर्क में संग्रहालय के गणित में Quincunx मशीन, उपयोगकर्ता को गतिशील रूप से संभावनाओं को बदलने की सुविधा देती है। वर्तमान परत समाप्त होने से पहले ही संभावनाएं कभी भी बदल सकती हैं। इसलिए डिब्बे नहीं भरे जाने के बारे में यह विचार।

अपने मूल उत्तर में जो मैंने कहा, उसके विपरीत जब आप पेड़ में शून्य होते हैं, तो वितरण कर्टोसिस प्रदर्शित करता है।

मैं इसे जेनरेटर सिस्टम के नजरिए से देख रहा हूं। मैं निर्णय पेड़ों को संक्षेप करने के लिए एक त्रिकोण का उपयोग करता हूं। जब एक उपन्यास निर्णय लिया जाता है, तो त्रिकोण के आधार पर और डिब्बे में वितरण के संदर्भ में अधिक डिब्बे जोड़े जाते हैं। पेड़ से ट्रिमिंग सबस्ट्रेट्स वितरण की संभाव्यता द्रव्यमान में voids छोड़ देंगे।

मैंने केवल आपको एक सहज ज्ञान देने के लिए उत्तर दिया। लेबल? मैंने एक्सेल का उपयोग किया है और द्विपद में संभावनाओं के साथ खेला है और अपेक्षित स्क्यू उत्पन्न किया है। मैंने कुर्तोसिस के साथ ऐसा नहीं किया है, यह मदद नहीं करता है कि हम भाषा सुझाव आंदोलन का उपयोग करते समय स्थिर होने के रूप में संभाव्यता द्रव्यमान के बारे में सोचने के लिए मजबूर हों। अंतर्निहित डेटा या गेंद कुर्तोसिस का कारण बनते हैं। फिर, हम इसका विभिन्न विश्लेषण करते हैं और इसे केंद्र, कंधे और पूंछ जैसे वर्णनात्मक शब्दों को आकार देने के लिए विशेषता देते हैं। हमें जिन चीजों के साथ काम करना है वो केवल डिब्बे हैं। यदि डेटा नहीं कर सकता तो भी डायनेमिक जीवन जीते हैं।

— डेविड लोके
स्रोत

2

यह पेचीदा है, लेकिन भयानक रूप से स्केच है। उदाहरण के लिए, आपके द्विपद वृक्ष पर लेबल क्या हैं? यदि आप एक सामान्य वितरण प्राप्त करना चाहते हैं, तो यह एक अनंत पेड़ होना बेहतर था - लेकिन फिर स्पष्ट लेबल (एक यादृच्छिक चलना या वास्तविक संख्याओं के द्विआधारी निरूपण का उपयोग करके) बिल्कुल सामान्य वितरण का कारण नहीं बनते हैं। इन विवरणों के बिना पाठकों की कल्पनाओं के लिए बहुत कुछ छोड़ दिया जाता है। क्या आप उनके बारे में विस्तार से बता सकते हैं?

— whuber